Set 3 · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מאתגרות: הצבה של ביטוי שלם, ריבוי זוגי, מכנה שמשנה סימן, ערך מוחלט של פונקציה וקריאה מגרף.

בשורש מריבוי זוגי הסימן לא מתחלף. סמנו אותו על הציר בצבע אחר לפני שאתם כותבים סימנים.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה $(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0$ . מהו סכום כל הפתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}t &= x^2-3x:\ t^2-2t-8 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 4 \\ \ t &= -2\end{aligned}

הצבה של הביטוי שחוזר

\begin{aligned}x^2-3x-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$t=4$

\begin{aligned}x^2-3x+2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$t=-2$ — כאן $t$ מותר להיות שלילי

4-1+1+2=6

הסכום

מי שפוסל את $t=-2$ «כי $t$ שלילי» מאבד שני פתרונות. הפסילה נכונה רק כש- $t=x^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את האי-שוויון $\frac{x^2-4}{x-1}\ge0$ .

$x\le-2$ או $1<x\le2$
$x\ge2$
$-2\le x\le1$ או $x\ge2$
$-2\le x<1$ או $x\ge2$

Show the answer and the solution

Answer: D $-2\le x<1$ או $x\ge2$

Worked solution:

\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge0

פירוק המונה

x>2:+,\ 1<x<2:-,\ -2<x<1:+,\ x<-2:-

שלוש נקודות: $-2,\ 1,\ 2$

-2\le x<1 \ \text{או}\ x\ge2

$\pm2$ נכללים, $1$ לא

מי שמתעלם מהמכנה בשיטת הקטעים מקבל $x\le-2$ או $x\ge2$ — סימנים הפוכים לגמרי. התשובה: $-2\le x<1$ או $x\ge2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-5x|=6$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}x^2-5x &= 6 \Rightarrow (x-6)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון: $x=6,\ -1$

\begin{aligned}x^2-5x &= -6 \Rightarrow (x-2)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני: $x=2,\ 3$

4 \ \text{פתרונות}

המקרה השני נותן פתרונות אמיתיים: בגרף של $|x^2-5x|$ יש «פסגה» בגובה $6.25$ , והישר $y=6$ חותך גם אותה.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את האי-שוויון $(x-3)^2(x+1)(x-5)\le0$ .

$-1\le x\le5$
$-1\le x\le3$
$x\le-1$ או $x\ge5$
$-1\le x<3$ או $3<x\le5$

Show the answer and the solution

Answer: A $-1\le x\le5$

Worked solution:

(x-3)^2\ge0

הגורם הכפול לא משנה סימן

(x+1)(x-5)\le0 \Rightarrow -1\le x\le5

הסימן נקבע לפי שני הגורמים האחרים

x=3 \in [-1,5]

ובנקודה $x=3$ הביטוי שווה $0$ — נכלל ממילא

מי שמוציא את $x=3$ מהתשובה פותר את $<0$ . ב- $\le$ הנקודה נכללת. התשובה: $-1\le x\le5$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

האם ייתכן שלמשוואה מהצורה $x^4+bx^2+c=0$ יש פתרון אחד בלבד?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}b &= 1 \\ \ c &= 0:\ x^4+x^2 \\ &= 0\end{aligned}

דוגמה

\begin{aligned}x^2(x^2+1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

$x^2+1$ לא מתאפס

\begin{aligned}t &= 0 \ \text{ו-}\ t \\ &= -1\end{aligned}

ב- $t$ : אפס ושלילי

כן. פתרון יחיד $x=0$ מתקבל כש- $t=0$ פתרון והערך השני של $t$ שלילי (או ששניהם $0$ , כמו ב- $x^4=0$ ).

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הערך השלם הגדול ביותר של $k$ שעבורו $x^2+kx+4>0$ לכל $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\Delta=k^2-16<0

$a=1>0$

(k-4)(k+4)<0 \Rightarrow -4<k<4

k=3

$k=4$ נותן $(x+2)^2$ , שמתאפס ב- $x=-2$ . הקצה לא נכלל.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את האי-שוויון $\frac{2}{x-1}<1$ .

$x<3$
$x<1$ או $x>3$
$1<x<3$
$x>3$

Show the answer and the solution

Answer: B $x<1$ או $x>3$

Worked solution:

\frac{2-(x-1)}{x-1}<0 \Rightarrow \frac{3-x}{x-1}<0

אגף אחד

x<1:-,\quad 1<x<3:+,\quad x>3:-

סימנים

x<1 \ \text{או}\ x>3

כפל ב- $(x-1)$ נותן $x>3$ ומאבד את כל $x<1$ — שם השבר שלילי ובוודאי קטן מ- $1$ . התשובה: $x<1$ או $x>3$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה המשוואה $x^5-5x^3+4x=0$ . השלימו.

מספר הפתרונות הוא ____, והפתרון הגדול ביותר הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: מספר הפתרונות הוא 5, והפתרון הגדול ביותר הוא 2.

Worked solution:

x(x^4-5x^2+4)=0

גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ t^2-5t+4 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm1 \\ \ \pm2\end{aligned}

חמישה פתרונות

מי שמחלק ב- $x$ סופר ארבעה. גורם משותף שומר על $x=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את האי-שוויון $|x-1|\ge2x-5$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x$ שמקיים אותו?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x\ge1:\ x-1\ge2x-5 \Rightarrow x\le4

מקרה ראשון: $1\le x\le4$

x<1:\ 1-x\ge2x-5 \Rightarrow x\le2

מקרה שני: כל $x<1$

x\le4

איחוד שני המקרים

בכל מקרה חותכים עם התנאי של המקרה ( $x\ge1$ או $x<1$ ), ורק אז מאחדים. ב- $x=4$ : $|3|=3=2\cdot4-5$ — השוויון מתקיים ולכן $4$ נכלל.

Check the answer on elev

Exercise 10

לפניכם הגרף של הפולינום $f(x)=(x+3)(x-1)^2$ . פתרו את האי-שוויון $\frac{f(x)}{x-2}\le0$ .

$-3\le x<2$
$x\le-3$ או $x>2$
$-3\le x\le2$
$-3<x<2$

Show the answer and the solution

Answer: A $-3\le x<2$

Worked solution:

x<-3:\ f<0,\ x-2<0 \Rightarrow +

שני שליליים

-3<x<2:\ f\ge0,\ x-2<0 \Rightarrow \le0

מהגרף: $f\ge0$ שם

x>2:\ f>0,\ x-2>0 \Rightarrow +

-3\le x<2

$x=-3$ ו- $x=1$ נותנים $0$ ; $x=2$ לא מוגדר

$x=2$ מאפס את המכנה ולכן לא נכלל, גם באי-שוויון $\le$ . התשובה: $-3\le x<2$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev