Tangent line equation

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק הזה ראינו שהנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק שם. עכשיו נשתמש בזה עד הסוף: נכתוב את משוואת המשיק.

באנימציה, באילו שני ערכי xx המשיק אופקי? אמתו בחישוב.

Show the answer and the solution

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2), והנגזרת מתאפסת ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. שם m=0m = 0, ומשוואות המשיקים הן y=0y = 0 ו-y=−4y = -4.

הכלל

m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע המשיק בנקודה שווה לנגזרת של הפונקציה ב-xx של נקודת ההשקה. לא לנגזרת «באופן כללי» — לערך שלה ב-x0x_0 עצמו.

שימו לב להבדל: f′(x)f'(x) הוא ביטוי, ו-f′(x0)f'(x_0) הוא מספר. השיפוע של ישר הוא תמיד מספר.

שלושת השלבים

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הנקודה — מציבים ב-ff עצמה.

m=f′(x0)m = f'(x_0)

השיפוע — מציבים בנגזרת.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

המשוואה — ישר דרך נקודה עם שיפוע.

הטעות הנפוצה היא לערבב בין השניים: הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. הצבה בפונקציה הלא נכונה מקלקלת את כל הסעיף.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק ל-f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3.

y0=f(3)=27−27=0\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= 27 - 27 \\ &= 0\end{aligned}

הגובה, מ-ff

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

גוזרים

m=f′(3)=27−18=9\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 27 - 18 \\ &= 9\end{aligned}

השיפוע, מ-f′f'

y−0=9(x−3)y - 0 = 9(x - 3)

ישר דרך נקודה

y=9x−27y = 9x - 27

משוואת המשיק

בדוגמה יצא y0=0y_0 = 0. האם זה אומר שגם השיפוע אפס?

Show the answer and the solution

לא. y0=0y_0 = 0 אומר שהנקודה יושבת על ציר ה-xx; השיפוע שם הוא 99. שני מספרים שונים משתי פונקציות שונות — ff ו-f′f'.

כשנתון השיפוע ומחפשים את הנקודה

השאלה מגיעה גם הפוכה: נתון שיפוע, ומבקשים איפה יש משיק בשיפוע הזה. אז פותרים משוואה f′(x)=mf'(x) = m במקום להציב.

מהשיפוע אל הנקודה

באילו נקודות המשיק לגרף y=x3y = x^3 הוא בעל שיפוע 1212?

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

הנגזרת

3x2=12 ⇒ x2=4\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4\end{aligned}

משווים לשיפוע הנתון

x=2x=−2\begin{aligned}x &= 2 \quad \\ \quad x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

(2,8),(−2,−8)(2, 8) \quad , \quad (-2, -8)

והגבהים מ-ff

משיק מקביל לישר נתון

ניסוח נפוץ נוסף: ישרים מקבילים — שיפועים שווים. קוראים את השיפוע מהישר הנתון, וממשיכים כמו קודם.

מקביל לישר

מצאו את המשיק ל-y=x2y = x^2 המקביל לישר y=6x+1y = 6x + 1.

m=6m = 6

מקבילים — אותו שיפוע

2x=6 ⇒ x=3\begin{aligned}2x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

משווים את הנגזרת

y0=9y_0 = 9

הגובה מ-ff

y−9=6(x−3) ⇒ y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

משוואת המשיק

המשיק ל-y=x3y = x^3 בנקודה (1,1)(1, 1) הוא y=3x−2y = 3x - 2. האם הוא פוגש את הגרף בנקודה נוספת?

Show the answer and the solution

כן. x3=3x−2x^3 = 3x - 2 שקול ל-(x−1)2(x+2)=0(x - 1)^2(x + 2) = 0, ולכן גם ב-x=−2x = -2. משיק נוגע בגרף בנקודת ההשקה, אבל רחוק ממנה הוא יכול לחתוך אותו. המשיק למעגל אינו המודל כאן.

שתי הטעויות של המשיק.

y0=f′(x0)y_0 = f'(x_0)
y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. החלפה ביניהם נותנת ישר שאינו נוגע בגרף בכלל.

3x2=12 ⇒ x=2\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}
3x2=12 ⇒ x=±2\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

משוואה ריבועית — שני פתרונות. שכחת השני היא הפסד של חצי סעיף, גם כשכל החישוב נכון.

Exercises

Exercise 1

מהי משוואת המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=4xy = 4x
  2. y=4x−4y = 4x - 4
  3. y=2xy = 2x
  4. y=4x+4y = 4x + 4
Show the answer and the solution

Answer: B y=4x−4y = 4x - 4

Worked solution:

y0=f(2)=4\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

m=f′(2)=4\begin{aligned}m &= f'(2) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

y−4=4(x−2)y - 4 = 4(x - 2)

ישר דרך נקודה

y=4x−4y = 4x - 4

מסדרים

הנכונה: y=4x−4y = 4x - 4. y=2xy = 2x לוקח את f′(x)=2xf'(x) = 2x כאילו הוא המשיק; y=4xy = 4x שוכח את הנקודה. בדיקה: ב-x=2x = 2 המשיק חייב לתת 44.

Check the answer on elev

Exercise 2

באילו נקודות המשיק לגרף y=x3y = x^3 הוא בעל שיפוע 1212?

  1. x=12x = 12
  2. x=2x = 2 או x=−2x = -2
  3. x=2x = 2 בלבד
  4. x=4x = 4
Show the answer and the solution

Answer: B x=2x = 2 או x=−2x = -2

Worked solution:

3x2=123x^2 = 12

משווים את הנגזרת לשיפוע

x2=4x^2 = 4

מחלקים

x=±2x = \pm 2

שני פתרונות

הנכונה: x=2x = 2 או x=−2x = -2. «x=2x = 2 בלבד» שוכח את השורש השלילי; x=4x = 4 עוצר ב-x2=4x^2 = 4; x=12x = 12 מבלבל שיפוע עם מקום.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו המשיק ל-y=x2y = x^2 המקביל לישר y=6x+1y = 6x + 1?

  1. y=6x+9y = 6x + 9
  2. y=2x−9y = 2x - 9
  3. y=6x−9y = 6x - 9
  4. y=6x+1y = 6x + 1
Show the answer and the solution

Answer: C y=6x−9y = 6x - 9

Worked solution:

m=6m = 6

מקבילים — אותו שיפוע

2x=6 ⇒ x=3\begin{aligned}2x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

y0=9y_0 = 9

הגובה

y−9=6(x−3) ⇒ y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=6x−9y = 6x - 9. y=6x+1y = 6x + 1 הוא הישר הנתון עצמו — הוא לא נוגע בפרבולה; y=6x+9y = 6x + 9 טועה בסימן של המספר החופשי — בדיקה ב-x=3x = 3 נותנת 2727 ולא 99.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. בכמה נקודות המשיק לגרף הוא אופקי?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x - 2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(x)=0 ⇒ x=0  x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי — שיפוע אפס

מי שמחלק ב-xx את 3x2=6x3x^2 = 6x מאבד את הפתרון x=0x = 0. מפרקים, לא מחלקים במשתנה.

Check the answer on elev

Exercise 5

המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=5x = 5 הוא y=3x−7y = 3x - 7. מהו f(5)f(5)?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

y=3⋅5−7=8\begin{aligned}y &= 3 \cdot 5 - 7 \\ &= 8\end{aligned}

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק

f(5)=8f′(5)=3\begin{aligned}f(5) &= 8 \\ \quad f'(5) &= 3\end{aligned}

והשיפוע נקרא מהמשוואה

נקודת ההשקה שייכת לשני הגרפים, ולכן מציבים במשוואת המשיק. −7-7 הוא החיתוך עם ציר ה-yy, לא f(5)f(5).

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1. באיזה ערך yy המשיק חותך את ציר ה-yy?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

y0=f(1)=1−3=−2\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=3−6=−3\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 3 - 6 \\ &= -3\end{aligned}

השיפוע

y+2=−3(x−1) ⇒ y=−3x+1\begin{aligned}y + 2 &= -3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 1\end{aligned}

המשוואה

x=0 ⇒ y=1\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-yy

המלכודת בסוגריים: y−(−2)y - (-2) הוא y+2y + 2. מי שכותב y−2y - 2 מקבל y=−3x+5y = -3x + 5.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=(2x−1)3f(x) = (2x - 1)^3 בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=6x−5y = 6x - 5
  2. y=6x+1y = 6x + 1
  3. y=6x−6y = 6x - 6
  4. y=3x−2y = 3x - 2
Show the answer and the solution

Answer: A y=6x−5y = 6x - 5

Worked solution:

y0=f(1)=13=1\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1^3 \\ &= 1\end{aligned}

הגובה

f′(x)=3(2x−1)2⋅2f'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2

נגזרת של פונקציה מורכבת

m=f′(1)=6\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע

y−1=6(x−1) ⇒ y=6x−5\begin{aligned}y - 1 &= 6(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 5\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=6x−5y = 6x - 5. y=3x−2y = 3x - 2 שוכח את הנגזרת הפנימית 22; y=6x−6y = 6x - 6 שוכח את הגובה y0=1y_0 = 1.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשיק לגרף f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בנקודה שבה x=ax = a עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את הערך החיובי של aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

y−(a2+1)=2a(x−a)y - (a^2 + 1) = 2a(x - a)

משוואת המשיק בנקודה x=ax = a

0−(a2+1)=2a(0−a)0 - (a^2 + 1) = 2a(0 - a)

מציבים את (0,0)(0, 0)

−a2−1=−2a2 ⇒ a2=1\begin{aligned}-a^2 - 1 &= -2a^2 \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 1\end{aligned}

מסדרים

a=1a = 1

הפתרון החיובי; יש גם a=−1a = -1

הראשית אינה נקודת ההשקה — היא נקודה על המשיק. מי שמציב x=0x = 0 בנגזרת מחפש משיק בנקודה הלא נכונה.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: משיק לגרף של פונקציה אינו יכול לחתוך את הגרף בנקודה נוספת.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x3x0=1\begin{aligned}f(x) &= x^3 \\ \quad x_0 &= 1\end{aligned}

דוגמה נגדית

y=3x−2y = 3x - 2

המשיק: y0=1y_0 = 1, m=3m = 3

x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0\begin{aligned}x^3 - 3x + 2 &= (x - 1)^2(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

משווים משיק לגרף

x=−2x = -2

נקודת מפגש נוספת: (−2,−8)(-2, -8)

הטענה לא נכונה. «משיק נוגע בנקודה אחת» נכון במעגל, לא בכל גרף. משיק מוגדר על ידי השיפוע בנקודה, לא על ידי מספר נקודות המפגש.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה ff גזירה, ונקודה x0x_0 שבה f′(x0)=0f'(x_0) = 0. הוכיחו שמשוואת המשיק בנקודה זו היא y=f(x0)y = f(x_0).

  • שיפוע המשיק: m=f′(x0)m = f'(x_0)
  • f′(x0)=0f'(x_0) = 0
  • משוואת ישר דרך נקודה: y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

y=f(x0)y = f(x_0)

Show the answer and the solution
  1. m=f′(x0)m = f'(x_0) — שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה
  2. m=0m = 0 — הצבת הנתון f′(x0)=0f'(x_0) = 0
  3. y−f(x0)=0⋅(x−x0)y - f(x_0) = 0 \cdot (x - x_0) — הצבה במשוואת ישר דרך נקודה, עם y0=f(x0)y_0 = f(x_0)
  4. y−f(x0)=0y - f(x_0) = 0 — כפל באפס
  5. y=f(x0)y = f(x_0) — העברת אגף — וזהו ישר אופקי

Worked solution:

m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה

m=0m = 0

הצבת הנתון f′(x0)=0f'(x_0) = 0

y−f(x0)=0⋅(x−x0)y - f(x_0) = 0 \cdot (x - x_0)

הצבה במשוואת ישר דרך נקודה, עם y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

y−f(x0)=0y - f(x_0) = 0

כפל באפס

y=f(x0)y = f(x_0)

העברת אגף — וזהו ישר אופקי

המשיק בנקודה שבה f′(x0)=0f'(x_0) = 0 הוא ישר אופקי. הטעות היא לכתוב y=0y = 0: הגובה של המשיק הוא f(x0)f(x_0), לא אפס.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade