Domain and rational inequalities

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שבר שיש במכנה שלו xx אינו מוגדר בכל מקום. הסתכלו על הגרף לפני שאנחנו כותבים אף כלל:

על פי הגרף, מתי x−1x+2<0\frac{x-1}{x+2}<0?

Show the answer and the solution

−2<x<1-2<x<1. שם הגרף מתחת לציר. ב-x=1x=1 השבר שווה 00, וב-x=−2x=-2 הוא לא מוגדר — אף אחת מהנקודות לא נכללת.

שברים אלגבריים ותחום הגדרה

הסדר קבוע ואי אפשר לדלג עליו: מפרקים כל מונה וכל מכנה, רושמים תחום הגדרה, ורק אז מצמצמים.

תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה המקורי, לפני הצמצום. גורם שהצטמצם ונעלם מהתשובה עדיין פוסל את הערך שמאפס אותו.

משוואה עם נעלם במכנה

סדר מלא

פתרו: xx−2=4x−2+1\frac{x}{x-2} = \frac{4}{x-2} + 1.

x≠2x \neq 2

קודם כול — תחום הגדרה

x=4+(x−2)x = 4 + (x - 2)

כופלים את שני האגפים ב-(x−2)(x-2) — במשוואה זה מותר

x=x+2x = x + 2

מפשטים

0=20 = 2

סתירה

⇒\Rightarrow

אין פתרון: המשוואה לא מתקיימת לאף xx

ולפעמים קורה ההפך: הפתרון שיוצא הוא בדיוק הערך שנפסל בתחום ההגדרה. גם אז הוא אינו פתרון.

אי-שוויון רציונלי: f(x)g(x)≥0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0

במשוואה מותר לכפול במכנה. באי-שוויון אסור — הסימן של המכנה משתנה עם xx, וכפל בשלילי הופך את הסימן. אבל יש עובדה פשוטה: לשבר ולמכפלה אותו סימן. לכן עובדים בשיטת הקטעים, עם שני סוגים של נקודות:

f(x)=0f(x)=0

שורש של המונה — השבר שווה 00. נכלל ב-≥\ge וב-≤\le.

g(x)=0g(x)=0

שורש של המכנה — השבר לא מוגדר. לעולם לא נכלל.

f(x)g(x)≥0  ⟺  f(x)⋅g(x)≥0 וגם g(x)≠0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff f(x)\cdot g(x)\ge0 \ \text{וגם}\ g(x)\ne0

צמצמתם (x−3)(x+1)(x−3)\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)} ל-x+1x+1. מה חייב להופיע בתשובה?

Show the answer and the solution

תחום ההגדרה x≠3x \neq 3. הגורם שהצטמצם ונעלם עדיין פוסל את הערך שמאפס אותו — התחום נקבע לפי המכנה המקורי.

שלוש הטעויות של הפרק.

x2x−3=9x−3⇒x=±3\begin{aligned}\frac{x^2}{x-3} &= \frac{9}{x-3} \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}
x=−3x=-3

הפתרון x=3x=3 מאפס את המכנה. פתרון שנפסל בתחום ההגדרה אינו פתרון.

x+3x−1≥2⇒x+3≥2(x−1)\frac{x+3}{x-1}\ge2 \Rightarrow x+3\ge2(x-1)
5−xx−1≥0\frac{5-x}{x-1}\ge0

כפל במכנה שסימנו לא ידוע אסור באי-שוויון. מעבירים אגף ומביאים למכנה משותף.

x−4x+1≥0⇒x≤−1 או x≥4\frac{x-4}{x+1}\ge0 \Rightarrow x\le-1 \ \text{או}\ x\ge4
x<−1 או x≥4x<-1 \ \text{או}\ x\ge4

את x=4x=4 מצרפים, את x=−1x=-1 לא — שם המכנה מתאפס.

Exercises

Exercise 1

פתרו: xx−3=3x−3+2\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2

  1. אין פתרון
  2. x=3x = 3
  3. x=−3x = -3
  4. x=5x = 5
Show the answer and the solution

Answer: A אין פתרון

Worked solution:

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

x=3+2(x−3)x = 3 + 2(x-3)

כופלים את שני האגפים ב-(x−3)(x-3) — גם את ה-22

x=2x−3⇒x=3\begin{aligned}x &= 2x-3 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מפשטים

x=3 נפסלx=3 \ \text{נפסל}

הערך היחיד שיצא מאפס את המכנה

החישוב נותן x=3x=3 — בדיוק הערך שנפסל בתחום ההגדרה, ולכן הוא אינו פתרון. מי שעונה x=5x=5 שכח לכפול את ה-22 במכנה. התשובה: אין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 2

בביטוי x2−1x2−4\frac{x^2-1}{x^2-4}, כמה ערכים של xx אסורים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2−4=0x^2 - 4 = 0

מאפסים את המכנה

x=2  x=−2\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני ערכים

רק המכנה קובע את תחום ההגדרה. ±1\pm1 מאפסים את המונה — שם השבר שווה 00, והוא מוגדר היטב.

Check the answer on elev

Exercise 3

צמצמו: x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1}

  1. x−1x - 1
  2. לא ניתן לצמצום
  3. x+1x + 1 לכל xx
  4. x+1x + 1, כאשר x≠1x \neq 1
Show the answer and the solution

Answer: D x+1x + 1, כאשר x≠1x \neq 1

Worked solution:

(x−1)(x+1)x−1\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

מפרקים את המונה

x+1,x≠1x + 1,\quad x\ne1

מצמצמים, והתנאי נשאר

הגורם נעלם מהתשובה, אבל התנאי נשאר — x=1x = 1 עדיין אסור. התשובה: x+1x+1, כאשר x≠1x\ne1.

Check the answer on elev

Exercise 4

צמצמו x2−9x−3\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} וחשבו את ערכו ב-x=5x = 5.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

מצמצמים, בתנאי x≠3x \neq 3

5+3=85 + 3 = 8

מציבים

התנאי x≠3x \neq 3 נשאר בתוקף אחרי הצמצום: אם היו שואלים על x=3x=3, התשובה הייתה «לא מוגדר» ולא 66.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו תחום ההגדרה של x+1x2−4\dfrac{x+1}{x^2 - 4}?

  1. כל xx פרט ל-22 ול-−2-2
  2. כל xx פרט ל-22
  3. כל xx
  4. כל xx פרט ל-−1-1
Show the answer and the solution

Answer: A כל xx פרט ל-22 ול-−2-2

Worked solution:

x2−4≠0x^2 - 4 \neq 0

המכנה

(x−2)(x+2)≠0⇒x≠±2(x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x\ne\pm2

מפרקים

שני ערכים נפסלים — x2=4x^2=4 גם ב-x=−2x=-2. ו-x=−1x=-1 מאפס את המונה, לא את המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את האי-שוויון x−4x+1≥0\frac{x-4}{x+1}\ge0.

  1. x<−1x<-1 או x≥4x\ge4
  2. x≤−1x\le-1 או x≥4x\ge4
  3. x≥4x\ge4
  4. −1<x≤4-1<x\le4
Show the answer and the solution

Answer: A x<−1x<-1 או x≥4x\ge4

Worked solution:

x=4 (מונה)x=−1 (מכנה)\begin{aligned}x &= 4\ (\text{מונה}) \\ \quad x &= -1\ (\text{מכנה})\end{aligned}

הנקודות על הציר

x>4: +,−1<x<4: −,x<−1: +x>4:\ +,\quad -1<x<4:\ -,\quad x<-1:\ +

סימנים בשיטת הקטעים

x<−1 או x≥4x<-1 \ \text{או}\ x\ge4

x=4x=4 נכלל, x=−1x=-1 לא

הטעות השכיחה היא לכלול את x=−1x=-1 «כי הסימן ≥\ge». שם המכנה מתאפס. התשובה: x<−1x<-1 או x≥4x\ge4.

Check the answer on elev

Exercise 7

כמה מספרים שלמים מקיימים x+3x−2<0\frac{x+3}{x-2}<0?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x=−3x=2\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 2\end{aligned}

שורש המונה ושורש המכנה

−3<x<2-3<x<2

השבר שלילי בין שתי הנקודות

{−2,−1,0,1}\{-2,-1,0,1\}

ארבעה שלמים

x=−3x=-3 נותן 00, ו-0<00<0 לא נכון; x=2x=2 לא מוגדר. אף אחת מהנקודות לא נכללת.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו את האי-שוויון x+5x−2≥2\frac{x+5}{x-2}\ge2.

  1. 2≤x≤92\le x\le9
  2. x<2x<2 או x≥9x\ge9
  3. x≤9x\le9
  4. 2<x≤92<x\le9
Show the answer and the solution

Answer: D 2<x≤92<x\le9

Worked solution:

x+5x−2−2≥0⇒9−xx−2≥0\frac{x+5}{x-2}-2\ge0 \Rightarrow \frac{9-x}{x-2}\ge0

מעבירים אגף ומכנה משותף

x<2: −,2<x<9: +,x>9: −x<2:\ -,\quad 2<x<9:\ +,\quad x>9:\ -

שיטת הקטעים

2<x≤92<x\le9

x=9x=9 נכלל, x=2x=2 לא

x≤9x\le9 היא התשובה של מי שכפל במכנה: x=0x=0 מקיים אותה, אבל 5−2=−2.5\frac{5}{-2}=-2.5 אינו ≥2\ge2. התשובה: 2<x≤92<x\le9.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: האי-שוויון x2+1x−3>0\frac{x^2+1}{x-3}>0 מתקיים בדיוק כאשר x>3x>3.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2+1>0 לכל xx^2+1>0 \ \text{לכל}\ x

המונה תמיד חיובי

x2+1x−3>0  ⟺  x−3>0\frac{x^2+1}{x-3}>0 \iff x-3>0

לכן הסימן של השבר הוא הסימן של המכנה

x>3x>3

נכון. למונה אין שורשים, ולכן אין לו השפעה על הסימן. מי שמחפש «שורשים של המונה» ומוצא ±1\pm1 — טעה: x2+1≠0x^2+1\ne0.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו את המשוואה x2x−3=9x−3\frac{x^2}{x-3}=\frac{9}{x-3}.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

x≠3x\ne3

תחום הגדרה

x2=9⇒x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

כופלים במכנה — במשוואה מותר

x=3 נפסל⇒x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{נפסל} \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

בודקים מול תחום ההגדרה

x=3x=3 יוצא מהחישוב, אבל הוא מאפס את המכנה. הפתרון היחיד הוא x=−3x=-3.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade