Set 3 — challenging · The circle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כאן מופיעות הוכחות, דוגמאות נגדיות ושרשראות של שלושה משפטים. חלק מהשאלות מערבבות שני נושאים בשרטוט אחד — זווית היקפית יחד עם משיקים, או מיתרים יחד עם שטח.

בשאלת «הוכיחו או הפריכו» נסו קודם למצוא דוגמה נגדית פשוטה — מלבן, מעוין, מקבילית. אם לא מצאתם, כנראה שהטענה נכונה, ועכשיו מחפשים את הנימוק.

Exercises

Exercise 1

במעגל שמרכזו $O$ נתונים שני מיתרים שווים $AB = CD$ . $M$ אמצע $AB$ ו- $N$ אמצע $CD$ . הוכיחו כי $OM = ON$ .

$AB = CD$
$M$ אמצע $AB$ , $N$ אמצע $CD$

$OM = ON$

Show the answer and the solution

$AM = CN$ — חצאים של מיתרים שווים
$OA = OC$ — רדיוסים באותו מעגל
$\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$ — הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר
$\triangle OMA \cong \triangle ONC$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$OM = ON$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

Worked solution:

AM = CN

חצאים של מיתרים שווים

OA = OC

רדיוסים באותו מעגל

\begin{aligned}\angle OMA &= \angle ONC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר

\triangle OMA \cong \triangle ONC

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

OM = ON

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

המלכודת: להשתמש ב- $\angle OMA = 90^\circ$ בלי נימוק. זה משפט — «הקטע מהמרכז לאמצע המיתר מאונך לו» — וצריך לכתוב אותו.

Check the answer on elev

Exercise 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והצלע $AB$ היא קוטר. נתון $\angle ADC = 124^\circ$ . חשבו את $\angle BAC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 34

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 124^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר $AB$

\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ \\ &= 34^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש $ABC$

המלכודת: להשלים את $124$ ישר ל- $180$ ולענות $56$ . זו $\angle ABC$ ; השאלה על זווית במשולש $ABC$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ , ו- $\angle ACB = 58^\circ$ . חשבו את $\angle APB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 58^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

זווית מרכזית כפולה מההיקפית

\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 116^\circ \\ &= 64^\circ\end{aligned}

במרובע $OAPB$ שתי זוויות ישרות

המלכודת: לענות $58$ או $116$ . $P$ מחוץ למעגל: הזווית שלה משלימה את המרכזית.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 13$ , $BC = 14$ , $CA = 15$ . המעגל החסום במשולש נוגע בצלע $BC$ בנקודה $D$ . חשבו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}BD &= BF \\ &= x\end{aligned}

שני משיקים מ- $B$ ( $F$ על $AB$ )

\begin{aligned}CD &= CE \\ &= 14 - x \\ \ \ AF &= AE \\ &= 13 - x\end{aligned}

שני משיקים מ- $C$ ומ- $A$

(13 - x) + (14 - x) = 15

הצלע $CA$ מורכבת מ- $AE$ ומ- $CE$

\begin{aligned}27 - 2x &= 15 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

המלכודת: לחלק את $BC$ לשניים ( $7$ ). נקודת ההשקה אינה אמצע הצלע, אלא אם המשולש שווה שוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 5

האם ייתכן מעוין החסום במעגל שאינו ריבוע?

לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן $90^\circ$
כן — כל מעוין חסום במעגל
כן — כשהזווית החדה $60^\circ$
כן — כי אלכסוני המעוין מאונכים

Show the answer and the solution

Answer: A לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן $90^\circ$

Worked solution:

\angle A = \angle C

במעוין (כמו בכל מקבילית) זוויות נגדיות שוות

\angle A + \angle C = 180^\circ

אם הוא חסום

\angle A = 90^\circ

ולכן מעוין עם זווית ישרה — ריבוע

התשובה: «לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן $90^\circ$ ». המלכודת: «כי אלכסוני המעוין מאונכים» — זו תכונה נכונה של המעוין, אבל היא לא קשורה לחסימה במעגל.

Check the answer on elev

Exercise 6

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $13$ נתון מיתר $AB = 24$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה, כך ש- $CA = CB$ . חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 216

Worked solution:

CA = CB

$C$ על האנך האמצעי של $AB$ , והאנך האמצעי של מיתר עובר דרך המרכז

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק של המיתר מהמרכז

\begin{aligned}CM &= 13 + 5 \\ &= 18\end{aligned}

הגובה: רדיוס ועוד המרחק, כי $C$ ו- $M$ משני צדי $O$

\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 18}{2} \\ &= 216\end{aligned}

המלכודת: $CM = 13 - 5 = 8$ . $C$ על הקשת הגדולה, ולכן המרכז נמצא בין $C$ לבין המיתר.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודות $A, B, C, D, E$ מחלקות את המעגל לחמש קשתות שוות, בסדר הזה. חשבו את $\angle ACB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}\overset{\frown}{AB} &= \frac{360^\circ}{5} \\ &= 72^\circ\end{aligned}

חמש קשתות שוות

\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2} \cdot 72^\circ \\ &= 36^\circ\end{aligned}

$\angle ACB$ נשענת על הקשת $AB$ שאינה מכילה את $C$

המלכודת: לחשב את הזווית של המחומש ( $108^\circ$ ). $\angle ACB$ היא זווית היקפית שנשענת על קשת אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: אם במרובע $ABCD$ מתקיים $\angle A = \angle C$ , אז $ABCD$ חסום במעגל.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}ABCD \text{ מקבילית} \\ \ \angle A &= \angle C \\ &= 70^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

\angle A + \angle C = 140^\circ \ne 180^\circ

הזוויות הנגדיות אינן משלימות

\Rightarrow

$ABCD$ אינו חסום: במרובע חסום סכום זוג נגדיות חייב להיות $180^\circ$

לא נכון. מקבילית שאינה מלבן היא דוגמה נגדית. המלכודת: לבלבל «שוות» עם «משלימות».

Check the answer on elev

Exercise 9

במעגל שמרכזו $O$ נתון $\angle AOB = 100^\circ$ . $PA$ ו- $PB$ משיקים, $C$ על הקשת הגדולה $AB$ ו- $D$ על הקשת הקטנה. סדרו את הזוויות מהקטנה לגדולה.

$\angle ACB$
$\angle ADB$
$\angle AOB$
$\angle APB$

Show the answer and the solution

Answer: $\angle ACB$ · $\angle APB$ · $\angle AOB$ · $\angle ADB$

Worked solution:

\angle ACB = 50^\circ

חצי מהמרכזית

\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

זווית בין שני משיקים

\angle AOB = 100^\circ

נתון

\begin{aligned}\angle ADB &= \tfrac{1}{2}(360^\circ - 100^\circ) \\ &= 130^\circ\end{aligned}

$D$ נשענת על הקשת הגדולה

$50 < 80 < 100 < 130$ . המלכודת: לחשוב ש- $\angle ADB$ שווה ל- $\angle ACB$ — הקודקודים על קשתות שונות.

Check the answer on elev

Exercise 10

טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ , $\angle A = \angle D = 90^\circ$ ) חוסם מעגל שרדיוסו $4$ . הבסיסים הם $AB = 12$ ו- $DC = 6$ . חשבו את השוק $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

השוק הניצבת שווה לקוטר — המרחק בין שני המשיקים המקבילים

AB + DC = AD + BC

מרובע חוסם מעגל

\begin{aligned}18 &= 8 + BC \Rightarrow BC \\ &= 10\end{aligned}

\sqrt{8^2 + (12 - 6)^2} = 10 \ \checkmark

בדיקה בפיתגורס

המלכודת: להניח $AD = 4$ . המעגל נוגע בשני הבסיסים, ולכן הגובה הוא קוטר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev