Set 3 — challenging · Right-triangle trigonometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שדורשות למצוא את המשולש ישר הזווית לפני שמחשבים: טרפז, משולש שווה שוקיים, מעוין, דלתון, זווית מתוך שטח, והיקף עם ערכים מדויקים.

ציירו את הגובה או האלכסון, סמנו את הזווית הישרה, וכתבו איזה משפט מצדיק אותו: תיכון, חוצה זווית, אלכסונים מאונכים.

Exercises

Exercise 1

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 22$ ו- $DC = 10$ , וזווית הבסיס $\angle A = 45^\circ$ . חשבו את גובה הטרפז.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= \frac{22 - 10}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הגובה $DE$ חותך את חצי ההפרש בין הבסיסים

\begin{aligned}DE &= 6\tan 45^\circ \\ &= 6\end{aligned}

במשולש $AED$ : $DE$ מול $45^\circ$ , $AE$ ליד

הגובה $6$ . עם $45^\circ$ המשולש ישר זווית שווה שוקיים, והגובה שווה ל- $AE$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 16$ וזווית הבסיס $\angle B = 35^\circ$ . חשבו את הגובה לבסיס. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.6

Worked solution:

BD = 8

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AD = 8\tan 35^\circ \approx 5.6

במשולש $ABD$ : $AD$ מול $B$ , $BD$ ליד

$AD \approx 5.6$ . חצי הבסיס, לא הבסיס כולו.

Check the answer on elev

Exercise 3

במעוין $ABCD$ הצלע $6$ ו- $\angle A = 120^\circ$ . מהו אורך האלכסון $AC$ ?

$6$
$3\sqrt{3}$
$12$
$6\sqrt{3}$

Show the answer and the solution

Answer: A $6$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות במעוין משלימות ל- $180^\circ$

\begin{aligned}\angle OBA &= 30^\circ \\ \quad OA &= 6\sin 30^\circ \\ &= 3\end{aligned}

האלכסון $BD$ חוצה את הזווית $B$ ; במשולש $AOB$ הישר זווית, $OA$ מול $30^\circ$

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot OA \\ &= 6\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

הנכונה: $6$ . $AC$ הוא האלכסון הקצר, מול הזווית $60^\circ$ : המשולש $ABC$ שווה שוקיים עם זווית $60^\circ$ ב- $B$ , כלומר שווה צלעות. $6\sqrt{3}$ הוא האלכסון הארוך $BD$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

שטח המשולש $ABC$ הוא $24$ , $CA = 12$ ו- $CB = 8$ . הזווית $C$ חדה. מהי $\angle C$ , במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

\begin{aligned}24 &= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin C \\ &= 48\sin C\end{aligned}

נוסחת השטח

\begin{aligned}\sin C &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \angle C \\ &= 30^\circ\end{aligned}

הזווית החדה

$\angle C = 30^\circ$ . הזווית הקהה $150^\circ$ נותנת אותו שטח, ולכן השאלה ציינה «חדה».

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . מהו $AC$ ?

$12\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$
$6\sqrt{3}$
$6$

Show the answer and the solution

Answer: C $6\sqrt{3}$

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 12\cos 30^\circ \\ &= 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

$AC$ ליד $30^\circ$ , היתר $12$

\begin{aligned}BC &= 6 \\ \quad AC &= \sqrt{144 - 36} \\ &= \sqrt{108} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

בדיקה: הניצב שמול $30^\circ$ הוא $6$ , ואז פיתגורס

הנכונה: $6\sqrt{3}$ . $6$ הוא $BC$ , הניצב שמול $30^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש ישר זווית שווה שוקיים היתר $10$ . חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 10\sin 45^\circ \\ &= 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

כל ניצב

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 50 \\ &= 25\end{aligned}

הניצבים מאונכים

$S = 25$ . המלכודת: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 45^\circ$ . היתר $10$ מופיע במשולש פעם אחת, לא פעמיים; הנוסחה עם סינוס דורשת שתי צלעות והזווית שביניהן.

Check the answer on elev

Exercise 7

עבור זווית חדה $\alpha$ נתון $\tan\alpha = 2.4$ . חשבו את $\sin\alpha$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.923

Worked solution:

\tan\alpha = \frac{12}{5}

משולש ישר זווית עם ניצבים $12$ (מול) ו- $5$ (ליד)

\begin{aligned}c &= \sqrt{144 + 25} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס

\sin\alpha = \frac{12}{13} \approx 0.923

מול חלקי יתר

$\sin\alpha \approx 0.923$ . הטנגנס קובע את צורת המשולש עד כדי דמיון, ולכן מספיק לבחור משולש נוח.

Check the answer on elev

Exercise 8

בדלתון $ABCD$ : $AB = AD = 10$ ו- $\angle BAC = 40^\circ$ , כאשר $AC$ הוא האלכסון הראשי. חשבו את $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 12.86

Worked solution:

\angle AOB = 90^\circ

האלכסון הראשי של דלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו

BO = 10\sin 40^\circ \approx 6.43

במשולש $ABO$ : $BO$ מול, $AB$ היתר

BD = 2 \cdot BO \approx 12.86

האלכסון הראשי חוצה את המשני

$BD \approx 12.86$ . מי שעצר ב- $6.43$ מצא רק חצי אלכסון.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 20$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 47.32

Worked solution:

\begin{aligned}BC &= 20\sin 30^\circ \\ &= 10\end{aligned}

הניצב שמול $30^\circ$ הוא חצי היתר

\begin{aligned}AC &= 20\cos 30^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

הניצב שליד

P = 20 + 10 + 10\sqrt{3} \approx 47.32

ההיקף

$P = 30 + 10\sqrt{3} \approx 47.32$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה. מצאו אותה ותקנו.

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

\cos 30^\circ = \frac{1}{2}

\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}

Show the answer and the solution

Answer: $\cos 30^\circ = \frac{1}{2}$ → $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Worked solution:

\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

ליד $30^\circ$ נמצא הניצב הארוך $\sqrt{3}$

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

החצי שייך ל- $60^\circ$

השורה השנייה. $\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : הזוויות משלימות, וה- $\frac{1}{2}$ הוא $\cos 60^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev