Parameters · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פרמטר הוא אות שמייצגת מספר קבוע שעוד לא בחרנו. השאלה «כמה פתרונות יש ל- $f(x)=k$ ?» היא שאלה על ישר אופקי $y=k$ : כמה פעמים הוא פוגש את הגרף?

f(x)=x^4-4x^2

ושלושה ישרים אופקיים. כל ישר

y=k

חותך את הגרף במספר אחר של נקודות.

כמה פתרונות יש ל- $x^4-4x^2=-2$ ? ול- $x^4-4x^2=3$ ? ול- $x^4-4x^2=-4$ ?

Show the answer and the solution

ל- $k=-2$ — ארבעה (הישר חוצה את שני ה«עמקים»). ל- $k=3$ — שניים. ל- $k=-4$ — שניים: הישר רק נוגע בשתי נקודות המינימום.

טבלה לפי $k$

מזיזים את הישר מלמטה למעלה, ורושמים את מספר נקודות החיתוך. המספרים משתנים רק בגבהים המיוחדים — המינימום $-4$ והנקודה $(0,0)$ .

k<-4

אין פתרון

k=-4

שני פתרונות ( $x=\pm\sqrt2$ )

-4<k<0

ארבעה פתרונות

k=0

שלושה פתרונות ( $x=0,\ \pm2$ )

k>0

שני פתרונות

את אותה טבלה אפשר לקבל גם באלגברה: $t=x^2$ נותן $t^2-4t-k=0$ , ומספר הפתרונות תלוי בסימנים של ערכי $t$ — בדיוק כמו ביחידה על משוואות דו-ריבועיות.

פרמטר בטרינום: מתי הפרבולה כולה מעל הציר?

שנו את המקדמים ועקבו: מתי הפרבולה לא פוגשת את ציר $x$ בכלל?

ax^2+bx+c>0 \ \text{לכל}\ x \iff a>0 \ \text{וגם}\ \Delta=b^2-4ac<0

Interactive activity

פרמטר ששואל «לכל $x$ »

x^2-6x+k>0 \quad \text{לכל } x

מצאו את כל ערכי $k$ . לחצו «להתחיל».

המקדם המוביל

a=1>0

הפרבולה «מחייכת» — טוב, זה התנאי הראשון.

דיסקרימיננטה

\begin{aligned}\Delta &= (-6)^2-4\cdot1\cdot k \\ &= 36-4k\end{aligned}

כדי שלא יהיו שורשים צריך $\Delta<0$ .

אי-שוויון בפרמטר

36-4k<0 \Rightarrow k>9

אי-שוויון ליניארי רגיל — הפעם הנעלם הוא $k$ .

בדיקה

\begin{aligned}k &= 9:\ x^2-6x+9 \\ &= (x-3)^2\end{aligned}

ב- $k=9$ יש שורש כפול, ובו הביטוי שווה $0$ — לא גדול מ- $0$ . לכן $9$ לא נכלל.

$k>9$ . שימו לב לבדיקת הקצה: $\Delta=0$ פירושו שהפרבולה נוגעת בציר.

Do the activity on elev

תנאי שהוא אי-שוויון ריבועי

לאילו ערכי $m$ יש למשוואה $x^2+mx+4=0$ שני פתרונות שונים?

\Delta=m^2-16>0

שני פתרונות שונים: $\Delta>0$

(m-4)(m+4)>0

אי-שוויון ריבועי — בפרמטר

m<-4 \quad \text{או} \quad m>4

שיטת הקטעים

לאילו ערכי $k$ מתקיים $kx^2+2x+1>0$ לכל $x$ ? ומה קורה ב- $k=0$ ?

Show the answer and the solution

צריך $k>0$ וגם $\Delta=4-4k<0$ , כלומר $k>1$ . ב- $k=0$ הביטוי הוא $2x+1$ — ישר, והוא שלילי למשל ב- $x=-1$ . כשהפרמטר יושב על $x^2$ , בודקים לחוד את המקרה שבו הוא $0$ .

שלוש טעויות של פרמטרים.

\Delta<0 \Rightarrow ax^2+bx+c>0

a>0 \ \text{וגם}\ \Delta<0

$\Delta<0$ אומר רק שאין שורשים. אם $a<0$ , הפרבולה כולה מתחת לציר.

m^2>16 \Rightarrow m>4

m<-4 \ \text{או}\ m>4

אי-שוויון בפרמטר נפתר כמו כל אי-שוויון ריבועי — עם שני הקטעים.

36-4k\le0 \Rightarrow k\ge9

36-4k<0 \Rightarrow k>9

ב- $\Delta=0$ הפרבולה נוגעת בציר, והביטוי שווה שם $0$ . לאי-שוויון חזק זה לא מספיק.

Exercises

Exercise 1

הגרף של

f(x)=x^4-4x^2

. שתי נקודות המינימום נמצאות בגובה

y=-4

, והנקודה

(0,0)

לפניכם הגרף של $f(x)=x^4-4x^2$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=-1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

-4<-1<0

הישר $y=-1$ בין המינימום לבין $0$

\begin{aligned}t^2-4t+1 &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\pm\sqrt3>0\end{aligned}

בדיקה אלגברית: שני ערכי $t$ חיוביים

4 \ \text{פתרונות}

הישר $y=-1$ חוצה את שני העמקים. מי שסופר רק צד אחד של הגרף שוכח שהפונקציה זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 2

הגרף של

f(x)=x^4-4x^2

. שתי נקודות המינימום נמצאות בגובה

y=-4

, והנקודה

(0,0)

לפניכם הגרף של $f(x)=x^4-4x^2$ . לאילו ערכי $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שלושה פתרונות?

$k>0$
$-4<k<0$
$k=0$
$k=-4$

Show the answer and the solution

Answer: C $k=0$

Worked solution:

\begin{aligned}k &= 0:\ x^2(x^2-4) \\ &= 0\end{aligned}

הישר $y=0$ נוגע ב- $(0,0)$ וחוצה ב- $\pm2$

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm2\end{aligned}

שלושה פתרונות

\begin{aligned}k &= -4:\ 2 \\ \quad -4<k<0:\ 4 \\ \quad k>0:\ 2\end{aligned}

שאר הערכים

מספר אי-זוגי של פתרונות לפונקציה זוגית מחייב פתרון ב- $x=0$ — ולכן $k=f(0)=0$ . התשובה: $k=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הערך השלם הקטן ביותר של $k$ שעבורו $x^2-8x+k>0$ לכל $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

\Delta=64-4k<0

$a=1>0$ , וצריך שלא יהיו שורשים

k>16

k=17

השלם הקטן ביותר

$k=16$ נותן $(x-4)^2$ , שמתאפס ב- $x=4$ . $\Delta=0$ לא מספיק לאי-שוויון חזק.

Check the answer on elev

Exercise 4

לאילו ערכי $m$ יש למשוואה $x^2+mx+9=0$ שני פתרונות שונים?

$m>6$
$m<-6$ או $m>6$
$-6<m<6$
$m\le-6$ או $m\ge6$

Show the answer and the solution

Answer: B $m<-6$ או $m>6$

Worked solution:

\Delta=m^2-36>0

שני פתרונות שונים

(m-6)(m+6)>0

פירוק

m<-6 \ \text{או}\ m>6

מחוץ לשורשים

$m>6$ לבד שוכח את $m=-7$ : $\ 49-36>0$ . ו- $m=\pm6$ נותנים פתרון כפול, לא שניים שונים. התשובה: $m<-6$ או $m>6$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

האם ייתכן? קיים ערך של $k$ שעבורו למשוואה $x^4+kx^2+1=0$ יש בדיוק שלושה פתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2+kt+1 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

3\ \text{פתרונות} \Rightarrow t=0 \ \text{פתרון}

מספר אי-זוגי מחייב $x=0$

\begin{aligned}t &= 0:\ 0+0+1 \\ &= 1\ne0\end{aligned}

אבל $t=0$ אינו פתרון לאף $k$

לא ייתכן. למשוואה דו-ריבועית יש שלושה פתרונות רק כשהמקדם החופשי $0$ . כאן הוא $1$ , ולכן $x=0$ לעולם אינו פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 6

לפניכם הגרף של $y=|x^2-4|$ . לאיזה ערך של $k$ יש למשוואה $|x^2-4|=k$ בדיוק שלושה פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(0,4)

ה«פסגה» שנוצרה כשהחלק שמתחת לציר התהפך

\begin{aligned}k &= 4:\ x^2-4 \\ &= 4 \ \text{או}\ x^2-4 \\ &= -4\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= \pm2\sqrt2 \\ \ x &= 0\end{aligned}

שלושה פתרונות

$k=0$ נותן רק שניים ( $x=\pm2$ ). שלושה פתרונות נוצרים כשהישר עובר דרך הפסגה — $k=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

לאילו ערכי $a$ מתקיים $ax^2+4x+a<0$ לכל $x$ ?

$a<-2$ או $a>2$
$a<0$
$a<-2$
$-2<a<0$

Show the answer and the solution

Answer: C $a<-2$

Worked solution:

a<0

הפרבולה צריכה «לבכות»

\Delta=16-4a^2<0 \Rightarrow a^2>4

ואין לה שורשים

a<-2 \ \text{או}\ a>2

פתרון $a^2>4$

a<0 \ \text{וגם}\ (a<-2 \ \text{או}\ a>2) \Rightarrow a<-2

חיתוך שני התנאים

$a<-2$ או $a>2$ הוא רק תנאי הדיסקרימיננטה. עם $a>2$ הפרבולה מעל הציר. התשובה: $a<-2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

ידוע ש- $x=2$ הוא פתרון של $x^4-kx^2+12=0$ . השלימו.

$k=$ ____, ומספר הפתרונות של המשוואה הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: $k=$ 7, ומספר הפתרונות של המשוואה הוא 4.

Worked solution:

\begin{aligned}16-4k+12 &= 0 \Rightarrow k \\ &= 7\end{aligned}

מציבים $x=2$

\begin{aligned}t^2-7t+12 &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3 \\ \ t &= 4\end{aligned}

הצבה $t=x^2$

\begin{aligned}x &= \pm\sqrt3 \\ \ \pm2\end{aligned}

ארבעה פתרונות

$x=2$ הוא פתרון אחד מתוך ארבעה: גם $x=-2$ פתרון, ו- $t=3$ מוסיף עוד שניים.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של

f(x)=x^3-3x

. הנקודות המסומנות:

(-1,2)

ו-

(1,-2)

לפניכם הגרף של $f(x)=x^3-3x$ . מיינו כל ערך של $k$ לפי מספר הפתרונות של $f(x)=k$ .

פתרון אחד בלבד
שלושה פתרונות

$k=-1$
$k=-3$
$k=0$
$k=1$
$k=3$
$k=5$

Show the answer and the solution

Answer: $k=3$ — פתרון אחד בלבד · $k=-3$ — פתרון אחד בלבד · $k=5$ — פתרון אחד בלבד · $k=0$ — שלושה פתרונות · $k=1$ — שלושה פתרונות · $k=-1$ — שלושה פתרונות

Worked solution:

-2<k<2

הישר $y=k$ עובר בין שתי הנקודות המסומנות — שלוש נקודות חיתוך

k>2 \ \text{או}\ k<-2

הישר מעל או מתחת לשתיהן — נקודת חיתוך אחת

הגבולות הם הגבהים של הנקודות $(-1,2)$ ו- $(1,-2)$ , לא השורשים של $f$ . מי שמשווה את $k$ ל- $\pm\sqrt3$ מתבלבל.

Check the answer on elev

Exercise 10

הביאו דוגמה: לאיזה ערך של $k$ הפתרון של $(x-k)(x-2)^2\le0$ הוא בדיוק $x\le2$ ?

$k=-2$
$k=0$
$k=4$
$k=2$

Show the answer and the solution

Answer: D $k=2$

Worked solution:

(x-2)^2\ge0

הגורם הזה לא משנה סימן

(x-k)(x-2)^2\le0 \iff x\le k \ \text{או}\ x=2

הפתרון לכל $k$

k=2:\ (x-2)^3\le0 \iff x\le2

רק כש- $k=2$ הנקודה הבודדת נבלעת בקטע

k=4:\ x\le4

למשל $k=4$ נותן קטע גדול יותר

עם $k=0$ הפתרון הוא $x\le0$ או $x=2$ — נקודה בודדת נוספת. התשובה: $k=2$ .

Check the answer on elev

טבלה לפי kkk

פרמטר בטרינום: מתי הפרבולה כולה מעל הציר?

Exercises

Keep practising on elev

טבלה לפי $k$