Set 4 · Equations and inequalities — the interval method · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מתקדמות: פולינום ממעלה רביעית, פרמטרים במשוואות, מרחקים בערך מוחלט, ואי-שוויון שבו מתפתים לחלק.

שאלת פרמטר נפתרת בשתי דרכים — ישר אופקי על הגרף או תנאי על ערכי $t$ או על $\Delta$ . בדקו תשובה בדרך השנייה.

Exercises

Exercise 1

נתון $f(x)=x^4-x^3-7x^2+x+6=(x^2-1)(x^2-x-6)$ . פתרו $f(x)<0$ .

$x<-2$ או $-1<x<1$ או $x>3$
$-2<x<-1$ או $1<x<3$
$-2<x<3$
$-1<x<1$

Show the answer and the solution

Answer: B $-2<x<-1$ או $1<x<3$

Worked solution:

(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)<0

פירוק מלא

x>3:+,\ 1<x<3:-,\ -1<x<1:+,\ -2<x<-1:-,\ x<-2:+

ארבעה שורשים מריבוי 1

-2<x<-1 \ \text{או}\ 1<x<3

ארבעה שורשים — חמישה קטעים, שני קטעים שליליים. בדיקה: $f(0)=6>0$ , ולכן $x=0$ אינו בתשובה. התשובה: $-2<x<-1$ או $1<x<3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה מספרים שלמים מקיימים $\frac{x^2-x-6}{x^2-1}\le0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}\le0

פירוק

x>3:+,\ 1<x<3:-,\ -1<x<1:+,\ -2<x<-1:-,\ x<-2:+

ארבע נקודות

-2\le x<-1 \ \text{או}\ 1<x\le3

$-2,\ 3$ נכללים; $\pm1$ לא

\{-2,\ 2,\ 3\}

שלושה שלמים

$x=0$ נותן $\frac{-6}{-1}=6>0$ — לא פתרון. ו- $x=\pm1$ לא מוגדרים, גם אם הם «באמצע».

Check the answer on elev

Exercise 3

לאיזה ערך של $k$ יש למשוואה $x^4-(k+1)x^2+k=0$ בדיוק שלושה פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

t^2-(k+1)t+k=(t-1)(t-k)

הצבה ופירוק

\begin{aligned}t &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

תמיד שני פתרונות

\begin{aligned}t &= k \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הפתרון השלישי מגיע רק מ- $t=0$

שלושה פתרונות מחייבים $x=0$ , כלומר מקדם חופשי $k=0$ . ב- $k=1$ יש שורש כפול ב- $t$ ורק שני פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את האי-שוויון $|x-2|<|x+4|$ .

$x>2$
$-4<x<2$
$x>-1$
$x<-1$

Show the answer and the solution

Answer: C $x>-1$

Worked solution:

\begin{aligned}|x-2| \\ \quad |x+4| &= |x-(-4)|\end{aligned}

שני מרחקים: מ- $2$ ומ- $-4$

\frac{2+(-4)}{2}=-1

הנקודה שבאמצע — שם המרחקים שווים

x>-1

קרוב יותר ל- $2$ : מימין לאמצע

(x-2)^2<(x+4)^2 \Rightarrow -12<12x

בדיקה אלגברית: שני האגפים אי-שליליים, מותר להעלות בריבוע

$|x+4|$ הוא מרחק מ- $-4$ . «קרוב יותר ל- $2$ מאשר ל- $-4$ » — כל מה שמימין לנקודת האמצע $-1$ . התשובה: $x>-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: לכל $k>0$ , מספר הפתרונות של $|x^2-4|=k$ הוא זוגי.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}k &= 4:\ x^2-4 \\ &= 4 \ \text{או}\ x^2-4 \\ &= -4\end{aligned}

דוגמה נגדית

\begin{aligned}x &= \pm2\sqrt2 \\ \ x &= 0\end{aligned}

שלושה פתרונות

הטענה שגויה. הפונקציה זוגית, ולכן הפתרונות באים בזוגות — פרט ל- $x=0$ . ב- $k=4$ הישר עובר דרך $(0,4)$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את האי-שוויון $\frac{x+2}{x-1}\ge x+2$ .

$-2\le x<1$ או $x\ge2$
$x\le-2$ או $1<x\le2$
$x\le-2$ או $1\le x\le2$
$1<x\le2$

Show the answer and the solution

Answer: B $x\le-2$ או $1<x\le2$

Worked solution:

(x+2)\left(\frac{1}{x-1}-1\right)\ge0

מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף

\frac{(x+2)(2-x)}{x-1}\ge0

מכנה משותף

x<-2:+,\ -2<x<1:-,\ 1<x<2:+,\ x>2:-

שלוש נקודות

x\le-2 \ \text{או}\ 1<x\le2

מי שמחלק ב- $(x+2)$ מקבל $1<x\le2$ ומאבד את כל $x\le-2$ . לא מחלקים בביטוי שסימנו לא ידוע. התשובה: $x\le-2$ או $1<x\le2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו הערך השלם החיובי הקטן ביותר של $m$ שעבורו למשוואה $x^2+(m-2)x+m+1=0$ שני פתרונות שונים?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}\Delta &= (m-2)^2-4(m+1) \\ &= m^2-8m\end{aligned}

פותחים סוגריים

m(m-8)>0 \Rightarrow m<0 \ \text{או}\ m>8

שיטת הקטעים בפרמטר

m=9

השלם החיובי הקטן ביותר

$m=8$ נותן $\Delta=0$ — פתרון כפול, לא שניים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפניכם הגרף של $f(x)=x(x+2)(x-3)$ . פתרו את האי-שוויון $x\cdot f(x)>0$ .

$-2<x<3$
$-2<x<0$ או $x>3$
$x<-2$ או $0<x<3$
$x<-2$ או $x>3$

Show the answer and the solution

Answer: D $x<-2$ או $x>3$

Worked solution:

x\cdot f(x)=x^2(x+2)(x-3)

הגורם $x$ הופך לריבוי 2

x^2\ge0

הסימן נקבע לפי $(x+2)(x-3)$ , והביטוי מתאפס ב- $x=0$

x<-2 \ \text{או}\ x>3

הכפל ב- $x$ «ביטל» את החציה ב- $0$ : עכשיו הגרף רק נוגע שם. $-2<x<0$ או $x>3$ הוא הפתרון של $f(x)>0$ — שאלה אחרת. התשובה: $x<-2$ או $x>3$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

השלימו את הפתרון של $x^4-2x^2-8\le0$ .

____ $\le x\le$ ____

Show the answer and the solution

Answer: -2 $\le x\le$ 2

Worked solution:

t^2-2t-8=(t-4)(t+2)

הצבה $t=x^2$

(x^2-4)(x^2+2)\le0

חוזרים ל- $x$

x^2+2>0 \Rightarrow x^2-4\le0

הגורם השני חיובי תמיד

-2\le x\le2

מי שכותב $x^2\le4 \Rightarrow x\le2$ שוכח את החסם התחתון. $x^2+2$ לא תורם שורשים.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל משוואה את מספר הפתרונות שלה.

$x^4-5x^2+4=0$
$x^4-4x^2=0$
$x^4+x^2-2=0$
$x^4+3x^2+2=0$

אפס
ארבעה
שלושה
שניים

Show the answer and the solution

Answer: $x^4-5x^2+4=0$ — ארבעה · $x^4-4x^2=0$ — שלושה · $x^4+x^2-2=0$ — שניים · $x^4+3x^2+2=0$ — אפס

Worked solution:

\begin{aligned}t &= 1 \\ \ 4\end{aligned}

שני $t$ חיוביים — ארבעה

\begin{aligned}t &= 0 \\ \ 4\end{aligned}

אפס וחיובי — שלושה

\begin{aligned}t &= 1 \\ \ -2\end{aligned}

חיובי ושלילי — שניים

\begin{aligned}t &= -1 \\ \ -2\end{aligned}

שני שליליים — אפס

המספר נקבע רק לפי הסימנים של שני ערכי $t$ : חיובי נותן שניים, אפס נותן אחד, שלילי — כלום.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev