Factoring polynomials · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו פירקנו טרינומים. בפרק הזה הפולינומים ממעלה שלישית ורביעית — אבל השאלה נשארת אותה שאלה: איפה הגרף פוגש את ציר $x$ ? כל נקודה כזאת היא שורש, וכל שורש הוא גורם.

הגרף של

f(x)=x^3-2x^2-5x+6

. שלוש נקודות חיתוך עם ציר

x

— ולכן שלושה גורמים.

הסתכלו על הגרף. מהו $f(1)$ , ומה זה אומר על $x=1$ ?

Show the answer and the solution

$f(1)=0$ , כי הגרף עובר בנקודה $(1,0)$ . בדיקה: $1-2-5+6=0$ . לכן $x=1$ הוא שורש של הפולינום.

שורש ↔ גורם

אם הצבה של $a$ מאפסת את הפולינום, אפשר להוציא ממנו את הגורם $(x-a)$ . מה שנשאר הוא פולינום ממעלה נמוכה באחת.

\begin{aligned}f(a) &= 0 \iff f(x) \\ &= (x-a)\cdot q(x)\end{aligned}

איך מנחשים שורש שלם? שורש שלם של פולינום עם מקדמים שלמים מחלק את המקדם החופשי. ל- $x^3-2x^2-5x+6$ בודקים רק את $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ .

Interactive activity

מפרקים פולינום ממעלה שלישית

x^3-2x^2-5x+6

לחצו «להתחיל». אין גורם משותף ואין קיבוץ שעובד — אז מנחשים שורש.

מנחשים

\begin{aligned}f(1) &= 1-2-5+6 \\ &= 0\end{aligned}

מתחילים מהמחלקים של $6$ . כבר $x=1$ מאפס — ולכן $(x-1)$ הוא גורם.

כותבים תבנית

x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2+bx+c)

הגורם השני ממעלה שנייה, והמקדם של $x^2$ בו הוא $1$ כדי לקבל $x^3$ .

פותחים סוגריים

(x-1)(x^2+bx+c)=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c

פותחים ומסדרים לפי חזקות.

משווים מקדמים

\begin{aligned}-c &= 6 \Rightarrow c \\ &= -6 \quad \\ \quad b-1 &= -2 \Rightarrow b \\ &= -1\end{aligned}

משווים את המקדם החופשי ואת המקדם של $x^2$ .

בודקים

\begin{aligned}c-b &= -6+1 \\ &= -5 \ \checkmark\end{aligned}

המקדם של $x$ יוצא בדיוק $-5$ . אם לא היה יוצא — טעינו בחשבון.

מסיימים

x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x-3)(x+2)

את הטרינום $x^2-x-6$ מפרקים כרגיל. השורשים: $-2,\ 1,\ 3$ — בדיוק מה שהגרף הראה.

הדרך תמיד זהה: מנחשים שורש ← כותבים $(x-a)(\dots)$ ← משווים מקדמים ← מפרקים את מה שנשאר.

Do the activity on elev

כשהקיבוץ עובד — בלי לנחש

לפעמים ארבעת האיברים מתחלקים לשני זוגות עם אותו גורם. זה פירוק בקיבוץ איברים, והוא מהיר מניחוש.

קיבוץ איברים

פרקו לגורמים: $x^3+3x^2-4x-12$ .

x^2(x+3)-4(x+3)

מוציאים $x^2$ משני האיברים הראשונים ו- $-4$ משני האחרונים

(x+3)(x^2-4)

הגורם $(x+3)$ משותף לשני הזוגות

(x+3)(x-2)(x+2)

הפרש ריבועים בסוגריים השניים

\begin{aligned}x &= -3 \\ \ x &= 2 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שלושה שורשים

פרקו: $2x^3-18x$ . מה עושים לפני כל דבר אחר?

Show the answer and the solution

מוציאים גורם משותף $2x$ : $\ 2x^3-18x=2x(x^2-9)=2x(x-3)(x+3)$ . מי שמתחיל מניחוש שורש עושה עבודה כפולה.

ריבוי של שורש

ב- $(x-2)^2(x+1)$ הגורם $(x-2)$ מופיע פעמיים. אומרים ש- $x=2$ הוא שורש מריבוי 2 (שורש כפול). בגרף רואים את זה מיד:

f(x)=(x-2)^2(x+1)

: ב-

x=-1

הגרף חוצה את הציר, ב-

x=2

הוא רק נוגע בו וחוזר.

(x-a)^{2k+1}

ריבוי אי-זוגי: הגרף חוצה את ציר $x$ — הסימן של $f$ מתחלף.

(x-a)^{2k}

ריבוי זוגי: הגרף נוגע בציר וחוזר — הסימן לא מתחלף.

לפולינום $f(x)=x^2(x-5)$ . בכמה נקודות הגרף חוצה את ציר $x$ ?

Show the answer and the solution

בנקודה אחת, ב- $x=5$ (ריבוי 1). ב- $x=0$ השורש מריבוי 2, ושם הגרף רק נוגע בציר.

שלוש טעויות שעולות נקודות בבגרות.

\begin{aligned}x^3 &= 4x \Rightarrow x^2 \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x^3-4x &= 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) \\ &= 0\end{aligned}

חילוק ב- $x$ מאבד את השורש $x=0$ . מעבירים הכול לאגף אחד ומפרקים.

x^3-8=(x-2)^3

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

$x=2$ הוא אכן שורש, אבל הגורם השני נמצא בהשוואת מקדמים, לא בניחוש.

x^3-9x=x(x^2-9)

x^3-9x=x(x-3)(x+3)

פירוק נגמר רק כשאין עוד מה לפרק: $x^2-9$ עוד מתפרק, ובלי זה מפספסים את השורשים $\pm3$ .

Exercises

Exercise 1

פרקו לגורמים את $x^3-9x$ עד הסוף.

$(x-3)(x+3)$
$x(x-3)^2$
$x^2(x-9)$
$x(x-3)(x+3)$

Show the answer and the solution

Answer: D $x(x-3)(x+3)$

Worked solution:

x^3-9x=x(x^2-9)

גורם משותף $x$

=x(x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

הטעות הנפוצה היא לשכוח את הגורם $x$ אחרי שמשתמשים בו — כך מאבדים את השורש $x=0$ . התשובה: $x(x-3)(x+3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה שורשים שונים יש לפולינום $x^3-2x^2-9x+18$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x^2(x-2)-9(x-2)

קיבוץ איברים

(x-2)(x-3)(x+3)

גורם משותף, ואחריו הפרש ריבועים

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ 3 \\ \ -3\end{aligned}

שלושה שורשים שונים

מי שעוצר ב- $(x-2)(x^2-9)$ סופר שני שורשים בלבד. $x^2-9$ עוד מתפרק.

Check the answer on elev

Exercise 3

ידוע כי $x=2$ הוא שורש של הפולינום $x^3-x^2+ax-8$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

2^3-2^2+2a-8=0

מציבים $x=2$ ומשווים לאפס

\begin{aligned}8-4+2a-8 &= 0 \Rightarrow 2a \\ &= 4\end{aligned}

מפשטים

a=2

« $x=2$ שורש» פירושו $f(2)=0$ . מציבים את השורש, לא פותרים משוואה חדשה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון $x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+bx+c)$ . השלימו.

$b=$ ____ , $c=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $b=$ 4 , $c=$ 3

Worked solution:

(x-2)(x^2+bx+c)=x^3+(b-2)x^2+(c-2b)x-2c

פותחים סוגריים

\begin{aligned}-2c &= -6 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

המקדם החופשי

\begin{aligned}b-2 &= 2 \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

המקדם של $x^2$

\begin{aligned}c-2b &= 3-8 \\ &= -5 \ \checkmark\end{aligned}

בודקים את המקדם של $x$

הטעות הנפוצה היא בסימן של $c$ : המקדם החופשי במכפלה הוא $(-2)\cdot c$ , ולכן $c=3$ ולא $-3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

לפניכם גרף של פולינום ממעלה שלישית. איזו נוסחה מתאימה לו?

$f(x)=(x+2)^2(x-1)$
$f(x)=(x+2)(x-1)$
$f(x)=(x-2)^2(x+1)$
$f(x)=-(x+2)^2(x-1)$

Show the answer and the solution

Answer: A $f(x)=(x+2)^2(x-1)$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -2 \ \text{נגיעה} \\ \ x &= 1 \ \text{חציה}\end{aligned}

ב- $-2$ הגרף נוגע בציר — ריבוי זוגי; ב- $1$ הוא חוצה — ריבוי אי-זוגי

f(x)=(x+2)^2(x-1)

הגורם $(x+2)$ בריבוי 2, הגורם $(x-1)$ בריבוי 1

\begin{aligned}f(3) &= 25\cdot 2 \\ &= 50>0\end{aligned}

מימין לכל השורשים הגרף מעל הציר — לכן המקדם המוביל חיובי, ואין מינוס לפני הנוסחה

שורש ב- $x=-2$ נותן גורם $(x+2)$ ולא $(x-2)$ . והנגיעה בציר היא הסימן לריבוי 2. התשובה: $(x+2)^2(x-1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

לכל פולינום ממעלה שלישית יש לפחות שורש אחד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

a>0:\quad x\to-\infty \Rightarrow f(x)\to-\infty ,\quad x\to\infty \Rightarrow f(x)\to\infty

במעלה אי-זוגית האיבר $ax^3$ שולט, ובשני קצות הציר הערכים בסימנים הפוכים (כש- $a<0$ — להפך)

f(x_1)<0<f(x_2)

יש נקודה שבה הגרף מתחת לציר ונקודה שבה הוא מעליו

\Rightarrow f(x_0)=0

הגרף רציף: גרף רציף שעובר מתחת לציר אל מעליו חייב לחצות אותו

נכון. אבל רק למעלה אי-זוגית. לפולינום ממעלה רביעית כמו $x^4+1$ אין אף שורש.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו השורש הגדול ביותר של $x^3-7x+6$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= 1-7+6 \\ &= 0\end{aligned}

מנחשים שורש מבין המחלקים של $6$

x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)

השוואת מקדמים

=(x-1)(x+3)(x-2)

מפרקים את הטרינום

\begin{aligned}x &= -3 \\ \ 1 \\ \ 2\end{aligned}

הגדול ביותר: $2$

אין כאן איבר $x^2$ — ובתבנית של השוואת המקדמים המקדם שלו הוא $0$ , לא לדלג עליו.

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה $x^4-16=0$ .

$=(x-2)(x+2)(x^2+4)$
$x^2+4>0$ לכל $x$
$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$
$x=2$ או $x=-2$

Show the answer and the solution

Answer: $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$ · $=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ · $x^2+4>0$ לכל $x$ · $x=2$ או $x=-2$

Worked solution:

x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)

הפרש ריבועים: $x^4=(x^2)^2$

(x-2)(x+2)(x^2+4)

שוב הפרש ריבועים, רק בגורם הראשון

x^2+4 \neq 0

סכום ריבועים אינו מתפרק, ואין לו שורשים

$x^2+4$ אינו $(x+2)^2$ ואינו מתפרק. לכן יש שני פתרונות בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 9

בפירוק של $x^3+x^2-9x-9$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x^2(x+1)-9(x+1)

(x+1)(x^2-9)

(x+1)(x-9)(x+9)

Show the answer and the solution

Answer: $(x+1)(x-9)(x+9)$ → $(x+1)(x-3)(x+3)$

Worked solution:

x^2(x+1)-9(x+1)

קיבוץ איברים — נכון

(x+1)(x^2-9)

גורם משותף — נכון

x^2-9=(x-3)(x+3)

הפרש ריבועים לוקח שורש של $9$

$x^2-9$ מתפרק ל- $(x-3)(x+3)$ : השורש של $9$ הוא $3$ . מי שכותב $(x-9)(x+9)$ מקבל $x^2-81$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון $f(x)=x^2(x-4)^3$ . מה עושה הגרף בנקודות החיתוך עם ציר $x$ ?

ב- $x=0$ נוגע בציר, ב- $x=4$ חוצה אותו
נוגע בציר בשתי הנקודות
ב- $x=0$ חוצה, ב- $x=4$ נוגע
חוצה את הציר בשתי הנקודות

Show the answer and the solution

Answer: A ב- $x=0$ נוגע בציר, ב- $x=4$ חוצה אותו

Worked solution:

x=0:\ \text{ריבוי } 2

ריבוי זוגי — הסימן לא מתחלף, נגיעה

x=4:\ \text{ריבוי } 3

ריבוי אי-זוגי — הסימן מתחלף, חציה

החזקה $3$ אינה אומרת נגיעה: רק ריבוי זוגי נותן נגיעה. התשובה: נוגע ב- $0$ , חוצה ב- $4$ .

Check the answer on elev

שורש ↔ גורם

כשהקיבוץ עובד — בלי לנחש

ריבוי של שורש

Exercises

Keep practising on elev