Sine, cosine and tangent

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכניסה לקניון בנתניה בונים כבש לכיסאות גלגלים. הכבש מגיע לגובה 55 מטר, ואורכו על הקרקע 1212 מטר. באמצע הדרך, אחרי 66 מטר על הקרקע, כמה גבוה נמצאים? הסתכלו על השרטוט לפני שתחשבו.

ABCDE
כבש לכיסא גלגלים: ACAC הוא הכבש, BCBC הגובה שלו. באמצע הדרך, בנקודה DD, מודדים את הגובה DEDE. שני משולשים ישרי זווית, אותה זווית AA.

למה המשולש ADEADE והמשולש ABCABC דומים? ומה זה אומר על היחס DEAD\frac{DE}{AD} לעומת CBAB\frac{CB}{AB}?

Show the answer and the solution

בשניהם יש זווית ישרה, והזווית AA משותפת. שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז. במשולשים דומים היחס בין צלעות מתאימות שווה: DEAD=CBAB=512\frac{DE}{AD} = \frac{CB}{AB} = \frac{5}{12}, ולכן DE=6⋅512=2.5DE = 6 \cdot \frac{5}{12} = 2.5 מטר.

זו כל הטריגונומטריה של המשולש ישר הזווית: היחס בין שתי צלעות אינו תלוי בגודל המשולש, אלא רק בזווית. לכן אפשר לתת ליחס שם, ולחשב אותו פעם אחת לכל זווית.

שלושת היחסים

בוחרים זווית חדה α\alpha במשולש. ביחס אליה, לכל צלע יש תפקיד: הניצב שמול הזווית, הניצב שליד הזווית, והיתר. שימו לב: כשעוברים לזווית החדה השנייה, «מול» ו«ליד» מתחלפים, והיתר נשאר יתר.

sin⁡α=ac\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

סינוס: הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

cos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

קוסינוס: הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

tan⁡α=ab\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

טנגנס: הניצב שמול, חלקי הניצב שליד. בלי היתר.

כאן aa הוא הניצב שמול α\alpha, bb הניצב שלידה ו-cc היתר. שלושת היחסים מוגדרים לזווית חדה, והזווית נמדדת במעלות.

לפני כל חישוב: לסמן את הזווית, ואז לכתוב ליד כל צלע «מול», «ליד» או «יתר». רוב הטעויות בפרק הן החלפה בין «מול» ל«ליד».

למה הערך תלוי רק בזווית

קחו שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה α\alpha. יש בהם זווית ישרה וזווית α\alpha, ולכן הם דומים לפי ז.ז. במשולשים דומים כל היחסים בין צלעות מתאימות שווים: הניצב שמול α\alpha חלקי היתר יוצא אותו מספר בשניהם. לכן sin⁡α\sin\alpha הוא מספר אחד לכל זווית, ולא משנה באיזה משולש מדדנו אותו. זו הסיבה שמחשבון יכול לדעת את sin⁡37∘\sin 37^\circ בלי לראות את המשולש שלכם.

האם ייתכן ש-sin⁡α=1.2\sin\alpha = 1.2 עבור זווית חדה α\alpha?

Show the answer and the solution

לא. sin⁡α\sin\alpha הוא ניצב חלקי יתר, והניצב תמיד קצר מהיתר. לכן 0<sin⁡α<10 < \sin\alpha < 1 לכל זווית חדה, וכך גם הקוסינוס. אם קיבלתם סינוס גדול מ-11, החלפתם בין הניצב ליתר.

כשהזווית גדלה

נשאיר את היתר באורך 11 ונגדיל את הזווית α\alpha מ-0∘0^\circ עד 90∘90^\circ. הניצב שמול α\alpha גדל מ-00 עד 11, והניצב שליד קטן מ-11 עד 00. לכן:

sin⁡0∘=0 ⟶ sin⁡90∘=1\begin{aligned}\sin 0^\circ &= 0 \ \longrightarrow \ \sin 90^\circ \\ &= 1\end{aligned}

הסינוס עולה מ-00 ל-11.

cos⁡0∘=1 ⟶ cos⁡90∘=0\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \ \longrightarrow \ \cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

הקוסינוס יורד מ-11 ל-00.

tan⁡0∘=0 ⟶ tan⁡90∘ ?\tan 0^\circ = 0 \ \longrightarrow \ \tan 90^\circ \ \text{?}

הטנגנס עולה מ-00 וגדל ללא גבול. ב-90∘90^\circ הניצב שליד הוא 00, ואסור לחלק ב-00: tan⁡90∘\tan 90^\circ אינו מוגדר.

ב-0∘0^\circ וב-90∘90^\circ אין משולש של ממש, אבל הערכים האלה הם הגבולות שאליהם היחסים מתקרבים, ומשתמשים בהם כמו בכל ערך אחר.

מי גדול יותר, sin⁡20∘\sin 20^\circ או sin⁡70∘\sin 70^\circ? ומי גדול יותר, cos⁡20∘\cos 20^\circ או cos⁡70∘\cos 70^\circ?

Show the answer and the solution

sin⁡70∘\sin 70^\circ גדול יותר: הסינוס עולה עם הזווית. cos⁡20∘\cos 20^\circ גדול יותר: הקוסינוס יורד עם הזווית. במחשבון: sin⁡70∘≈0.94\sin 70^\circ \approx 0.94 לעומת sin⁡20∘≈0.34\sin 20^\circ \approx 0.34.

טנגנס ושיפוע

ישר במערכת צירים יוצר זווית α\alpha עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. אם מתקדמים על הישר, ה«עלייה» חלקי ה«התקדמות» היא השיפוע mm. אבל העלייה היא הניצב שמול α\alpha, וההתקדמות היא הניצב שלידה. לכן:

OPQ
הישר OQOQ יוצא מהראשית. כשמתקדמים 44 ימינה עולים 33: השיפוע הוא 34\frac{3}{4}, וזה בדיוק tan⁡\tan של הזווית OO שבין הישר לציר ה-xx.
m=tan⁡αm = \tan\alpha

השיפוע של ישר הוא הטנגנס של הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-xx

מהישר לזווית

ישר עובר דרך הנקודות (1, 2)(1,\,2) ו-(4, 8)(4,\,8). מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

m=8−24−1=63=2\begin{aligned}m &= \frac{8-2}{4-1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע: הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

tan⁡α=2\tan\alpha = 2

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

α=tan⁡−1(2)≈63.43∘\alpha = \tan^{-1}(2) \approx 63.43^\circ

במחשבון: tan⁡−1\tan^{-1}, במצב מעלות

שיפוע חיובי: הישר עולה, והזווית חדה. ישר עם שיפוע 11 יוצר זווית של 45∘45^\circ, כי tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1. ישר יורד? השיפוע שלילי, ואז −m-m הוא הטנגנס של הזווית החדה שבין הישר לציר.

שלוש טעויות שחוזרות בהגדרות.

sin⁡α=bc\sin\alpha = \frac{b}{c}
sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}

סינוס הולך עם הניצב שמול הזווית, aa. הניצב שליד, bb, שייך לקוסינוס.

tan⁡90∘=1\tan 90^\circ = 1
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

tan⁡90∘\tan 90^\circ אינו מוגדר: ב-90∘90^\circ הניצב שליד הוא 00, וחילוק ב-00 אסור. הזווית שהטנגנס שלה 11 היא 45∘45^\circ.

sin⁡α=106\sin\alpha = \frac{10}{6}
sin⁡α=610\sin\alpha = \frac{6}{10}

המכנה של סינוס וקוסינוס הוא תמיד היתר, הצלע הארוכה. תוצאה גדולה מ-11 היא סימן שהתהפכתם.

Exercises

Exercise 1

RPQ

במשולש PQRPQR הזווית RR ישרה. איזה יחס שווה ל-sin⁡P\sin P?

  1. QRPQ\frac{QR}{PQ}
  2. PRPQ\frac{PR}{PQ}
  3. PQQR\frac{PQ}{QR}
  4. QRPR\frac{QR}{PR}
Show the answer and the solution

Answer: A QRPQ\frac{QR}{PQ}

Worked solution:

sin⁡P=QRPQ\sin P = \frac{QR}{PQ}

הניצב שמול PP הוא QRQR, והיתר, מול הזווית הישרה, הוא PQPQ

הנכונה: QRPQ\frac{QR}{PQ}. המלכודת: PRPQ\frac{PR}{PQ} הוא cos⁡P\cos P, כי PRPR יוצא מהקדקוד PP ולכן הוא הניצב שליד.

Check the answer on elev

Exercise 2

RPQ

במשולש PQRPQR הזווית RR ישרה. איזה יחס שווה ל-tan⁡Q\tan Q?

  1. PRPQ\frac{PR}{PQ}
  2. PRQR\frac{PR}{QR}
  3. QRPR\frac{QR}{PR}
  4. QRPQ\frac{QR}{PQ}
Show the answer and the solution

Answer: B PRQR\frac{PR}{QR}

Worked solution:

tan⁡Q=PRQR\tan Q = \frac{PR}{QR}

מול QQ נמצא הניצב PRPR, ליד QQ הניצב QRQR. טנגנס: מול חלקי ליד

הנכונה: PRQR\frac{PR}{QR}. QRPR\frac{QR}{PR} הוא tan⁡P\tan P: כשעוברים לזווית השנייה, «מול» ו«ליד» מתחלפים.

Check the answer on elev

Exercise 3

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, BC=6BC = 6, AC=8AC = 8 ו-AB=10AB = 10. חשבו את sin⁡A\sin A.

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

sin⁡A=BCAB=610=0.6\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6\end{aligned}

BCBC מול AA, ABAB היתר

sin⁡A=0.6\sin A = 0.6. מי שקיבל 0.80.8 לקח את ACAC, הניצב שליד, וזה cos⁡A\cos A.

Check the answer on elev

Exercise 4

CAB

באותו משולש ABCABC (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, BC=6BC = 6, AC=8AC = 8, AB=10AB = 10) חשבו את tan⁡B\tan B. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.33

Worked solution:

tan⁡B=ACBC=86≈1.33\begin{aligned}\tan B &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{8}{6} \approx 1.33\end{aligned}

מול BB נמצא ACAC, ליד BB נמצא BCBC

tan⁡B≈1.33\tan B \approx 1.33, גדול מ-11: הזווית BB גדולה מ-45∘45^\circ, כי הניצב שמולה ארוך מהניצב שלידה. טנגנס יכול להיות גדול מ-11.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: קיימת זווית חדה α\alpha שעבורה cos⁡α=1.25\cos\alpha = 1.25.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}

ניצב חלקי יתר

b<c ⇒ bc<1b < c \ \Rightarrow \ \frac{b}{c} < 1

הניצב קצר מהיתר

הטענה לא נכונה. קוסינוס של זווית חדה תמיד בין 00 ל-11, כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 6

מיינו: אילו מהמספרים יכולים להיות sin⁡α\sin\alpha של זווית חדה α\alpha?

  • יכול להיות סינוס של זווית חדה
  • לא יכול
  • −0.2-0.2
  • 12\frac{1}{2}
  • 0.30.3
  • 0.990.99
  • 1.51.5
  • 22
Show the answer and the solution

Answer: 0.30.3 — יכול להיות סינוס של זווית חדה · 0.990.99 — יכול להיות סינוס של זווית חדה · 12\frac{1}{2} — יכול להיות סינוס של זווית חדה · 1.51.5 — לא יכול · −0.2-0.2 — לא יכול · 22 — לא יכול

Worked solution:

0<sin⁡α<10 < \sin\alpha < 1

הניצב חיובי וקצר מהיתר

סינוס של זווית חדה הוא מספר חיובי וקטן מ-11. שלילי אי אפשר (אורכים חיוביים), ו-1.51.5 או 22 אי אפשר (הניצב קצר מהיתר).

Check the answer on elev

Exercise 7

מי מהערכים הבאים הוא הגדול ביותר?

  1. cos⁡10∘\cos 10^\circ
  2. שלושתם שווים
  3. cos⁡40∘\cos 40^\circ
  4. cos⁡80∘\cos 80^\circ
Show the answer and the solution

Answer: A cos⁡10∘\cos 10^\circ

Worked solution:

cos⁡10∘≈0.98,cos⁡40∘≈0.77,cos⁡80∘≈0.17\cos 10^\circ \approx 0.98 ,\quad \cos 40^\circ \approx 0.77 ,\quad \cos 80^\circ \approx 0.17

הקוסינוס יורד כשהזווית גדלה

הנכונה: cos⁡10∘\cos 10^\circ. ככל שהזווית גדלה, הניצב שלידה מתקצר, והקוסינוס קטן. בסינוס זה הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 8

הישר y=3x−1y = 3x - 1 יוצר זווית α\alpha עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx. חשבו את tan⁡α\tan\alpha.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

m=3m = 3

השיפוע של y=3x−1y = 3x - 1

tan⁡α=m=3\begin{aligned}\tan\alpha &= m \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

tan⁡α=3\tan\alpha = 3. המספר החופשי −1-1 מזיז את הישר למעלה ולמטה ואינו משנה את הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 9

ישר עובר דרך הנקודות (2, 1)(2,\,1) ו-(6, 4)(6,\,4). חשבו את הטנגנס של הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

m=4−16−2=34\begin{aligned}m &= \frac{4-1}{6-2} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע: הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

tan⁡α=0.75\tan\alpha = 0.75

השיפוע הוא הטנגנס

tan⁡α=0.75\tan\alpha = 0.75. מי שחישב 43\frac{4}{3} חילק את ההתקדמות בעלייה: הטנגנס הוא עלייה חלקי התקדמות.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו tan⁡90∘\tan 90^\circ?

  1. 9090
  2. לא מוגדר
  3. 00
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: B לא מוגדר

Worked solution:

tan⁡α=abb→0\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{a}{b} \\ \quad b \to 0\end{aligned}

ב-90∘90^\circ הניצב שליד מתאפס, ואי אפשר לחלק ב-00

הנכונה: לא מוגדר. sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 ו-cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0 מוגדרים היטב, אבל 10\frac{1}{0} אינו מספר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade