Set 4 — advanced · Right-triangle trigonometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שני צעדים: טרפז שלם, מלבן מהאלכסון, זווית ראש של $120^\circ$ , שטח עם זווית קהה, דלתון, התיכון ליתר, וזווית ראש מהבסיס.

בכל שאלה של שני צעדים, הצלע שמצאתם בצעד הראשון היא הנתון של השני. כתבו אותה על השרטוט לפני שממשיכים.

Exercises

Exercise 1

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 20$ , השוקיים $AD = BC = 10$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . א. חשבו את הבסיס $DC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= 10\cos 60^\circ \\ &= 5\end{aligned}

במשולש $AED$ : $AE$ ליד $60^\circ$ , $AD$ היתר

\begin{aligned}DC &= 20 - 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

שני המשולשים ישרי הזווית חופפים

$DC = 10$ . הטרפז הזה מורכב משלושה משולשים שווי צלעות שצלעם $10$ : בדיקה יפה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 20$ , השוקיים $AD = BC = 10$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . ב. חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 129.9

Worked solution:

\begin{aligned}DE &= 10\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה: מול $60^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{(20 + 10) \cdot 5\sqrt{3}}{2} \\ &= 75\sqrt{3} \approx 129.9\end{aligned}

שטח טרפז

$S = 75\sqrt{3} \approx 129.9$ . המלכודת: לקחת את השוק $10$ כגובה.

Check the answer on elev

Exercise 3

במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 20$ , והזווית בין האלכסון לצלע $AB$ היא $30^\circ$ . חשבו את שטח המלבן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 173.21

Worked solution:

\begin{aligned}BC &= 20\sin 30^\circ \\ &= 10\end{aligned}

במשולש $ABC$ : $BC$ מול, $AC$ היתר

\begin{aligned}AB &= 20\cos 30^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

הניצב שליד

\begin{aligned}S &= 10 \cdot 10\sqrt{3} \\ &= 100\sqrt{3} \approx 173.21\end{aligned}

שטח מלבן

$S = 100\sqrt{3} \approx 173.21$ . בדיקה: $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 60^\circ = 100\sqrt{3}$ , כי הזווית בין האלכסונים היא $60^\circ$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 8$ ) זווית הראש $\angle BAC = 120^\circ$ . מהו אורך הבסיס $BC$ ?

$16$
$8\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$
$8$

Show the answer and the solution

Answer: B $8\sqrt{3}$

Worked solution:

\angle BAD = 60^\circ

הגובה $AD$ חוצה את זווית הראש

\begin{aligned}BD &= 8\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש $ABD$ : $BD$ מול $60^\circ$

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot 4\sqrt{3} \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון

הנכונה: $8\sqrt{3}$ . $4\sqrt{3}$ הוא חצי הבסיס. $16$ היה נכון רק אם הזווית הייתה $180^\circ$ , כלומר לא משולש.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ : $CA = 9$ , $CB = 8$ והזווית שביניהן $\angle C = 135^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 25.46

Worked solution:

\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

הזווית המשלימה ל- $180^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 18\sqrt{2} \approx 25.46\end{aligned}

נוסחת השטח

$S = 18\sqrt{2} \approx 25.46$ . אותו שטח כמו עם זווית של $45^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

בדלתון $ABCD$ : $AB = AD = 13$ , $CB = CD$ , האלכסון המשני $BD = 10$ , ו- $\angle BCA = 45^\circ$ . חשבו את שטח הדלתון.

Show the answer and the solution

Answer: 85

Worked solution:

\begin{aligned}BO &= 5 \\ \quad AO &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני ומאונך לו; פיתגורס במשולש $ABO$

\begin{aligned}OC &= \frac{BO}{\tan 45^\circ} \\ &= 5\end{aligned}

במשולש $CBO$ ישר הזווית: $BO$ מול $45^\circ$ , $OC$ ליד

\begin{aligned}AC &= 12 + 5 \\ &= 17 \\ \quad S &= \frac{17 \cdot 10}{2} \\ &= 85\end{aligned}

שטח דלתון: מכפלת האלכסונים חלקי $2$

$S = 85$ . שני צעדים: $BO$ מהמשולש הראשון משמש במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . $M$ היא אמצע היתר $AB$ . חשבו את היקף המשולש $BCM$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\begin{aligned}CM &= \frac{1}{2} AB \\ &= 6\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= 12\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

הניצב שמול $30^\circ$ הוא חצי היתר

BM = 6

$M$ אמצע $AB$

\begin{aligned}P &= 6 + 6 + 6 \\ &= 18\end{aligned}

המשולש $BCM$ שווה צלעות

$P = 18$ . שלושה משפטים, שלוש צלעות שוות: $BCM$ שווה צלעות, וגם $\angle B = 60^\circ$ מאשר את זה.

Check the answer on elev

Exercise 8

ישר עובר דרך הנקודות $(1,\,2)$ ו- $(4,\,7)$ . מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 59

Worked solution:

\begin{aligned}m &= \frac{7 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

השיפוע

\alpha = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{3}\right) \approx 59.0^\circ

השיפוע הוא הטנגנס

$\alpha \approx 59.0^\circ$ . מי שחישב $\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 31.0^\circ$ מצא את הזווית עם ציר ה- $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: אם $\sin\alpha = 0.6$ עבור זווית חדה $\alpha$ , אז $\cos\alpha = 0.4$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות על הריבועים

\cos\alpha = 0.8

ולא $1 - 0.6$

הטענה לא נכונה. $\sin\alpha + \cos\alpha$ אינו $1$ ; $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ הוא. הקוסינוס הוא $0.8$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 10$ ) הבסיס $BC = 12$ . חשבו את זווית הראש $\angle BAC$ במעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 73.7

Worked solution:

BD = 6

הגובה $AD$ הוא גם תיכון

\begin{aligned}\sin\angle BAD &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6 \ \Rightarrow \ \angle BAD \approx 36.87^\circ\end{aligned}

במשולש $ABD$ : $BD$ מול, $AB$ היתר

\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD \approx 73.7^\circ

הגובה חוצה את זווית הראש

$\angle BAC \approx 73.7^\circ$ . המלכודת: לענות $36.87^\circ$ , חצי הזווית.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev