Biquadratic equations · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפניכם גרף של פולינום ממעלה רביעית. לפני כל חישוב — הסתכלו עליו: בכמה נקודות הוא חותך את ציר $x$ , ומה מיוחד בסידור של הנקודות?

למה נקודות החיתוך עם ציר $x$ באות בזוגות של מספרים נגדיים?

Show the answer and the solution

כי בפולינום יש רק חזקות זוגיות של $x$ , ולכן $f(-x)=f(x)$ : הפונקציה זוגית והגרף סימטרי לציר $y$ . אם $f(2)=0$ אז גם $f(-2)=0$ .

משוואה דו-ריבועית — הצבה $t=x^2$

משוואה מהצורה $ax^4+bx^2+c=0$ נקראת משוואה דו-ריבועית. אין בה $x^3$ ואין $x$ — ולכן $x^4=(x^2)^2$ , ואם מסמנים $t=x^2$ מקבלים משוואה ריבועית רגילה.

\begin{aligned}ax^4+bx^2+c &= 0 \quad \xrightarrow{\ t=x^2\ } \quad at^2+bt+c \\ &= 0\end{aligned}

Interactive activity

פותרים משוואה דו-ריבועית

פתרו את המשוואה $x^4-5x^2-36=0$ . בכל שלב — בחרו את הצעד הנכון.

מה עושים קודם?

מציבים $t=x^2$ ומקבלים משוואה ריבועית

Show the answer and the solution

נכון. $x^4=(x^2)^2=t^2$ , והמשוואה נהיית $t^2-5t-36=0$ .

מחלקים את שני האגפים ב- $x^2$

Show the answer and the solution

אז נשארים עם $x^2-5-\frac{36}{x^2}=0$ — מסובך יותר, ונוסף תנאי $x\ne0$ . זה לא מקדם.

מוציאים שורש ריבועי מ- $36$

Show the answer and the solution

$36$ אינו לבד באגף — יש עוד שני איברים עם $x$ . אי אפשר להוציא שורש מאיבר אחד.

t^2-5t-36=0

משוואה ריבועית במשתנה $t$ .

מה הפתרונות של $t^2-5t-36=0$ ?

$t=9$ או $t=-4$

Show the answer and the solution

נכון: $(t-9)(t+4)=0$ . סכום השורשים $5$ , המכפלה $-36$ .

$t=-9$ או $t=4$

Show the answer and the solution

בדקו את הסכום: $-9+4=-5$ , אבל הסכום צריך להיות $5$ .

$t=6$ או $t=-6$

Show the answer and the solution

זה פתרון של $t^2-36=0$ — שכחתם את האיבר $-5t$ .

\begin{aligned}(t-9)(t+4) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 9 \ \text{או}\ t \\ &= -4\end{aligned}

שני ערכים של $t$ — אבל עוד לא סיימנו.

איזה ערך של $t$ נותן פתרון ל- $x$ ?

רק $t=9$

Show the answer and the solution

נכון. $t=x^2$ ולכן $t\ge0$ . המשוואה $x^2=-4$ אין לה פתרון.

שני הערכים

Show the answer and the solution

$x^2=-4$ ? ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי. $t=-4$ נפסל.

אף אחד מהם

Show the answer and the solution

$x^2=9$ דווקא יש לה פתרונות: $x=3$ ו- $x=-3$ .

x^2=9

פוסלים את $t=-4$ .

מה הפתרונות של $x^2=9$ ?

$x=3$ או $x=-3$

Show the answer and the solution

נכון. גם $(-3)^2=9$ .

$x=3$ בלבד

Show the answer and the solution

שכחתם את הפתרון השלילי: $(-3)^2=9$ גם הוא.

$x=9$

Show the answer and the solution

$t=9$ אינו $x=9$ . חוזרים מ- $t$ ל- $x$ דרך $x^2=t$ .

\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או}\ x \\ &= -3\end{aligned}

שני פתרונות — וגרף הפונקציה חותך את ציר $x$ בשתי נקודות בלבד.

Show the answer and the solution

$x=\pm3$ . שלושה צעדים תמיד: מציבים $t=x^2$ , פותרים, וחוזרים ל- $x$ — ובדרך פוסלים כל $t$ שלילי.

Do the activity on elev

כמה פתרונות יכולים להיות?

כל ערך של $t$ נותן ל- $x$ שניים, אחד או אפס פתרונות — לפי הסימן שלו:

t>0

שני פתרונות: $x=\pm\sqrt t$

t=0

פתרון אחד: $x=0$

t<0

אין פתרון: $x^2$ אינו שלילי

האם למשוואה דו-ריבועית יכולים להיות בדיוק שלושה פתרונות? הביאו דוגמה או הסבירו למה לא.

Show the answer and the solution

כן, כשאחד הערכים של $t$ הוא $0$ והשני חיובי. לדוגמה $x^4-4x^2=0$ : $\ x^2(x^2-4)=0$ , ולכן $x=0$ או $x=\pm2$ — שלושה פתרונות. בגרף: הפונקציה נוגעת בציר ב- $0$ וחוצה אותו ב- $\pm2$ .

הצבה של ביטוי שלם

אותו רעיון עובד כשביטוי שלם חוזר על עצמו. שימו לב: כאן $t$ יכול להיות גם שלילי, כי הוא לא ריבוע.

הצבה $t=x^2-2x$

פתרו: $(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=0$ .

\begin{aligned}t &= x^2-2x \Rightarrow t^2-2t-3 \\ &= 0\end{aligned}

מסמנים את הביטוי שחוזר

\begin{aligned}(t-3)(t+1) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3 \ \text{או}\ t \\ &= -1\end{aligned}

פותרים ב- $t$

\begin{aligned}x^2-2x &= 3 \Rightarrow (x-3)(x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -1\end{aligned}

חוזרים ל- $x$ עם $t=3$

\begin{aligned}x^2-2x &= -1 \Rightarrow (x-1)^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

גם $t=-1$ נותן פתרון — הביטוי $x^2-2x$ יכול להיות שלילי

x\in\{-1,\ 1,\ 3\}

שלושה פתרונות

ומה אם יש גם $x$ בחזקה אי-זוגית בכל האיברים? מוציאים גורם משותף: $x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4)$ , ומקבלים את $x=0$ ועוד ארבעת הפתרונות של הדו-ריבועית.

שלוש טעויות של משוואות דו-ריבועיות.

\begin{aligned}x^2 &= -4 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

x^2=-4 \Rightarrow \varnothing

ערך שלילי של $t=x^2$ נפסל: הוא אינו נותן פתרון ( $\varnothing$ ), גם לא «בערך מוחלט».

\begin{aligned}t &= 9 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}t &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

$t$ הוא משתנה עזר. התשובה נכתבת ב- $x$ , ולכן תמיד חוזרים דרך $x^2=t$ .

\begin{aligned}x^4 &= 16x^2 \Rightarrow x^2 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}x^2(x^2-16) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm4\end{aligned}

חילוק ב- $x^2$ מאבד את הפתרון $x=0$ . מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף.

Exercises

Exercise 1

כמה פתרונות יש למשוואה $x^4-13x^2+36=0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2-13t+36 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}(t-4)(t-9) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 4 \\ \ t &= 9\end{aligned}

שני ערכים חיוביים

\begin{aligned}x &= \pm2 \\ \ x &= \pm3\end{aligned}

כל $t$ חיובי נותן שני פתרונות

מי שעוצר ב- $t=4,\ t=9$ עונה «שניים». כל $t$ חיובי נותן שני ערכים של $x$ — סך הכול ארבעה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הפתרון הגדול ביותר של המשוואה $x^4-3x^2-4=0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}t^2-3t-4 &= 0 \Rightarrow (t-4)(t+1) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה $t=x^2$

\begin{aligned}t &= 4 \ \checkmark \\ \quad t &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$x^2$ אינו שלילי

\begin{aligned}x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

הגדול: $2$

התשובה $4$ היא ערך של $t$ , לא של $x$ . חוזרים ל- $x$ : $\ x=\sqrt4=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מה הפתרונות של המשוואה $x^4+5x^2+4=0$ ?

$x=\pm1$ או $x=\pm2$
$x=-1$ או $x=-4$
$x=\pm2$
אין פתרון

Show the answer and the solution

Answer: D אין פתרון

Worked solution:

\begin{aligned}t^2+5t+4 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1 \\ \ t &= -4\end{aligned}

הצבה $t=x^2$

\begin{aligned}x^2 &= -1 \\ \ x^2 &= -4\end{aligned}

שני הערכים שליליים — שניהם נפסלים

x^4+5x^2+4 \ge 4>0

או בלי חישוב: סכום של איברים אי-שליליים ועוד $4$ אינו מתאפס

הערכים $-1$ ו- $-4$ הם של $t=x^2$ , ושניהם שליליים. התשובה: אין פתרון — ואת זה רואים גם בלי לפתור: $x^4+5x^2+4\ge4$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: למשוואה מהצורה $x^4+bx^2+c=0$ לא ייתכנו בדיוק שלושה פתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}b &= -9 \\ \ c &= 0:\quad x^4-9x^2 \\ &= 0\end{aligned}

מחפשים דוגמה נגדית: $t=0$ ועוד $t$ חיובי

\begin{aligned}x^2(x^2-9) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm3\end{aligned}

שלושה פתרונות בדיוק

הטענה שגויה — דוגמה נגדית אחת מספיקה: $x^4-9x^2=0$ . הפתרון $t=0$ נותן רק $x=0$ , ולכן המספר יכול להיות אי-זוגי.

Check the answer on elev

Exercise 5

פותרים את $x^4-10x^2+9=0$ בהצבה $t=x^2$ . השלימו.

הערך הקטן של $t$ הוא ____, הערך הגדול הוא ____, ומספר הפתרונות של המשוואה ב- $x$ הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: הערך הקטן של $t$ הוא 1, הערך הגדול הוא 9, ומספר הפתרונות של המשוואה ב- $x$ הוא 4.

Worked solution:

\begin{aligned}t^2-10t+9 &= 0 \Rightarrow (t-1)(t-9) \\ &= 0\end{aligned}

סכום $10$ , מכפלה $9$

\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm1 \\ \quad x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

4 \ \text{פתרונות}

שני ערכים של $t$ אינם שני פתרונות. כל $t$ חיובי מכפיל את עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 6

לפניכם גרף של פונקציה. איזו נוסחה מתאימה לו?

$y=(x-2)^2$
$y=(x^2-4)^2$
$y=x^2(x^2-4)$
$y=x^4-16$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=(x^2-4)^2$

Worked solution:

x=\pm2

נגיעה בציר: בשתי הנקודות הגרף נוגע וחוזר — ריבוי זוגי

(x^2-4)^2=(x-2)^2(x+2)^2

כל גורם מופיע בריבוי 2

y(0)=16

וגם נקודת החיתוך עם ציר $y$ מתאימה

$x^4-16$ מתאפס באותן נקודות, אבל חוצה את הציר ועובר דרך $(0,-16)$ . הנגיעה אומרת ריבוי זוגי — התשובה $y=(x^2-4)^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המשוואה $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12=0$ . מהי מכפלת כל הפתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2-x:\ t^2-8t+12 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \\ \ t &= 6\end{aligned}

הצבה של הביטוי שחוזר

\begin{aligned}x^2-x-2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$t=2$

\begin{aligned}x^2-x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

$t=6$

2\cdot(-1)\cdot3\cdot(-2)=12

מכפלת ארבעת הפתרונות

המכפלה של ערכי $t$ היא $12$ במקרה — אבל לא מסתפקים בה. חוזרים ל- $x$ ובודקים שכל ארבעת הפתרונות קיימים.

Check the answer on elev

Exercise 8

בפתרון של $x^4-x^2-12=0$ יש שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

t^2-t-12=0

(t-4)(t+3)=0

\begin{aligned}t &= 4 \ \text{או}\ t \\ &= -3\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \pm2 \ \text{או}\ x \\ &= \pm\sqrt3\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $x=\pm2 \ \text{או}\ x=\pm\sqrt3$ → $x=\pm2$

Worked solution:

t^2-t-12=(t-4)(t+3)

הפירוק נכון

\begin{aligned}x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

מ- $t=4$

x^2=-3

מ- $t=-3$ אין פתרון — ולא $\pm\sqrt3$

מי שכותב $\pm\sqrt3$ «מתעלם» מהמינוס. $x^2=-3$ אין לה פתרון, והתשובה היא $x=\pm2$ בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה פתרונות יש למשוואה $x^5-10x^3+9x=0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x(x^4-10x^2+9)=0

גורם משותף $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ x^4-10x^2+9 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה שווה לאפס

\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm1 \\ \ \pm3\end{aligned}

הדו-ריבועית נותנת ארבעה

\{-3,-1,0,1,3\}

חמישה פתרונות

מי שמחלק ב- $x$ «כדי לקבל דו-ריבועית» מאבד את $x=0$ . מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

Check the answer on elev

Exercise 10

הביאו דוגמה: לאיזו משוואה יש בדיוק שני פתרונות?

$x^4+3x^2+2=0$
$x^4-4x^2=0$
$x^4-5x^2+4=0$
$x^4-3x^2-4=0$

Show the answer and the solution

Answer: D $x^4-3x^2-4=0$

Worked solution:

\begin{aligned}x^4-3x^2-4 &= 0:\ t \\ &= 4 \\ \ t &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

$t$ חיובי אחד ו- $t$ שלילי אחד — שני פתרונות

\begin{aligned}x^4-5x^2+4 &= 0:\ t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

שני ערכים חיוביים — ארבעה פתרונות

\begin{aligned}x^4+3x^2+2 &= 0:\ t \\ &= -1 \\ \ t &= -2\end{aligned}

אין פתרון

\begin{aligned}x^4-4x^2 &= 0:\ t \\ &= 0 \\ \ t &= 4\end{aligned}

שלושה פתרונות

המספר נקבע לפי הסימנים של ערכי $t$ , לא לפי מספרם. רק ב- $x^4-3x^2-4=0$ יש $t$ חיובי יחיד.

Check the answer on elev

משוואה דו-ריבועית — הצבה t=x2t=x^2t=x2

כמה פתרונות יכולים להיות?

הצבה של ביטוי שלם

Exercises

Keep practising on elev

משוואה דו-ריבועית — הצבה $t=x^2$