Identities and special angles

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלושת היחסים של אותה זווית נבנים מאותן שלוש צלעות. לכן הם קשורים זה לזה: מי שיודע אחד מהם יכול למצוא את שני האחרים, בלי מחשבון ובלי לדעת את הזווית. הסתכלו על המשולש.

CAB
במשולש ABCABC עם זווית ישרה ב-CC: a=BCa = BC הניצב שמול AA, b=ACb = AC הניצב שליד AA, c=ABc = AB היתר. שלושת היחסים של הזווית AA נבנים מאותן שלוש צלעות.

הזהות הראשונה: טנגנס הוא סינוס חלקי קוסינוס

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

הוכחה מההגדרה. sin⁡αcos⁡α=ac:bc=ac⋅cb=ab=tan⁡α\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \tan\alpha. היתר cc מצטמצם, ונשאר בדיוק «מול חלקי ליד».

הזהות השנייה: פיתגורס בתחפושת

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

הוכחה ממשפט פיתגורס. במשולש: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. מחלקים את שני האגפים ב-c2c^2: a2c2+b2c2=1\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1, כלומר (ac)2+(bc)2=1\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1, וזה sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. הסימון sin⁡2α\sin^2\alpha פירושו (sin⁡α)2(\sin\alpha)^2.

נתון sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6 עבור זווית חדה. מהו cos⁡α\cos\alpha? ומהו tan⁡α\tan\alpha?

Show the answer and the solution

cos⁡2α=1−0.36=0.64\cos^2\alpha = 1 - 0.36 = 0.64, ולכן cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 (חיובי, כי הזווית חדה). ואז tan⁡α=0.60.8=0.75\tan\alpha = \frac{0.6}{0.8} = 0.75. בלי לדעת את הזווית עצמה.

הזהות השלישית: שתי הזוויות החדות

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha

במשולש ישר זווית סכום שתי הזוויות החדות הוא 90∘90^\circ: אם אחת היא α\alpha, השנייה היא 90∘−α90^\circ - \alpha. הניצב שמול הזווית הראשונה הוא הניצב שליד השנייה. לכן sin⁡(90∘−α)=bc=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \frac{b}{c} = \cos\alpha, ובאותו אופן cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha.

sin⁡20∘=cos⁡70∘\sin 20^\circ = \cos 70^\circ

שתי הזוויות משלימות ל-90∘90^\circ.

cos⁡35∘=sin⁡55∘\cos 35^\circ = \sin 55^\circ

הניצב שליד 35∘35^\circ הוא הניצב שמול 55∘55^\circ.

sin⁡45∘=cos⁡45∘\sin 45^\circ = \cos 45^\circ

הזווית משלימה את עצמה.

השלימו: cos⁡17∘=sin⁡ ?\cos 17^\circ = \sin \ ?

Show the answer and the solution

sin⁡73∘\sin 73^\circ, כי 90∘−17∘=73∘90^\circ - 17^\circ = 73^\circ. בדקו במחשבון: שניהם ≈0.956\approx 0.956.

30∘30^\circ ו-60∘60^\circ: חצי משולש שווה צלעות

ההוכחה. במשולש שווה צלעות כל זווית היא 60∘60^\circ. הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית, ולכן חצי המשולש הוא משולש ישר זווית עם זוויות 30∘30^\circ ו-60∘60^\circ, יתר 22, ניצב 11 מול 30∘30^\circ וניצב 3\sqrt{3} מול 60∘60^\circ. מכאן כל הערכים:

sin⁡30∘=12cos⁡30∘=32tan⁡30∘=13=33\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \dfrac{1}{2} \\ \quad \cos 30^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad \tan 30^\circ &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

הזווית 30∘30^\circ: מולה הניצב הקצר 11.

sin⁡60∘=32cos⁡60∘=12tan⁡60∘=3\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \quad \cos 60^\circ &= \dfrac{1}{2} \\ \quad \tan 60^\circ &= \sqrt{3}\end{aligned}

הזווית 60∘60^\circ: מולה הניצב הארוך 3\sqrt{3}.

45∘45^\circ: משולש ישר זווית שווה שוקיים

ABC
חצי ריבוע: שני הניצבים שווים, ולכן שתי הזוויות החדות שוות, 45∘45^\circ כל אחת. עם ניצבים באורך 11, היתר הוא 2\sqrt{2} לפי פיתגורס.

ההוכחה. ניצבים 11 ו-11, ולפי פיתגורס היתר 1+1=2\sqrt{1+1} = \sqrt{2}. שתי הזוויות החדות שוות, ולכן כל אחת 45∘45^\circ. מכאן sin⁡45∘=cos⁡45∘=12=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ו-tan⁡45∘=11=1\tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1.

בדיקה עם הזהות השנייה

ודאו ש-sin⁡230∘+cos⁡230∘=1\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 וש-sin⁡245∘+cos⁡245∘=1\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = 1.

(12)2+(32)2=14+34=1\begin{aligned}\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 &= \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} \\ &= 1\end{aligned}

הזווית 30∘30^\circ

(22)2+(22)2=24+24=1\begin{aligned}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 &= \tfrac{2}{4} + \tfrac{2}{4} \\ &= 1\end{aligned}

הזווית 45∘45^\circ

בבחינה כותבים ערך מדויק: 32\frac{\sqrt{3}}{2} ולא 0.870.87. את הערכים לא חייבים לזכור בעל פה: מציירים את חצי המשולש שווה הצלעות ואת חצי הריבוע, וקוראים אותם מהשרטוט.

סינוס של זווית קהה

בנוסחת השטח S=12absin⁡γS = \frac{1}{2}ab\sin\gamma הזווית γ\gamma יכולה להיות קהה, וצריך לדעת מה הסינוס שלה. הכלל: לזווית ולזווית המשלימה אותה ל-180∘180^\circ יש אותו סינוס.

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

sin⁡135∘=sin⁡45∘=22\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

180∘−135∘=45∘180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

מהו sin⁡150∘\sin 150^\circ? ומהו sin⁡100∘\sin 100^\circ (במחשבון, שלוש ספרות אחרי הנקודה)?

Show the answer and the solution

sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. sin⁡100∘=sin⁡80∘≈0.985\sin 100^\circ = \sin 80^\circ \approx 0.985. המחשבון יודע לחשב סינוס של זווית קהה ישירות, אבל כשהזווית «מיוחדת» עדיף הערך המדויק.

שלוש טעויות בזהויות ובערכים.

sin⁡60∘=12\sin 60^\circ = \frac{1}{2}
sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

מול 60∘60^\circ נמצא הניצב הארוך, 3\sqrt{3}. הערך 12\frac{1}{2} שייך ל-sin⁡30∘\sin 30^\circ ול-cos⁡60∘\cos 60^\circ.

sin⁡α+cos⁡α=1\sin\alpha + \cos\alpha = 1
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

הזהות היא על הריבועים. בדיקה: sin⁡45∘+cos⁡45∘=2≠1\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \sqrt{2} \neq 1.

tan⁡45∘=22\tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

טנגנס הוא ניצב חלקי ניצב, ובחצי ריבוע שני הניצבים שווים. 22\frac{\sqrt{2}}{2} הוא הסינוס והקוסינוס.

Exercises

Exercise 1

מהו הערך המדויק של sin⁡60∘\sin 60^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. 3\sqrt{3}
Show the answer and the solution

Answer: A 32\frac{\sqrt{3}}{2}

Worked solution:

sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

בחצי המשולש שווה הצלעות: מול 60∘60^\circ הניצב 3\sqrt{3}, והיתר 22

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. 12\frac{1}{2} הוא sin⁡30∘\sin 30^\circ; 3\sqrt{3} הוא tan⁡60∘\tan 60^\circ, ולא יכול להיות סינוס כי הוא גדול מ-11.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הערך המדויק של tan⁡30∘\tan 30^\circ?

  1. 3\sqrt{3}
  2. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 33\frac{\sqrt{3}}{3}
Show the answer and the solution

Answer: D 33\frac{\sqrt{3}}{3}

Worked solution:

tan⁡30∘=13=33\begin{aligned}\tan 30^\circ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

מול 30∘30^\circ הניצב 11, לידו הניצב 3\sqrt{3}

הנכונה: 33\frac{\sqrt{3}}{3}. 3\sqrt{3} הוא tan⁡60∘\tan 60^\circ: היחס ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

עבור זווית חדה α\alpha נתון sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8. חשבו את cos⁡α\cos\alpha.

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

cos⁡2α=1−0.82=1−0.64=0.36\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.8^2 \\ &= 1 - 0.64 \\ &= 0.36\end{aligned}

הזהות sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

cos⁡α=0.36=0.6\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{0.36} \\ &= 0.6\end{aligned}

הזווית חדה, ולכן הקוסינוס חיובי

cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. מי שכתב cos⁡α=1−0.8=0.2\cos\alpha = 1 - 0.8 = 0.2 שכח שהזהות היא על הריבועים.

Check the answer on elev

Exercise 4

עבור זווית חדה α\alpha נתון cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. חשבו את tan⁡α\tan\alpha. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.33

Worked solution:

sin⁡α=1−0.36=0.8\begin{aligned}\sin\alpha &= \sqrt{1 - 0.36} \\ &= 0.8\end{aligned}

הזהות השנייה

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=0.80.6≈1.33\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ &= \frac{0.8}{0.6} \approx 1.33\end{aligned}

הזהות הראשונה

tan⁡α≈1.33\tan\alpha \approx 1.33. שתי זהויות, שני צעדים: קודם הסינוס מפיתגורס, ואז טנגנס = סינוס חלקי קוסינוס.

Check the answer on elev

Exercise 5

השלימו לפי הזהות sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha.

sin⁡25∘=cos⁡\sin 25^\circ = \cos ____∘^\circ , cos⁡10∘=sin⁡\cos 10^\circ = \sin ____∘^\circ

Show the answer and the solution

Answer: sin⁡25∘=cos⁡\sin 25^\circ = \cos 65∘^\circ , cos⁡10∘=sin⁡\cos 10^\circ = \sin 80∘^\circ

Worked solution:

90∘−25∘=65∘90^\circ - 25^\circ = 65^\circ

הזווית המשלימה

90∘−10∘=80∘90^\circ - 10^\circ = 80^\circ

הזווית המשלימה

הזוויות משלימות ל-90∘90^\circ, לא ל-180∘180^\circ: הן שתי הזוויות החדות של אותו משולש ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הערך המדויק של sin⁡135∘\sin 135^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. −22-\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. 12\frac{1}{2}
Show the answer and the solution

Answer: C 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Worked solution:

sin⁡135∘=sin⁡(180∘−45∘)=sin⁡45∘\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin(180^\circ - 45^\circ) \\ &= \sin 45^\circ\end{aligned}

לזווית ולמשלימה שלה ל-180∘180^\circ אותו סינוס

=22= \frac{\sqrt{2}}{2}

מחצי הריבוע

הנכונה: 22\frac{\sqrt{2}}{2}. סינוס של זווית קהה הוא חיובי, בדיוק כמו של הזווית החדה המשלימה.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו הערך המדויק של sin⁡120∘\sin 120^\circ?

  1. 3\sqrt{3}
  2. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 12\frac{1}{2}
Show the answer and the solution

Answer: C 32\frac{\sqrt{3}}{2}

Worked solution:

sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\begin{aligned}\sin 120^\circ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. המלכודת: 12\frac{1}{2}, מי שחישב 120∘−90∘=30∘120^\circ - 90^\circ = 30^\circ. משלימים ל-180∘180^\circ, לא ל-90∘90^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ = \sin 30^\circ.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ

sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הזהות sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הטענה נכונה. זה הכלל שמאפשר להשתמש בנוסחת השטח גם כשהזווית בין הצלעות קהה.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל יחס את ערכו המדויק.

  • sin⁡30∘\sin 30^\circ
  • cos⁡30∘\cos 30^\circ
  • tan⁡45∘\tan 45^\circ
  • sin⁡45∘\sin 45^\circ
  • 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  • 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • 12\frac{1}{2}
  • 11
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡30∘\sin 30^\circ — 12\frac{1}{2} · cos⁡30∘\cos 30^\circ — 32\frac{\sqrt{3}}{2} · tan⁡45∘\tan 45^\circ — 11 · sin⁡45∘\sin 45^\circ — 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Worked solution:

1:2:31 : 2 : \sqrt{3}

חצי המשולש שווה הצלעות: 30∘30^\circ מול 11

1:1:21 : 1 : \sqrt{2}

חצי הריבוע: 45∘45^\circ

שני שרטוטים נותנים את כל הטבלה. cos⁡30∘=sin⁡60∘\cos 30^\circ = \sin 60^\circ: אותו מספר, שתי זוויות משלימות.

Check the answer on elev

Exercise 10

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. נסמן a=BCa = BC, b=ACb = AC, c=ABc = AB. הוכיחו: sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1.

  • ∠C=90∘\angle C = 90^\circ
  • a=BCa = BC, b=ACb = AC, c=ABc = AB

sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1

Show the answer and the solution
  1. a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 — משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית ABCABC
  2. sin⁡A=ac\sin A = \frac{a}{c}, cos⁡A=bc\cos A = \frac{b}{c} — הגדרת הסינוס והקוסינוס: aa מול AA, bb ליד AA, cc היתר
  3. sin⁡2A+cos⁡2A=a2c2+b2c2=a2+b2c2\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} — מציבים ומחברים שברים עם אותו מכנה
  4. sin⁡2A+cos⁡2A=c2c2=1\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{c^2}{c^2} = 1 — מציבים a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 במונה

Worked solution:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

פיתגורס

a2c2+b2c2=1\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1

מחלקים ב-c2c^2

ההוכחה היא פיתגורס חלקי c2c^2. המלכודת: לנמק ב«סכום הזוויות», שאינו קשור לאורכי הצלעות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade