Solving together · Loci and the fourth congruence theorem · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל נושא של הפרק: מקום גאומטרי, מרכז המעגל החוסם, מרכז הכובד, משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך. בשאלות עם בחירה אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה, ואפשר לנסות שוב.

בשאלות הוכחה כתבו לעצמכם קודם טענה ונימוק על דף, ורק אחר כך לחצו. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם» — פתרו אותה לבד לפני שפותחים את התשובה, ובסוף היחידה יש תרגיל תאום לכל אחת.

1. מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

Interactive activity

שאלה 1

נתונות שתי נקודות $A$ ו- $B$ , ו- $AB = 24$ . (א) הוכיחו כי המרכז של כל מעגל שעובר דרך $A$ ודרך $B$ נמצא על האנך האמצעי של $AB$ . (ב) מעגל שרדיוסו $13$ עובר דרך $A$ ו- $B$ . מצאו את המרחק של מרכזו מהישר $AB$ . (ג) כמה מעגלים כאלה יש?

סעיף (א): מה ידוע על המרכז $O$ של מעגל כזה?

$OA = OB$ , כי שניהם רדיוסים.

Show the answer and the solution

כן. ומכאן כיוון (ב) של המקום הגאומטרי: נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

$O$ הוא אמצע $AB$ .

Show the answer and the solution

רק כש- $AB$ קוטר. ברוב המעגלים $O$ נמצא מעל או מתחת לקטע.

$OA \perp AB$ .

Show the answer and the solution

אין שום נתון על זווית ב- $A$ .

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= R\end{aligned}

$O$ על האנך האמצעי של $AB$ : נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

סעיף (ב): באיזה משולש מחשבים את המרחק $OM$ ?

במשולש $OMA$ : $OA = 13$ יתר, $AM = 12$ ניצב.

Show the answer and the solution

כן. $M$ אמצע $AB$ והזווית ב- $M$ ישרה.

במשולש $OMA$ עם $AM = 24$ .

Show the answer and the solution

$M$ הוא אמצע הקטע — $AM = 12$ .

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק של מרכז המעגל מהקטע הוא $5$ .

סעיף (ג): כמה מעגלים ברדיוס $13$ עוברים דרך $A$ ו- $B$ ?

שניים: המרכז במרחק $5$ מעל $AB$ או $5$ מתחתיו.

Show the answer and the solution

כן. על האנך האמצעי יש שתי נקודות במרחק $5$ מ- $M$ — אחת מכל צד.

אחד בלבד.

Show the answer and the solution

שכחתם את הצד השני של הקטע.

אינסוף.

Show the answer and the solution

אינסוף מעגלים עוברים דרך $A$ ו- $B$ , אבל רדיוס קבוע משאיר רק שניים.

\begin{aligned}O_1M &= O_2M \\ &= 5\end{aligned}

שני מעגלים, סימטריים ביחס לישר $AB$ .

Show the answer and the solution

(א) $OA = OB$ , ולכן $O$ על האנך האמצעי. (ב) $5$ . (ג) שני מעגלים. המלכודת: לקחת $AM = 24$ במקום $12$ .

Do the activity on elev

תורכם: $AB = 16$ , ומעגל שרדיוסו $10$ עובר דרך $A$ ו- $B$ . מה המרחק של מרכזו מ- $AB$ ?

Show the answer and the solution

$AM = 8$ , ולכן $OM = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ .

2. מרכז המעגל החוסם משולש שווה שוקיים

Interactive activity

שאלה 2

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 13 \\ \quad BC &= 10 \\ \quad R &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מרכז המעגל החוסם נמצא על האנך האמצעי של $BC$ — ובמשולש שווה שוקיים זה הגובה $AD$ .

גובה

\begin{aligned}AD &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

$BD = 5$ , חצי הבסיס.

מיקום O

\begin{aligned}O \in AD \\ \quad OA &= OB \\ &= R \\ \quad OD &= 12 - R\end{aligned}

המשולש חד זווית, ולכן $O$ בין $A$ ל- $D$ .

פיתגורס

R^2 = 5^2 + (12 - R)^2

במשולש $ODB$ , הזווית ב- $D$ ישרה.

פתרון

\begin{aligned}0 &= 25 + 144 - 24R \Rightarrow R \\ &= \frac{169}{24} \approx 7.04\end{aligned}

ה- $R^2$ מצטמצם משני האגפים.

המלכודת: להניח ש- $O$ באמצע הגובה, או ש- $O$ הוא מרכז הכובד. שלוש נקודות שונות על אותו גובה.

Do the activity on elev

תורכם: במשולש $AB = AC = 5$ ו- $BC = 6$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

Show the answer and the solution

$AD = 4$ . $R^2 = 3^2 + (4 - R)^2 \Rightarrow 0 = 9 + 16 - 8R \Rightarrow R = \frac{25}{8} = 3.125$ .

3. שני תיכונים שווים

Interactive activity

שאלה 3

במשולש $ABC$ התיכונים $AD$ (לצלע $BC$ ) ו- $BE$ (לצלע $AC$ ) שווים זה לזה, ונחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו כי $CA = CB$ .

מה אפשר להסיק על $AG$ ו- $BG$ ?

$AG = BG$ , כי כל אחד שני שלישים מתיכונים שווים.

Show the answer and the solution

כן. התיכונים נחתכים ביחס $2:1$ , ולכן גם $GD = GE$ .

$AG = GD$ .

Show the answer and the solution

לא — $AG = 2 \cdot GD$ .

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3}AD \\ &= \tfrac{2}{3}BE \\ &= BG \\ \quad GD &= GE\end{aligned}

ארבעה קטעים, שני זוגות שווים.

אילו שני משולשים כדאי להוכיח שהם חופפים?

$\triangle AGE$ ו- $\triangle BGD$ , בצ.ז.צ עם זוויות קודקודיות.

Show the answer and the solution

כן. $AG = BG$ , $GE = GD$ , והזוויות $\angle AGE = \angle BGD$ קודקודיות — כלואות בין הצלעות.

$\triangle ABD$ ו- $\triangle BAE$ בצ.צ.צ.

Show the answer and the solution

לא ידועים $BD$ ו- $AE$ — הם בדיוק מה שנרצה להשוות.

\triangle AGE \cong \triangle BGD \ (\text{צ.ז.צ}) \Rightarrow AE = BD

צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

איך מגיעים מ- $AE = BD$ ל- $CA = CB$ ?

$E$ ו- $D$ אמצעים, ולכן $CA = 2AE = 2BD = CB$ .

Show the answer and the solution

כן. כפולות של קטעים שווים שוות.

המשולש שווה שוקיים כי יש בו שני תיכונים.

Show the answer and the solution

בכל משולש יש שלושה תיכונים. השוויון שלהם הוא העניין.

\begin{aligned}CA &= 2 \cdot AE \\ &= 2 \cdot BD \\ &= CB\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים, והבסיס שלו $AB$ .

Show the answer and the solution

יחס $2:1$ , חפיפה בצ.ז.צ עם זוויות קודקודיות, והכפלה. המלכודת: לחפש חפיפה בין המשולשים הגדולים, שבהם חסרה צלע.

Do the activity on elev

תורכם: בשאלה 3 נתון $AD = BE = 18$ . מצאו את $AG$ , $GD$ ו- $GE$ .

Show the answer and the solution

$AG = BG = 12$ , ו- $GD = GE = 6$ .

4. אנכים שווים מאמצע הבסיס

Interactive activity

שאלה 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ היא אמצע $BC$ . $DE \perp AB$ ו- $DF \perp AC$ , ו- $DE = DF$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

אילו משולשים משווים?

$\triangle BED$ ו- $\triangle CFD$ .

Show the answer and the solution

כן. בכל אחד מהם יודעים יתר ( $BD = CD$ ), ניצב ( $DE = DF$ ) וזווית ישרה.

$\triangle AED$ ו- $\triangle AFD$ .

Show the answer and the solution

גם הם חופפים, אבל הם נותנים שוויון זוויות ב- $A$ ולא עוזרים להשוות את $B$ ל- $C$ .

\begin{aligned}BD &= CD \\ \quad DE &= DF \\ \quad \angle BED &= \angle CFD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי צלעות וזווית בכל משולש.

איזה משפט חפיפה מתאים?

צ.צ.ז: הזווית הישרה מול היתר, הצלע הגדולה.

Show the answer and the solution

כן. $BD$ ו- $CD$ הם יתרים — הצלעות הגדולות — והזווית הישרה מולן.

צ.ז.צ.

Show the answer and the solution

הזווית הישרה אינה בין $BD$ ל- $DE$ : היא ב- $E$ , מול $BD$ .

\triangle BED \cong \triangle CFD \ (\text{צ.צ.ז})

שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן.

איך מסיימים?

$\angle B = \angle C$ , ומול זוויות שוות צלעות שוות.

Show the answer and the solution

כן. $AB$ מול $\angle C$ ו- $AC$ מול $\angle B$ .

$BE = CF$ , ולכן $AB = AC$ .

Show the answer and the solution

$BE = CF$ נכון, אבל $AE$ ו- $AF$ עוד לא ידועים — אי אפשר לחבר.

\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים.

Show the answer and the solution

חפיפה לפי צ.צ.ז בין $BED$ ל- $CFD$ , ואחריה זוויות הבסיס. המלכודת: לכתוב צ.ז.צ כשהזווית אינה כלואה.

Do the activity on elev

תורכם: למה בשאלה 4 אי אפשר להשתמש ב-ז.צ.ז?

Show the answer and the solution

כי ידועה רק זווית אחת בכל משולש, הזווית הישרה. ז.צ.ז דורש שתי זוויות שוות והצלע שביניהן.

5. מרובע עם שני משולשים ישרי זווית

Interactive activity

שאלה 5

\begin{aligned}AB &= 15 \\ \ BC &= 20 \\ \ CD &= 24 \\ \ DA &= 7 \\ \ AC &= 25\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בכל מרובע האלכסון $AC$ מחלק אותו לשני משולשים — נבדוק כל אחד בנפרד.

משולש ABC

\begin{aligned}15^2 + 20^2 &= 225 + 400 \\ &= 625 \\ &= 25^2\end{aligned}

לפי משפט פיתגורס ההפוך, $\angle B = 90^\circ$ .

משולש ADC

\begin{aligned}7^2 + 24^2 &= 49 + 576 \\ &= 625 \\ &= 25^2\end{aligned}

גם $\angle D = 90^\circ$ .

שטח

\begin{aligned}S &= \frac{15 \cdot 20}{2} + \frac{7 \cdot 24}{2} \\ &= 150 + 84 \\ &= 234\end{aligned}

בכל משולש ישר זווית: מכפלת הניצבים חלקי 2.

מעגל

\begin{aligned}MB &= MD \\ &= MA \\ &= MC \\ &= 12.5\end{aligned}

$M$ אמצע $AC$ . התיכון ליתר שווה למחצית היתר בשני המשולשים — ארבעת הקודקודים על מעגל אחד שמרכזו $M$ .

המלכודת: להניח שהמרובע מלבן. הזוויות ב- $B$ וב- $D$ ישרות, אבל ב- $A$ וב- $C$ לא.

Do the activity on elev

תורכם: למה הנקודות $B$ ו- $D$ שבשאלה 5 נמצאות על מעגל שקוטרו $AC$ ?

Show the answer and the solution

בכל אחד מהמשולשים $ABC$ ו- $ADC$ הזווית שמול $AC$ ישרה. מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר, ולכן שני המעגלים החוסמים הם אותו מעגל: מרכזו $M$ ורדיוסו $12.5$ .

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

Exercises

Exercise 1

נתון קטע $AB = 30$ . מעגל שרדיוסו $17$ עובר דרך $A$ ודרך $B$ , ו- $O$ מרכזו. מצאו את המרחק של $O$ מהישר $AB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

OA = OB

רדיוסים, ולכן $O$ על האנך האמצעי של $AB$

AM = 15

$M$ אמצע הקטע

\begin{aligned}OM &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

$OM = 8$ . המלכודת: $AM = 30$ — המרכז מעל האמצע של הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 17$ ו- $BC = 16$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 9.63

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{17^2 - 8^2} \\ &= 15\end{aligned}

הגובה לבסיס, שהוא גם האנך האמצעי של $BC$

R^2 = 8^2 + (15 - R)^2

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}0 &= 64 + 225 - 30R \Rightarrow R \\ &= \frac{289}{30} \approx 9.63\end{aligned}

$R = \frac{289}{30} \approx 9.63$ . המלכודת: $R = 7.5$ , חצי הגובה — $O$ אינו באמצע $AD$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ התיכונים $BE$ (לצלע $AC$ ) ו- $CF$ (לצלע $AB$ ) שווים, ונחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

$BE$ ו- $CF$ תיכונים
$BE = CF$

$AB = AC$

Show the answer and the solution

$BG = CG$ — מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים
$GF = GE$ — מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים
$\angle BGF = \angle CGE$ — זוויות קודקודיות
$\triangle BGF \cong \triangle CGE$ — צ.ז.צ
$BF = CE$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
$AB = AC$ — $F$ ו- $E$ אמצעי הצלעות: $AB = 2BF$ ו- $AC = 2CE$

Worked solution:

BG = CG

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים

GF = GE

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים

\angle BGF = \angle CGE

זוויות קודקודיות

\triangle BGF \cong \triangle CGE

צ.ז.צ

BF = CE

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

AB = AC

$F$ ו- $E$ אמצעי הצלעות: $AB = 2BF$ ו- $AC = 2CE$

המלכודת: לחפוף את $\triangle FBC$ ו- $\triangle ECB$ — שם יש שתי צלעות שוות, אבל אין זווית ידועה ביניהן.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: אם $D$ היא נקודה כלשהי על הצלע $BC$ של המשולש $ABC$ , $DE \perp AB$ , $DF \perp AC$ ו- $DE = DF$ , אז $AB = AC$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

DE = DF

$D$ על חוצה הזווית $A$ — כיוון (ב) של חוצה הזווית

\Rightarrow

בכל משולש, גם בלא שווה שוקיים, חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ ונותן נקודה כזאת

BD \ne CD

בשאלה 4 היה נתון ש- $D$ אמצע $BC$ — זה מה שהבטיח את החפיפה

לא נכון. דוגמה נגדית: הנקודה שבה חוצה הזווית $A$ פוגש את $BC$ במשולש שאינו שווה שוקיים. המלכודת: לשכוח שבשאלה 4 הנתון «אמצע» הוא שעשה את כל העבודה.

Check the answer on elev

Exercise 5

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 33$ , $BC = 56$ , $CD = 25$ , $DA = 60$ והאלכסון $AC = 65$ . מצאו את שטח המרובע.

Show the answer and the solution

Answer: 1674

Worked solution:

\begin{aligned}33^2 + 56^2 &= 1089 + 3136 \\ &= 4225 \\ &= 65^2\end{aligned}

$\angle B = 90^\circ$ לפי פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}25^2 + 60^2 &= 625 + 3600 \\ &= 4225 \\ &= 65^2\end{aligned}

$\angle D = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{33 \cdot 56}{2} + \frac{25 \cdot 60}{2} \\ &= 924 + 750 \\ &= 1674\end{aligned}

שני משולשים ישרי זווית

$S = 1674$ . המלכודת: לחשב את השטח בלי לבדוק קודם שהזוויות ישרות — בלי פיתגורס ההפוך אין רשות לכפול ניצבים.

Check the answer on elev

1. מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

2. מרכז המעגל החוסם משולש שווה שוקיים

3. שני תיכונים שווים

4. אנכים שווים מאמצע הבסיס

5. מרובע עם שני משולשים ישרי זווית

Exercises

Keep practising on elev