Medians and the centroid · Loci and the fourth congruence theorem · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גזרו משולש מקרטון ונסו לאזן אותו על קצה של עיפרון. יש נקודה אחת בדיוק שבה הוא לא נופל לאף צד. מסתבר שהנקודה הזאת נמצאת על שלושת התיכונים של המשולש — ולכן קוראים לה מרכז הכובד.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

שלושת התיכונים AD, BE, CF נפגשים בנקודה G — מרכז הכובד. שימו לב: G קרובה יותר לאמצעי הצלעות מאשר לקודקודים.

לפי השרטוט, איזה חלק של התיכון $AD$ ארוך יותר: $AG$ או $GD$ ? נחשו פי כמה.

Show the answer and the solution

$AG$ ארוך יותר — פי 2 מ- $GD$ . זה בדיוק המשפט של היחידה, ועכשיו נוכיח אותו.

הכלי להוכחה הוא קטע האמצעים: קטע שמחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. הזיזו את הקודקוד וראו שזה נשמר בכל משולש:

Interactive activity

התיכונים נחתכים ביחס 2:1

\begin{aligned}BE \\ CF \text{ תיכונים} \\ \quad BE \cap CF &= G\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $M$ אמצע $BG$ ו- $N$ אמצע $CG$ — שתי נקודות עזר שנוסיף לשרטוט.

קטע אמצעים ב-ABC

\begin{aligned}FE \parallel BC \\ \quad FE &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

$F$ ו- $E$ אמצעי $AB$ ו- $AC$ .

קטע אמצעים ב-GBC

\begin{aligned}MN \parallel BC \\ \quad MN &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

$M$ ו- $N$ אמצעי $GB$ ו- $GC$ .

מקבילית

\begin{aligned}FE \parallel MN \\ \quad FE &= MN\end{aligned}

במרובע $FENM$ זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות — הוא מקבילית.

אלכסונים

\begin{aligned}GE &= GM \\ \quad GF &= GN\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ו- $G$ היא נקודת החיתוך שלהם.

שלושה חלקים

\begin{aligned}BM &= MG \\ &= GE \Rightarrow BG \\ &= 2 \cdot GE\end{aligned}

התיכון $BE$ מחולק לשלושה חלקים שווים. באותו אופן $CG = 2 \cdot GF$ .

התיכון השלישי

\begin{aligned}AD \cap BE &= G' \\ \ BG' &= 2 \cdot G'E \Rightarrow G' \\ &= G\end{aligned}

אותו טיעון על $AD$ ו- $BE$ נותן נקודה שמחלקת את $BE$ ביחס $2:1$ — ויש רק נקודה אחת כזאת.

שני קטעי אמצעים בני אותו אורך, ומקבילית אחת — וזה כל המשפט.

Do the activity on elev

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} AD \\ \qquad GD &= \frac{1}{3} AD \\ \qquad AG &= 2 \cdot GD\end{aligned}

החלק הארוך תמיד ליד הקודקוד.

התיכון $BE$ שווה ל- $27$ . מה אורכי $BG$ ו- $GE$ ?

Show the answer and the solution

$BG = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ ו- $GE = 9$ . בדיקה: $18 = 2 \cdot 9$ ו- $18 + 9 = 27$ .

מרכז הכובד במערכת צירים

אם הקודקודים נתונים בשיעורים, אפשר למצוא את $D$ כאמצע $BC$ ולהתקדם $\frac{2}{3}$ מהדרך מ- $A$ ל- $D$ . החישוב מתקצר לממוצע של שלושת הקודקודים:

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \ \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

שתי דרכים, אותה נקודה

נתונים $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(0,9)$ . מצאו את מרכז הכובד $G$ .

\begin{aligned}D &= \left( \frac{6+0}{2}, \frac{0+9}{2} \right) \\ &= (3, 4.5)\end{aligned}

אמצע $BC$

\begin{aligned}G &= A + \tfrac{2}{3}(D - A) \\ &= \left( 2, 3 \right)\end{aligned}

שני שלישים מהדרך מ- $A$ ל- $D$

\begin{aligned}G &= \left( \frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+9}{3} \right) \\ &= (2, 3)\end{aligned}

בדיקה בנוסחת הממוצע

במשולש ישר זווית היתר $AB = 30$ ו- $M$ אמצעו. מה המרחק של מרכז הכובד מקודקוד הזווית הישרה $C$ ?

Show the answer and the solution

התיכון ליתר $CM = \frac{30}{2} = 15$ , ומרכז הכובד עליו: $CG = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ .

היחס נכון, אבל הפוך — הטעות השכיחה ביותר.

GD = 2 \cdot AG

AG = 2 \cdot GD

מרכז הכובד קרוב לצלע, לא לקודקוד. החלק הכפול הוא זה שיוצא מהקודקוד.

AG = \frac{1}{2} AD

AG = \frac{2}{3} AD

היחס $2:1$ מחלק את התיכון לשלושה חלקים, לא לשניים.

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{2}, \frac{y_A + y_B + y_C}{2} \right)

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

שלוש נקודות — מחלקים ב-3. מחלקים ב-2 רק באמצע של קטע.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה ל- $15$ , ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 15 \\ &= 10\end{aligned}

התיכונים נחתכים ביחס $2:1$ מהקודקוד

$AG = 10$ ו- $GD = 5$ . המלכודת: $AG = 5$ — להפוך את היחס.

Check the answer on elev

Exercise 2

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , ו- $BE$ תיכון. נתון $GE = 4$ . מצאו את אורך התיכון $BE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}BG &= 2 \cdot GE \\ &= 8\end{aligned}

החלק שליד הקודקוד כפול

\begin{aligned}BE &= 8 + 4 \\ &= 12\end{aligned}

$BE = 12$ . המלכודת: $BE = 8$ — זה רק $BG$ , והתיכון כולו ארוך יותר.

Check the answer on elev

Exercise 3

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , $BE$ תיכון ו- $BG = 14$ .

$GE =$ ____, ואורך התיכון $BE =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $GE =$ 7, ואורך התיכון $BE =$ 21

Worked solution:

\begin{aligned}GE &= \frac{BG}{2} \\ &= 7\end{aligned}

היחס $BG : GE = 2:1$

\begin{aligned}BE &= 14 + 7 \\ &= 21\end{aligned}

$GE = 7$ , $BE = 21$ . המלכודת: $GE = 28$ — להכפיל במקום לחלק.

Check the answer on elev

Exercise 4

קודקודי המשולש הם $A(1,2)$ , $B(7,4)$ ו- $C(4,9)$ . מהם שיעורי מרכז הכובד?

$(12, 15)$
$(4, 5)$
$(5.5, 6.5)$
$(6, 7.5)$

Show the answer and the solution

Answer: B $(4, 5)$

Worked solution:

\begin{aligned}x_G &= \frac{1 + 7 + 4}{3} \\ &= 4\end{aligned}

ממוצע שיעורי $x$

\begin{aligned}y_G &= \frac{2 + 4 + 9}{3} \\ &= 5\end{aligned}

ממוצע שיעורי $y$

התשובה: $(4, 5)$ . $(12,15)$ הוא סכום בלי חלוקה, $(6, 7.5)$ חלוקה ב-2, ו- $(5.5, 6.5)$ הוא אמצע $BC$ — נקודה על התיכון, לא מרכז הכובד.

Check the answer on elev

Exercise 5

נכון או לא נכון: מרכז הכובד של משולש נמצא תמיד בתוך המשולש — גם במשולש קהה זווית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

G \in AD

התיכון מחבר קודקוד עם נקודה על הצלע שמולו, ולכן כולו בתוך המשולש

\Rightarrow

נקודת המפגש של קטעים שבתוך המשולש נמצאת בתוכו

נכון. בניגוד למרכז המעגל החוסם ולנקודת מפגש הגבהים, מרכז הכובד לא יוצא מהמשולש לעולם.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ התיכונים $BE$ ו- $CF$ נחתכים בנקודה $G$ . $M$ אמצע $BG$ ו- $N$ אמצע $CG$ . הוכיחו כי $FENM$ מקבילית.

$F$ אמצע $AB$ , $E$ אמצע $AC$
$M$ אמצע $BG$ , $N$ אמצע $CG$

$FENM$ מקבילית

Show the answer and the solution

$FE \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$FE = \frac{1}{2}BC$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$MN \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$MN = \frac{1}{2}BC$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$FE = MN$ — שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה
$FE \parallel MN$ — שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה
$FENM$ מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית

Worked solution:

FE \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

FE = \frac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית

MN \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

MN = \frac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית

FE = MN

שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה

FE \parallel MN

שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה

\Rightarrow

$FENM$ מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית

זה הלב של הוכחת היחס $2:1$ . המלכודת: לטעון $FE = MN$ ישירות — צריך את $BC$ כקטע שלישי שמשווה ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $G$ מרכז הכובד. מצאו את $CG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 6.67

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 16^2} \\ &= 20\end{aligned}

היתר

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 10\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}CG &= \frac{2}{3} \cdot 10 \\ &= \frac{20}{3} \approx 6.67\end{aligned}

מרכז הכובד על התיכון $CM$

$CG = \frac{20}{3} \approx 6.67$ . המלכודת: לחשב $\frac{2}{3}$ מהיתר — $G$ נמצאת על התיכון, לא על היתר.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ התיכון $BE$ שווה ל- $18$ , ו- $G$ מרכז הכובד. איזו טענה נכונה?

$BG = 6$ ו- $GE = 12$
$BG = 9$ ו- $GE = 9$
$BG = 13.5$ ו- $GE = 4.5$
$BG = 12$ ו- $GE = 6$

Show the answer and the solution

Answer: D $BG = 12$ ו- $GE = 6$

Worked solution:

\begin{aligned}BG &= \frac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}GE &= \frac{1}{3} \cdot 18 \\ &= 6\end{aligned}

התשובה: « $BG = 12$ ו- $GE = 6$ ». המלכודות: $9$ ו- $9$ הוא אמצע התיכון, $6$ ו- $12$ הוא היחס ההפוך, ו- $13.5$ ו- $4.5$ הוא יחס $3:1$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ התיכון $BE = 24$ ו- $G$ מרכז הכובד. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

BE = 24

\begin{aligned}BG &= \frac{2}{3} \cdot 24 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}GE &= \frac{1}{3} \cdot 24 \\ &= 8\end{aligned}

BG : GE = 1 : 2

Show the answer and the solution

Answer: $BG : GE = 1 : 2$ → $BG : GE = 2 : 1$

Worked solution:

16 : 8 = 2 : 1

היחס נקרא מהקודקוד אל הצלע

החישובים נכונים, אבל היחס נכתב הפוך. המלכודת: לכתוב את היחס לפי סדר הגדלים ולא לפי סדר הקטעים.

Check the answer on elev

Exercise 10

שני קודקודים של משולש הם $A(0,0)$ ו- $B(4,2)$ , ומרכז הכובד שלו הוא $G(3,4)$ . מצאו את הקודקוד השלישי $C$ .

$C =$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $C =$ ( 5 , 10 )

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{0 + 4 + x_C}{3} &= 3 \Rightarrow x_C \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{0 + 2 + y_C}{3} &= 4 \Rightarrow y_C \\ &= 10\end{aligned}

$C(5,10)$ . המלכודת: $\frac{0 + 4 + x_C}{2} = 3$ — מחלקים ב-3 גם כשהנעלם בפנים.

Check the answer on elev

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

מרכז הכובד במערכת צירים

Exercises

Keep practising on elev