Polynomial inequalities · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אי-שוויון הוא שאלה על גרף. כשכותבים $f(x)>0$ שואלים: באילו ערכי $x$ הגרף של $f$ נמצא מעל ציר $x$ ? ו- $f(x)<0$ — מתי הוא מתחתיו. התחילו מהפרבולה המוכרת:

על פי הציור, מה הפתרון של $x^2-2x-3<0$ ?

Show the answer and the solution

$-1<x<3$ . שם הפרבולה מתחת לציר. ב- $x=-1$ וב- $x=3$ היא על הציר ( $f=0$ ), ולכן הם לא נכללים באי-שוויון חזק.

שיטת הקטעים

גרף של פולינום הוא רציף — הוא לא קופץ. כדי לעבור מעל הציר אל מתחתיו הוא חייב לעבור דרך הציר, כלומר דרך שורש. לכן בין שני שורשים סמוכים הסימן קבוע. זה כל הרעיון:

f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)

. שלושת השורשים חותכים את הציר לארבעה קטעים, ובכל קטע הגרף כולו מעל הציר או כולו מתחתיו.

1

מעבירים הכול לאגף אחד ומשווים ל- $0$ , ומפרקים לגורמים.

2

מסמנים את השורשים על ציר המספרים — הם מחלקים אותו לקטעים.

3

קובעים סימן בכל קטע: מציבים מספר אחד מתוך הקטע, או מתחילים מימין לפי המקדם המוביל.

4

בוחרים את הקטעים המתאימים. ב- $\ge$ או $\le$ מצרפים גם את השורשים.

Interactive activity

שיטת הקטעים — מההתחלה עד הסוף

x^3-2x^2-5x+6\ge 0

זה הפולינום שפירקנו ביחידה על פירוק פולינומים. לחצו «להתחיל».

פירוק

(x+2)(x-1)(x-3)\ge0

את הפירוק כבר מצאנו: שורש $x=1$ והשוואת מקדמים.

שורשים

\begin{aligned}x &= -2 \\ \quad x &= 1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

שלוש נקודות — ארבעה קטעים על הציר.

הקטע הימני

\begin{aligned}x &= 4:\ (6)(3)(1) \\ &= 18>0\end{aligned}

מימין לכל השורשים כל הגורמים חיוביים — הפולינום חיובי.

מתחלפים

x>3:\ +,\quad 1<x<3:\ -,\quad -2<x<1:\ +,\quad x<-2:\ -

כל השורשים מריבוי 1, ולכן בכל שורש הסימן מתחלף.

תשובה

-2\le x\le 1 \quad \text{או} \quad x\ge 3

לוקחים את הקטעים החיוביים, ומצרפים את השורשים כי הסימן הוא $\ge$ .

מה שראינו בגרף — ארבעה קטעים, הסימנים מתחלפים — נמצא עכשיו בלי לשרטט.

Do the activity on elev

ריבוי זוגי — הסימן לא מתחלף

בשורש מריבוי זוגי הגרף נוגע בציר וחוזר. לכן בשורש כזה הסימן לא מתחלף, וצריך להיזהר כשקובעים את הסימנים משמאל לימין.

שורש כפול

פתרו: $(x-2)^2(x+1)\le0$ .

\begin{aligned}x &= -1 \ (\text{ריבוי }1) \\ \quad x &= 2 \ (\text{ריבוי }2)\end{aligned}

השורשים והריבוי שלהם

x>2:\ +

מימין הכול חיובי

-1<x<2:\ +

ב- $x=2$ הריבוי זוגי — הסימן נשאר

x<-1:\ -

ב- $x=-1$ הסימן מתחלף

x\le-1 \quad \text{או} \quad x=2

הקטע השלילי, ועוד הנקודה $x=2$ שבה הביטוי שווה $0$

ואם האי-שוויון הוא $(x-2)^2(x+1)<0$ — מה משתנה?

Show the answer and the solution

$x<-1$ בלבד. הנקודה $x=2$ נותנת $0$ , ו- $0<0$ אינו נכון. באי-שוויון חזק השורשים לא נכללים, גם לא הבודד.

למה לא מחלקים ב- $x$ ?

באי-שוויון $x^3>4x$ מתפתה לחלק ב- $x$ . אבל חילוק במספר שלילי הופך את סימן האי-שוויון, ואת הסימן של $x$ אנחנו לא יודעים. נסו:

שלוש טעויות שעולות בכל מבחן.

x^2>9 \Rightarrow x>3

x^2>9 \Rightarrow x<-3 \ \text{או}\ x>3

גם $x=-5$ מקיים: $25>9$ . מוציאים שורש רק כשרואים את שני הקטעים.

(x-2)^2(x+1)\le0 \Rightarrow x\le-1

x\le-1 \ \text{או}\ x=2

בשורש מריבוי זוגי הביטוי שווה $0$ , ובאי-שוויון $\le$ הנקודה הבודדת נכללת.

x^3>4x \Rightarrow x^2>4

x(x-2)(x+2)>0

חילוק ב- $x$ נכון רק ל- $x>0$ . בחילוק כזה אובד הקטע $-2<x<0$ .

Exercises

Exercise 1

פתרו את האי-שוויון $x^2-x-6\ge0$ .

$x\le-2$ או $x\ge3$
$x\ge3$
$x\le-3$ או $x\ge2$
$-2\le x\le3$

Show the answer and the solution

Answer: A $x\le-2$ או $x\ge3$

Worked solution:

(x-3)(x+2)\ge0

פירוק

x>3:\ +,\quad -2<x<3:\ -,\quad x<-2:\ +

פרבולה «מחייכת» — חיובית מחוץ לשורשים

x\le-2 \ \text{או}\ x\ge3

השורשים נכללים

פרבולה עם מקדם מוביל חיובי חיובית מחוץ לשורשים. $-2\le x\le3$ הוא הפתרון של ההפך. וזהירות בסימנים: השורשים הם $3$ ו- $-2$ , לא $-3$ ו- $2$ . התשובה: $x\le-2$ או $x\ge3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה מספרים שלמים מקיימים את האי-שוויון $(x+1)(x-4)<0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

-1<x<4

פרבולה שלילית בין השורשים

x\in\{0,1,2,3\}

השורשים עצמם לא נכללים

מי שסופר גם את $-1$ ואת $4$ מגיע ל- $6$ . באי-שוויון חזק השורשים לא נכללים.

Check the answer on elev

Exercise 3

לפניכם הגרף של הפולינום $f$ . מה הפתרון של $f(x)>0$ ?

$2<x<4$
$-1<x<2$ או $x>4$
$x<-1$ או $2<x<4$
$x>4$

Show the answer and the solution

Answer: C $x<-1$ או $2<x<4$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 2 \\ \ 4\end{aligned}

נקודות החיתוך עם ציר $x$

x<-1:\ \text{מעל},\quad 2<x<4:\ \text{מעל}

קוראים מהגרף איפה הוא מעל הציר

x<-1 \ \text{או}\ 2<x<4

הגרף יורד מימין — המקדם המוביל שלילי, והקטע $x>4$ שלילי. מי שמניח «תמיד חיובי מימין» מקבל את התשובה ההפוכה. התשובה: $x<-1$ או $2<x<4$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים $x^3<4x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x^3-4x<0 \Rightarrow x(x-2)(x+2)<0

מעבירים אגף ומפרקים — לא מחלקים ב- $x$

x>2:\ +,\quad 0<x<2:\ -,\quad -2<x<0:\ +,\quad x<-2:\ -

שיטת הקטעים

x<-2 \ \text{או}\ 0<x<2

הקטעים השליליים

x=1

השלם הגדול ביותר

מי שמחלק ב- $x$ מקבל $x^2<4$ ועונה $1$ במקרה — אבל מאבד את הקטע $x<-2$ וטועה בכל שאלה אחרת על האי-שוויון. לא מחלקים בביטוי שסימנו לא ידוע.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון $f(x)=(x+3)(x-1)^2(x-5)$ . מיינו כל ערך של $x$ לפי הסימן של $f(x)$ .

$f(x)>0$
$f(x)<0$

$x=-10$
$x=-4$
$x=0$
$x=2$
$x=3$
$x=6$

Show the answer and the solution

Answer: $x=-4$ — $f(x)>0$ · $x=6$ — $f(x)>0$ · $x=-10$ — $f(x)>0$ · $x=0$ — $f(x)<0$ · $x=2$ — $f(x)<0$ · $x=3$ — $f(x)<0$

Worked solution:

x>5:\ +

מימין הכול חיובי

1<x<5:\ -

ב- $x=5$ ריבוי 1 — מתחלף

-3<x<1:\ -

ב- $x=1$ ריבוי 2 — לא מתחלף

x<-3:\ +

ב- $x=-3$ מתחלף

הטעות: להחליף סימן גם ב- $x=1$ . בשורש מריבוי זוגי הסימן נשאר, ולכן $x=0$ ו- $x=2$ שניהם שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: הפתרון של $x^4>x^2$ הוא $x>1$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x^4-x^2>0 \Rightarrow x^2(x-1)(x+1)>0

מעבירים אגף ומפרקים

x=-2:\ 16>4

דוגמה נגדית: $x=-2$ מקיים ואינו גדול מ- $1$

x<-1 \ \text{או}\ x>1

הפתרון המלא ( $x=0$ לא נכלל: $0>0$ שגוי)

הטענה שגויה. חילוק ב- $x^2$ מותר רק כש- $x\ne0$ , ואחריו $x^2>1$ נותן שני קטעים: $x<-1$ או $x>1$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו את הפתרון של $(x-3)(x+5)\le0$ .

____ $\le x \le$ ____

Show the answer and the solution

Answer: -5 $\le x \le$ 3

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -5 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שורשים

-5\le x\le3

פרבולה «מחייכת» — שלילית בין השורשים, והשורשים נכללים

השורש של הגורם $(x+5)$ הוא $-5$ , לא $5$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרו את שלבי הפתרון של האי-שוויון $x^3\ge9x$ .

$-3\le x\le0$ או $x\ge3$
$x(x-3)(x+3)\ge0$
$x^3-9x\ge0$
סימנים מימין: $+,\ -,\ +,\ -$
שורשים: $-3,\ 0,\ 3$

Show the answer and the solution

Answer: $x^3-9x\ge0$ · $x(x-3)(x+3)\ge0$ · שורשים: $-3,\ 0,\ 3$ · סימנים מימין: $+,\ -,\ +,\ -$ · $-3\le x\le0$ או $x\ge3$

Worked solution:

x^3-9x\ge0

מעבירים אגף — לא מחלקים ב- $x$

x(x-3)(x+3)\ge0

גורם משותף והפרש ריבועים

-3\le x\le 0 \ \text{או}\ x\ge3

בוחרים את הקטעים החיוביים עם השורשים

הסדר הוא הסדר של כל אי-שוויון פולינומי: אגף אחד, פירוק, שורשים, סימנים, תשובה.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו: $(x-1)^2(x+4)\ge0$ .

$-4\le x\le1$
$x\ge-4$
$x\ge1$
$x\le-4$ או $x\ge1$

Show the answer and the solution

Answer: B $x\ge-4$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -4\ (\text{ריבוי }1) \\ \quad x &= 1\ (\text{ריבוי }2)\end{aligned}

שורשים

x>1:\ +,\quad -4<x<1:\ +,\quad x<-4:\ -

ב- $x=1$ הסימן לא מתחלף

x\ge-4

שני הקטעים החיוביים ונקודת האפס $x=1$ מתחברים

מי שמחליף סימן בכל שורש מקבל $x\le-4$ או $x\ge1$ . $(x-1)^2\ge0$ תמיד, והסימן נקבע רק לפי $x+4$ . התשובה: $x\ge-4$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה מספרים שלמים מקיימים $(x^2-9)(x^2-1)\le0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)\le0

פירוק מלא

x>3:+,\ 1<x<3:-,\ -1<x<1:+,\ -3<x<-1:-,\ x<-3:+

ארבעה שורשים מריבוי 1

-3\le x\le-1 \ \text{או}\ 1\le x\le3

הקטעים השליליים עם השורשים

\{-3,-2,-1,1,2,3\}

שישה שלמים

$x=0$ אינו פתרון: $(-9)(-1)=9>0$ . מי שכותב $-3\le x\le3$ שוכח שיש כאן ארבעה שורשים, לא שניים.

Check the answer on elev

שיטת הקטעים

ריבוי זוגי — הסימן לא מתחלף

למה לא מחלקים ב-xxx?

Exercises

Keep practising on elev

למה לא מחלקים ב- $x$ ?