Solving together · Right-triangle trigonometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון שאלון 471, אחת לכל רעיון של הפרק: משולש ישר זווית מזווית וצלע, משולש שווה שוקיים והגובה שלו, טרפז שווה שוקיים, מלבן ואלכסוניו, וישר במערכת צירים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ובכל שלב נכתב המשפט שמצדיק אותו. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזה משולש ישר זווית אתם פותרים ואיזה יחס תבחרו. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — משולש ישר זווית: צלע, זווית, ואז הכול

Interactive activity

שאלה 1

\begin{aligned}\angle C &= 90^\circ \\ \quad AC &= 8 \\ \quad \angle A &= 40^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נתונים ניצב וזווית. מבקשים: א. $BC$ , ב. $AB$ , ג. השטח, ד. ההיקף. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

א. BC

\begin{aligned}\tan 40^\circ &= \frac{BC}{8} \ \Rightarrow \ BC \\ &= 8\tan 40^\circ \approx 6.71\end{aligned}

$BC$ מול $A$ , $AC$ ליד: שני ניצבים, טנגנס.

ב. AB

\begin{aligned}\cos 40^\circ &= \frac{8}{AB} \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{8}{\cos 40^\circ} \approx 10.44\end{aligned}

היתר הוא הנעלם, ולכן מחלקים. בדיקה: $10.44 > 8$ ✓

ג. שטח

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6.71 \approx 26.85

שני הניצבים מאונכים: בסיס וגובה.

ד. היקף

P = 8 + 6.71 + 10.44 \approx 25.16

סכום שלוש הצלעות.

שלושה צעדים, ובכל אחד יחס אחד. את $AB$ אפשר היה למצוא גם בפיתגורס מ- $8$ ומ- $BC$ , אבל עדיף מהנתון המקורי $40^\circ$ , בלי לגרור עיגול.

Do the activity on elev

היה אפשר לחשב את השטח בנוסחה $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$ ?

Show the answer and the solution

כן. $\frac{1}{2} \cdot 10.44 \cdot 8 \cdot \sin 40^\circ \approx 26.85$ , אותה תוצאה: $AB$ ו- $AC$ הן שתי צלעות, ו- $A$ הזווית שביניהן. במשולש ישר זווית פשוט יותר להשתמש בשני הניצבים.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משולש שווה שוקיים: הגובה עושה את העבודה

Interactive activity

שאלה 2

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 10$ ) זווית הראש $\angle BAC = 40^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. א. מצאו את $BC$ . ב. מצאו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$BC \approx 6.84$ , $S \approx 32.14$

$BC \approx 3.42$ , $S \approx 32.14$

$BC \approx 6.84$ , $S \approx 64.28$

$BC \approx 7.66$ , $S \approx 32.14$

מהי הזווית $\angle BAD$ ?

$20^\circ$ , כי הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש.

Show the answer and the solution

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית וגם תיכון.

$40^\circ$ , כמו הזווית הנתונה.

Show the answer and the solution

הגובה מחלק את זווית הראש לשתיים. במשולש $ABD$ עובדים עם החצי.

$50^\circ$ .

Show the answer and the solution

זו הזווית $B$ ( $\frac{180 - 40}{2}$ ). היא נכונה, אבל השאלה על $\angle BAD$ .

\angle BAD = 20^\circ

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את זווית הראש

איך מוצאים את $BD$ במשולש $ABD$ ?

$BD = 10\sin 20^\circ$ .

Show the answer and the solution

$BD$ מול הזווית $20^\circ$ , והיתר $AB = 10$ .

$BD = 10\cos 20^\circ$ .

Show the answer and the solution

זה $AD$ , הניצב שליד הזווית $20^\circ$ .

\begin{aligned}BD &= 10\sin 20^\circ \approx 3.42 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 2BD \approx 6.84\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון, ולכן $BC = 2BD$

ולשטח, הדרך הקצרה?

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 40^\circ$ .

Show the answer and the solution

שתי הצלעות $AB$ , $AC$ והזווית $40^\circ$ שביניהן.

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10$ .

Show the answer and the solution

זה היה נכון רק אם הזווית בין הצלעות הייתה $90^\circ$ .

S = 50\sin 40^\circ \approx 32.14

בדיקה: $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6.84 \cdot 9.4 \approx 32.14$ ✓

Show the answer and the solution

התשובה: $BC \approx 6.84$ , $S \approx 32.14$ . שתי דרכים לשטח נותנות אותו מספר, וזו הבדיקה הטובה ביותר. מי שקיבל $BC \approx 3.42$ שכח להכפיל את $BD$ .

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — טרפז שווה שוקיים: גובה, ועוד גובה

Interactive activity

שאלה 3

\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AB &= 18 \\ \quad AD &= BC \\ &= 8 \\ \quad \angle A &= 60^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מבקשים: א. את הגובה, ב. את הבסיס $DC$ , ג. את שטח הטרפז. ערכים מדויקים, ואז קירוב.

א. גובה

\begin{aligned}DE &= 8\sin 60^\circ \\ &= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש $AED$ : $DE$ מול $60^\circ$ , $AD$ היתר. ערך מדויק.

\begin{aligned}AE &= 8\cos 60^\circ \\ &= 8 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הניצב שליד $60^\circ$ . הוא חצי היתר, כי מול $30^\circ$ .

ב. DC

\begin{aligned}DC &= AB - 2 \cdot AE \\ &= 18 - 8 \\ &= 10\end{aligned}

$DEFC$ מלבן, ולכן $EF = DC$ ; המשולשים $AED$ ו- $BFC$ חופפים, ולכן $FB = AE$ .

ג. שטח

\begin{aligned}S &= \frac{(18 + 10) \cdot 4\sqrt{3}}{2} \\ &= 56\sqrt{3} \approx 96.99\end{aligned}

סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי $2$ .

הנימוק ל- $FB = AE$ הוא חפיפת שני המשולשים ישרי הזווית. בלי המשפט הזה, «חצי ההפרש» הוא ניחוש.

Do the activity on elev

מהו היקף הטרפז?

Show the answer and the solution

$18 + 10 + 8 + 8 = 44$ . ההיקף לא צריך את הגובה בכלל.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מלבן: הזווית בין האלכסונים

Interactive activity

שאלה 4

במלבן $ABCD$ : $AB = 12$ ו- $BC = 5$ . האלכסונים נפגשים ב- $O$ . א. מצאו את $\angle CAB$ . ב. מצאו את הזווית החדה שבין האלכסונים. ג. חשבו את שטח המלבן בעזרת הזווית מסעיף ב, ובדקו. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

איזה יחס נותן את $\angle CAB$ במשולש $ABC$ ?

$\tan\angle CAB = \frac{5}{12}$ .

Show the answer and the solution

שני הניצבים ידועים: $BC$ מול, $AB$ ליד.

$\sin\angle CAB = \frac{5}{12}$ .

Show the answer and the solution

$12$ אינו היתר. היתר הוא $AC = 13$ , ואז $\sin = \frac{5}{13}$ .

\angle CAB = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{12}\right) \approx 22.62^\circ

במחשבון

מה יודעים על המשולש $AOB$ ?

הוא שווה שוקיים, $OA = OB$ .

Show the answer and the solution

במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן $OA = OB = \frac{13}{2}$ .

הוא ישר זווית.

Show the answer and the solution

האלכסונים במלבן אינם מאונכים בדרך כלל. רק בריבוע.

\angle OBA = \angle OAB \approx 22.62^\circ \ \Rightarrow \ \angle AOB \approx 134.76^\circ

זוויות הבסיס שוות; הזווית החדה בין האלכסונים היא $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB \approx 45.24^\circ$

איך מחשבים את השטח מהאלכסונים?

$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin\angle BOC$ .

Show the answer and the solution

שתי צלעות (האלכסונים) והזווית שביניהן. הנוסחה מכסה את כל המרובע: כל אחד מארבעת המשולשים תורם $\frac{1}{2} \cdot 6.5 \cdot 6.5 \sin\theta$ .

$S = 13 \cdot 13$ .

Show the answer and the solution

זה היה השטח של ריבוע שצלעו $13$ .

S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin 45.24^\circ \approx 60.0

בדיקה: $12 \cdot 5 = 60$ ✓

Show the answer and the solution

התשובה: $\angle CAB \approx 22.62^\circ$ , הזווית בין האלכסונים $\approx 45.24^\circ$ , והשטח $60$ . הבדיקה בסעיף ג היא הרעיון של השאלה: שתי דרכים לאותו שטח.

Do the activity on elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ישר במערכת צירים: השיפוע הוא טנגנס

Interactive activity

שאלה 5

A(1,\,1) ,\quad B(5,\,1) ,\quad C(5,\,4)

לחצו «להתחיל». א. מצאו את שיפוע $AC$ . ב. מצאו את הזווית שהישר $AC$ יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . ג. חשבו את $AC$ . ד. חשבו את $\sin\angle ACB$ .

משולש

\begin{aligned}AB &= 5 - 1 \\ &= 4 \\ \quad BC &= 4 - 1 \\ &= 3 \\ \quad \angle B &= 90^\circ\end{aligned}

$AB$ מקביל לציר ה- $x$ ו- $BC$ מקביל לציר ה- $y$ , ולכן מאונכים.

א. שיפוע

\begin{aligned}m &= \frac{4 - 1}{5 - 1} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ : בדיוק $\frac{BC}{AB}$ .

ב. זווית

\tan\alpha = \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ \alpha \approx 36.87^\circ

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית עם ציר ה- $x$ , וזו הזווית $A$ במשולש.

ג. AC

\begin{aligned}AC &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= 5\end{aligned}

משפט פיתגורס. ערך מדויק.

ד. סינוס

\begin{aligned}\sin\angle ACB &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{4}{5} \\ &= 0.8\end{aligned}

מול $C$ נמצא $AB = 4$ , והיתר $5$ . בלי מעלות בכלל.

כשהמשולש יושב במערכת צירים, ההפרשים בשיעורים הם הניצבים. השיפוע והטנגנס הם אותו מספר.

Do the activity on elev

מהו $\cos\angle ACB$ ? ומה הקשר בינו לבין $\sin\alpha$ מסעיף ב?

Show the answer and the solution

$\cos\angle ACB = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6$ , וגם $\sin\alpha = \sin A = \frac{3}{5}$ . שתי הזוויות החדות משלימות ל- $90^\circ$ , ולכן $\cos C = \sin A$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $\angle A = 50^\circ$ . חשבו את $AB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 9.33

Worked solution:

\cos 50^\circ = \frac{6}{AB}

$AC$ ליד $A$ , $AB$ היתר

AB = \frac{6}{\cos 50^\circ} \approx 9.33

היתר הוא הנעלם: מחלקים

$AB \approx 9.33$ . מי שכפל קיבל $3.86$ , קצר מהניצב $6$ , וזה בלתי אפשרי ליתר.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 8$ ) זווית הראש $\angle BAC = 50^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 24.51

Worked solution:

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 50^\circ

שתי הצלעות והזווית שביניהן

\approx 24.51

במחשבון

$S \approx 24.51$ . הדרך הארוכה, דרך הגובה $8\cos 25^\circ$ והבסיס $2 \cdot 8\sin 25^\circ$ , נותנת אותו מספר.

Check the answer on elev

Exercise 3

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 16$ , השוקיים $AD = BC = 6$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . חשבו את הבסיס $DC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= 6\cos 60^\circ \\ &= 3\end{aligned}

במשולש $AED$ הגובה $DE$ יוצר זווית ישרה; $AE$ ליד $60^\circ$

\begin{aligned}DC &= 16 - 2 \cdot 3 \\ &= 10\end{aligned}

שני המשולשים ישרי הזווית חופפים, ולכן $FB = AE$

$DC = 10$ . הגובה $3\sqrt{3}$ לא נדרש כאן: רק $AE$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

במלבן $ABCD$ : $AB = 8$ ו- $BC = 6$ . חשבו את הזווית $\angle CAB$ שבין האלכסון $AC$ לצלע $AB$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 36.9

Worked solution:

\begin{aligned}\tan\angle CAB &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}

במשולש $ABC$ : $BC$ מול, $AB$ ליד

\angle CAB \approx 36.9^\circ

במחשבון

$\angle CAB \approx 36.9^\circ$ . הזווית החדה בין האלכסונים היא כפולה: $73.7^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

ישר עובר דרך הנקודות $(2,\,3)$ ו- $(7,\,5)$ . מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 21.8

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \frac{5 - 3}{7 - 2} \\ &= \frac{2}{5} \\ &= 0.4\end{aligned}

השיפוע

\tan\alpha = 0.4 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 21.8^\circ

השיפוע הוא הטנגנס

$\alpha \approx 21.8^\circ$ . שיפוע קטן מ- $1$ , ולכן זווית קטנה מ- $45^\circ$ : בדיקת סבירות.

Check the answer on elev

1 — משולש ישר זווית: צלע, זווית, ואז הכול

2 — משולש שווה שוקיים: הגובה עושה את העבודה

3 — טרפז שווה שוקיים: גובה, ועוד גובה

4 — מלבן: הזווית בין האלכסונים

5 — ישר במערכת צירים: השיפוע הוא טנגנס

Exercises

Keep practising on elev