Set 5

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בסגנון הבגרות. חלקן בנויות כסעיפים של שאלה אחת: קודם מוצאים פרמטר, ואחר כך פותרים אי-שוויון.

בבגרות כל סעיף מכין את הבא. השתמשו בתשובה הקודמת — ובדקו אותה: שורש נתון חייב להופיע כגורם.

Exercises

Exercise 1

נתון הפולינום f(x)=x3+ax2−9x−9f(x)=x^3+ax^2-9x-9. ידוע ש-x=−1x=-1 הוא שורש של ff. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f(−1)=−1+a+9−9=0\begin{aligned}f(-1) &= -1+a+9-9 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את השורש

a=1a=1

הטעות השכיחה היא בסימן של −9⋅(−1)=+9-9\cdot(-1)=+9. בודקים: x3+x2−9x−9=(x+1)(x2−9)x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2-9) — הגורם (x+1)(x+1) מופיע.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון f(x)=x3+x2−9x−9f(x)=x^3+x^2-9x-9. פתרו את האי-שוויון f(x)<0f(x)<0.

  1. −1<x<3-1<x<3
  2. x<−3x<-3 או −1<x<3-1<x<3
  3. −3<x<−1-3<x<-1 או x>3x>3
  4. x<3x<3
Show the answer and the solution

Answer: B x<−3x<-3 או −1<x<3-1<x<3

Worked solution:

x2(x+1)−9(x+1)=(x+1)(x−3)(x+3)x^2(x+1)-9(x+1)=(x+1)(x-3)(x+3)

קיבוץ איברים

x>3:+, −1<x<3:−, −3<x<−1:+, x<−3:−x>3:+,\ -1<x<3:-,\ -3<x<-1:+,\ x<-3:-

שלושה שורשים

x<−3 או −1<x<3x<-3 \ \text{או}\ -1<x<3

הקטע x<−3x<-3 נשכח כשמסתכלים רק «בין השורשים». פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי שלילי משמאל. התשובה: x<−3x<-3 או −1<x<3-1<x<3.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה g(x)=x2−4x+1g(x)=\frac{x^2-4}{x+1}. כמה מספרים שלמים בתחום −5≤x≤5-5\le x\le5 מקיימים g(x)≥0g(x)\ge0?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

(x−2)(x+2)x+1≥0\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\ge0

פירוק

x>2:+, −1<x<2:−, −2<x<−1:+, x<−2:−x>2:+,\ -1<x<2:-,\ -2<x<-1:+,\ x<-2:-

שלוש נקודות

−2≤x<−1 או x≥2-2\le x<-1 \ \text{או}\ x\ge2
{−2, 2, 3, 4, 5}\{-2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}

חמישה שלמים בתחום

בקטע −2≤x<−1-2\le x<-1 יש רק שלם אחד, −2-2 — כי −1-1 לא מוגדר. ו-x=0x=0 נותן −4<0-4<0.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: אם f(x)≥0f(x)\ge0 לכל xx, אז ∣f(x)∣=f(x)|f(x)|=f(x) לכל xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∣a∣=a  ⟺  a≥0|a|=a \iff a\ge0

הגדרת ערך מוחלט

f(x)≥0⇒∣f(x)∣=f(x)f(x)\ge0 \Rightarrow |f(x)|=f(x)

מציבים a=f(x)a=f(x) לכל xx

נכון. ולכן הגרף של ∣f∣|f| שונה מהגרף של ff רק בקטעים שבהם ff שלילית — שם הוא מתהפך.

Check the answer on elev

Exercise 5

לאילו ערכי kk יש למשוואה x4−6x2=kx^4-6x^2=k בדיוק ארבעה פתרונות?

  1. −3<k<0-3<k<0
  2. k>−9k>-9
  3. −9<k<0-9<k<0
  4. k<0k<0
Show the answer and the solution

Answer: C −9<k<0-9<k<0

Worked solution:

t=x2: t2−6t−k=0\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2-6t-k \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

t1≠t2,t1,t2>0t_1 \neq t_2,\quad t_1, t_2 > 0

ארבעה פתרונות בדיוק כשיש שני ערכי tt חיוביים ושונים

Δ=36+4k>0t1t2=−k>0\begin{aligned}\Delta &= 36+4k>0 \\ \quad t_1t_2 &= -k>0\end{aligned}

דיסקרימיננטה חיובית ומכפלה חיובית (הסכום 66 כבר חיובי)

−9<k<0-9<k<0

k>−9k>-9 כולל את k=1k=1, שבו אחד מערכי tt שלילי ויש רק שני פתרונות. בגרף: הישר צריך לעבור בין המינימום −9-9 לבין 00. התשובה: −9<k<0-9<k<0.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה פתרונות יש למשוואה ∣x2−6x+5∣=4|x^2-6x+5|=4?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−6x+5=4⇒x2−6x+1=0\begin{aligned}x^2-6x+5 &= 4 \Rightarrow x^2-6x+1 \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון: Δ=32>0\Delta=32>0 — שני פתרונות

x2−6x+5=−4⇒(x−3)2=0\begin{aligned}x^2-6x+5 &= -4 \Rightarrow (x-3)^2 \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני: פתרון אחד, x=3x=3

2+1=32+1=3

המקרה השני נותן שורש כפול — פתרון אחד, לא שניים. בגרף: y=4y=4 נוגע בפסגה (3,4)(3,4).

Check the answer on elev

Exercise 7

לאילו ערכי aa מתקיים ax2−4x+a>0ax^2-4x+a>0 לכל xx?

  1. a>0a>0
  2. −2<a<2-2<a<2
  3. a>2a>2 או a<−2a<-2
  4. a>2a>2
Show the answer and the solution

Answer: D a>2a>2

Worked solution:

a>0a>0

הפרבולה צריכה «לחייך»

Δ=16−4a2<0⇒a<−2 או a>2\Delta=16-4a^2<0 \Rightarrow a<-2 \ \text{או}\ a>2

ואין שורשים

a>2a>2

חיתוך שני התנאים

a<−2a<-2 מקיים את תנאי הדיסקרימיננטה, אבל הפרבולה אז כולה מתחת לציר. התשובה: a>2a>2.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה מספרים שלמים מקיימים x2−9x2+x−2<0\frac{x^2-9}{x^2+x-2}<0?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

(x−3)(x+3)(x+2)(x−1)<0\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-1)}<0

פירוק

x>3:+, 1<x<3:−, −2<x<1:+, −3<x<−2:−, x<−3:+x>3:+,\ 1<x<3:-,\ -2<x<1:+,\ -3<x<-2:-,\ x<-3:+

ארבע נקודות: −3, −2, 1, 3-3,\ -2,\ 1,\ 3

−3<x<−2 או 1<x<3-3<x<-2 \ \text{או}\ 1<x<3
x=2x=2

בקטע −3<x<−2-3<x<-2 אין אף שלם

הקטע −3<x<−2-3<x<-2 פתוח משני הצדדים ולכן ריק משלמים. והנקודות עצמן לא נכללות באי-שוויון חזק.

Check the answer on elev

Exercise 9

בפתרון של ∣x−1∣>x+3|x-1|>x+3 שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x≥1: x−1>x+3⇒−1>3x\ge1:\ x-1>x+3 \Rightarrow -1>3
x<1: 1−x>x+3x<1:\ 1-x>x+3
−2x>2⇒x>−1-2x>2 \Rightarrow x>-1
Show the answer and the solution

Answer: −2x>2⇒x>−1-2x>2 \Rightarrow x>-1 → −2x>2⇒x<−1-2x>2 \Rightarrow x<-1

Worked solution:

x≥1x\ge1

אין פתרון — סתירה

x<1: −2x>2x<1:\ -2x>2

מעבירים אגף

x<−1x<-1

חילוק במספר שלילי הופך את הסימן

חילוק ב-−2-2 הופך את הכיוון. הפתרון המלא: x<−1x<-1 (והוא מקיים גם את x<1x<1).

Check the answer on elev

Exercise 10

הוכיחו כי x4−2x2+1≥0x^4-2x^2+1\ge0 לכל xx.

  • xx מספר ממשי כלשהו

x4−2x2+1≥0x^4-2x^2+1\ge0

Show the answer and the solution
  1. x4−2x2+1=(x2−1)2x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2 — נוסחת הכפל המקוצר (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 עם a=x2, b=1a=x^2,\ b=1
  2. (x2−1)2≥0(x^2-1)^2\ge0 — חזקה שנייה של מספר ממשי אינה שלילית
  3. x4−2x2+1≥0x^4-2x^2+1\ge0 — הצבה של השוויון בטענה הקודמת

Worked solution:

x4−2x2+1=(x2−1)2x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2

זיהוי: t2−2t+1t^2-2t+1 עם t=x2t=x^2

(x2−1)2≥0(x^2-1)^2\ge0

ריבוע אינו שלילי

(x2−1)2=0  ⟺  x=±1\begin{aligned}(x^2-1)^2 &= 0 \iff x \\ &= \pm1\end{aligned}

שוויון בדיוק ב-x=±1x=\pm1 — שני שורשים מריבוי 2

אין צורך בשיטת הקטעים: ריבוע שלם מוכיח את הטענה בשורה אחת. בגרף — הפונקציה נוגעת בציר ב-±1\pm1 ולא יורדת מתחתיו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade