Absolute value · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הסתכלו על הגרף של $y=|x-2|$ ועל הישר $y=3$ . המשוואה $|x-2|=3$ שואלת איפה הם נפגשים, והאי-שוויון $|x-2|<3$ שואל איפה ה-V מתחת לישר.

על פי הגרף, מה הפתרון של $|x-2|<3$ ? ומה הפתרון של $|x-2|>3$ ?

Show the answer and the solution

$-1<x<5$ — בין שתי נקודות החיתוך, שם ה-V מתחת לישר. ו- $|x-2|>3$ הוא $x<-1$ או $x>5$ — שני הקטעים שבחוץ.

ערך מוחלט הוא מרחק

|a|=\begin{cases} a, & a\ge0 \\ -a, & a<0 \end{cases}

$|x-2|$ הוא המרחק בין $x$ לבין $2$ על ציר המספרים. לכן $|x-2|<3$ פירושו « $x$ במרחק פחות מ- $3$ מ- $2$ » — ורואים מיד את הקטע $-1<x<5$ .

|x-a|<r \iff a-r<x<a+r

קרוב ל- $a$ : קטע אחד

|x-a|>r \iff x<a-r \ \text{או}\ x>a+r

רחוק מ- $a$ : שני קטעים

ומכאן גם: $|x|=-3$ אין לה פתרון, ו- $|x|>-2$ מתקיים לכל $x$ — כי מרחק אינו שלילי. ועוד עובדה שחוזרת בפונקציות: $\sqrt{x^2}=|x|$ , ולא $x$ .

כשבאגף השני יש $x$

במשוואה $|x-3|=2x$ האגף הימני תלוי ב- $x$ , ולכן חובה לבדוק כל פתרון בסוף. נסו:

Interactive activity

ערך מוחלט שווה לביטוי

פתרו את המשוואה $|x-3|=2x$ . בכל שלב — בחרו את הצעד הנכון.

איך מתחילים?

מפצלים לשני מקרים: $x-3=2x$ או $x-3=-2x$

Show the answer and the solution

נכון. מה שבתוך הערך המוחלט שווה לאגף השני, או לנגדי שלו.

מעלים את שני האגפים בחזקה שלישית

Show the answer and the solution

חזקה שלישית לא מבטלת ערך מוחלט. $|a|^3$ עדיין תלוי בסימן.

כותבים $x-3=2x$ בלבד

Show the answer and the solution

כך מאבדים את המקרה שבו $x-3$ שלילי. ערך מוחלט נותן שני מקרים.

\begin{aligned}x-3 &= 2x \quad \text{או} \quad x-3 \\ &= -2x\end{aligned}

שתי משוואות ליניאריות.

מה הפתרונות של שתי המשוואות?

$x=-3$ ו- $x=1$

Show the answer and the solution

נכון: $x-3=2x \Rightarrow x=-3$ , ו- $3x=3 \Rightarrow x=1$ .

$x=3$ ו- $x=-1$

Show the answer and the solution

בדקו שוב את המעבר אגף: $x-3=2x$ נותן $-3=x$ .

$x=-3$ בלבד

Show the answer and the solution

גם המשוואה השנייה פתירה: $x-3=-2x \Rightarrow 3x=3$ .

\begin{aligned}x &= -3 \quad \text{או} \quad x \\ &= 1\end{aligned}

שני מועמדים — עוד לא פתרונות.

מה עושים עכשיו?

מציבים כל מועמד במשוואה המקורית

Show the answer and the solution

נכון. $x=-3$ : $\ |{-6}|=6$ אבל $2x=-6$ — נפסל. $x=1$ : $\ |{-2}|=2=2x$ ✓.

עונים $x=-3$ או $x=1$

Show the answer and the solution

$x=-3$ נותן בצד שמאל $6$ ובצד ימין $-6$ . ערך מוחלט לא יכול להיות שווה למספר שלילי.

בוחרים את הפתרון החיובי כי ערך מוחלט חיובי

Show the answer and the solution

הכלל «בוחרים חיובי» מקרי. בודקים את האגף הימני $2x\ge0$ , או מציבים.

x=1

רק $x=1$ עומד בבדיקה.

Show the answer and the solution

$x=1$ . הצבה בודקת את מה שהפיצול לא רואה: באגף הימני $2x$ חייב להיות אי-שלילי.

Do the activity on elev

אי-שוויון עם ערך מוחלט

פתרו: $|2x+1|\ge5$ .

2x+1\ge5 \quad \text{או} \quad 2x+1\le-5

«גדול מ» — שני קטעים, מחוץ לטווח

x\ge2 \quad \text{או} \quad x\le-3

פותרים כל אחד

הערך המוחלט של פונקציה

את $y=|f(x)|$ משרטטים מהגרף של $f$ : מה שמעל הציר נשאר, ומה שמתחתיו מתהפך למעלה.

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ? ולמשוואה $|x^2-4|=4$ ?

Show the answer and the solution

ל- $|x^2-4|=3$ — ארבעה: $x^2=7$ או $x^2=1$ , כלומר $\pm\sqrt7,\ \pm1$ . ל- $|x^2-4|=4$ — שלושה: $x^2=8$ או $x^2=0$ . הישר $y=4$ עובר בדיוק דרך ה«פסגה» שהתהפכה, ב- $(0,4)$ .

שלוש טעויות של ערך מוחלט.

|x+2|<5 \Rightarrow x<3

-5<x+2<5 \Rightarrow -7<x<3

ערך מוחלט קטן מ- $5$ פירושו שני גבולות. $x=-10$ מקיים $x<3$ אבל $|{-8}|=8$ .

\begin{aligned}|x-3| &= 2x \Rightarrow x \\ &= -3 \ \text{או}\ x \\ &= 1\end{aligned}

x=1

כשבאגף השני יש $x$ , מציבים כל מועמד. $x=-3$ נותן $6=-6$ .

|x|>-2 \Rightarrow \varnothing

|x|>-2 \ \text{לכל}\ x

מרחק תמיד גדול ממספר שלילי, ולכן זה לא «אין פתרון» ( $\varnothing$ ). «אין פתרון» שייך ל- $|x|<-2$ .

Exercises

Exercise 1

פתרו: $|x-3|=7$ .

$x=10$
$x=10$ או $x=4$
$x=4$ או $x=-10$
$x=10$ או $x=-4$

Show the answer and the solution

Answer: D $x=10$ או $x=-4$

Worked solution:

\begin{aligned}x-3 &= 7 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x-3 &= -7 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

מקרה שני

המספרים שמרחקם מ- $3$ הוא $7$ : אחד מימין ואחד משמאל. מי שכותב $x=-10$ פותר $|x+3|=7$ . התשובה: $x=10$ או $x=-4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה מספרים שלמים מקיימים $|x+1|<4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

-4<x+1<4

קטע אחד

-5<x<3

מחסירים $1$

\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}

שבעה שלמים

$|x+1|$ הוא המרחק מ- $-1$ , לא מ- $1$ . והקצוות $-5$ ו- $3$ לא נכללים באי-שוויון חזק.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את האי-שוויון $|2x-3|\ge5$ .

$x\le-4$ או $x\ge1$
$-1\le x\le4$
$x\ge4$
$x\le-1$ או $x\ge4$

Show the answer and the solution

Answer: D $x\le-1$ או $x\ge4$

Worked solution:

2x-3\ge5 \Rightarrow x\ge4

מקרה ראשון

2x-3\le-5 \Rightarrow x\le-1

מקרה שני

«גדול או שווה» — שני קטעים בחוץ, לא קטע אחד באמצע. התשובה: $x\le-1$ או $x\ge4$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את המשוואה $|x-4|=2x+1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}x-4 &= 2x+1 \Rightarrow x \\ &= -5\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x &= -5:\ |{-9}| \\ &= 9 \\ \ 2x+1 &= -9 \ \text{נפסל}\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x-4 &= -(2x+1) \Rightarrow 3x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מקרה שני

\begin{aligned}x &= 1:\ |{-3}| \\ &= 3 \\ &= 2\cdot1+1 \ \checkmark\end{aligned}

הצבה

$x=-5$ יוצא מהחישוב אבל נותן $9=-9$ . כשבאגף השני יש $x$ — מציבים כל מועמד.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: $\sqrt{x^2}=x$ לכל $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -3:\ \sqrt{(-3)^2} \\ &= \sqrt9 \\ &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

3\ne-3

הטענה נכשלת

\sqrt{x^2}=|x|

הזהות הנכונה

הטענה שגויה. שורש ריבועי אינו שלילי לעולם, ולכן $\sqrt{x^2}=|x|$ . השוויון $\sqrt{x^2}=x$ נכון רק ל- $x\ge0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של

y=|x-1|

והישר

y=2

לפניכם הגרף של $y=|x-1|$ והישר $y=2$ . איזה אי-שוויון פתרונו $-1<x<3$ ?

$|x-1|<2$
$|x-1|\le2$
$|x-1|>2$
$|x+1|<2$

Show the answer and the solution

Answer: A $|x-1|<2$

Worked solution:

-1<x<3

הקטע שבו ה-V מתחת לישר

|x-1|<2 \iff -2<x-1<2 \iff -1<x<3

בדיקה אלגברית

$|x-1|\le2$ כוללת גם את הקצוות $-1$ ו- $3$ . ו- $|x+1|<2$ נותן $-3<x<1$ — מרחק מ- $-1$ . התשובה: $|x-1|<2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}x^2-4 &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt7\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x^2-4 &= -3 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

מקרה שני

4 \ \text{פתרונות}

מי שפותר רק $x^2-4=3$ עונה «שניים». בגרף של $|x^2-4|$ יש גם את החלק שהתהפך, והישר $y=3$ חותך גם אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

בפתרון של $|x+2|\le3$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

-3\le x+2\le3

-3-2\le x\le3-2

-1\le x\le1

Show the answer and the solution

Answer: $-1\le x\le1$ → $-5\le x\le1$

Worked solution:

-3\le x+2\le3

קטע אחד

\begin{aligned}-3-2 &= -5 \\ \quad 3-2 &= 1\end{aligned}

מחסירים $2$ משלושת האגפים

$-3-2=-5$ , לא $-1$ . בדיקה מהירה: המרכז של הקטע צריך להיות $-2$ — ובקטע $-1\le x\le1$ המרכז הוא $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

השלימו את הפתרון של $|x-5|<2$ .

____ $<x<$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 3 $<x<$ 7

Worked solution:

-2<x-5<2

קטע אחד

3<x<7

מוסיפים $5$

המספרים שמרחקם מ- $5$ פחות מ- $2$ . הקצוות לא נכללים.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל אי-שוויון את הפתרון שלו.

$|x|<2$
$|x|>2$
$|x-2|<1$
$|x|<-2$

$-2<x<2$
$1<x<3$
$x<-2$ או $x>2$
אין פתרון

Show the answer and the solution

Answer: $|x|<2$ — $-2<x<2$ · $|x|>2$ — $x<-2$ או $x>2$ · $|x-2|<1$ — $1<x<3$ · $|x|<-2$ — אין פתרון

Worked solution:

|x|<2

קרוב ל- $0$ — קטע אחד

|x|>2

רחוק מ- $0$ — שני קטעים

|x-2|<1:\ 1<x<3

קרוב ל- $2$

|x|\ge0>-2

מרחק אינו קטן ממספר שלילי

ההבדל בין קטע אחד לבין שני קטעים הוא כל ההבדל בין $<$ ל- $>$ . ו- $|x|<-2$ — אין לה פתרון.

Check the answer on elev

ערך מוחלט הוא מרחק

כשבאגף השני יש xxx

הערך המוחלט של פונקציה

Exercises

Keep practising on elev

כשבאגף השני יש $x$