Set 2 — medium · Loci and the fourth congruence theorem · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 2 מחברת שני כלים בכל תרגיל: מקום גאומטרי ופיתגורס, מרכז המעגל החוסם ומשוואה, מרכז הכובד והתיכון ליתר, ועוד הוכחה אחת מלאה של חוצה הזווית.

לפני שמחשבים, כתבו איזה משפט אתם עומדים להפעיל. שמונה נכונות ומעלה — עברו לסדרה 3.

Exercises

Exercise 1

הנקודה $P$ על חוצה הזווית $BAC$ . $PD \perp AB$ ו- $PE \perp AC$ . נתון $AD = 15$ ו- $AP = 17$ . מצאו את $PE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}PD &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש $APD$

\begin{aligned}PE &= PD \\ &= 8\end{aligned}

נקודה על חוצה זווית שווה מרחק משוקי הזווית

$PE = 8$ . המלכודת: לחשב את $AE$ במקום את $PE$ — $AE = 15$ , ו- $PE$ הוא המרחק מהשוק.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 25$ ו- $BC = 14$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 13.02

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= \sqrt{25^2 - 7^2} \\ &= \sqrt{576} \\ &= 24\end{aligned}

הגובה לבסיס

R^2 = 7^2 + (24 - R)^2

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}0 &= 49 + 576 - 48R \Rightarrow R \\ &= \frac{625}{48} \approx 13.02\end{aligned}

$R \approx 13.02$ . המלכודת: $R = 12$ , חצי הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 3

אורכי צלעות המשולש $ABC$ הם $AB = 9$ , $BC = 10$ ו- $CA = 17$ , ושטחו $36$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}P &= 9 + 10 + 17 \\ &= 36\end{aligned}

היקף

\begin{aligned}r &= \frac{2 \cdot 36}{36} \\ &= 2\end{aligned}

$r = \frac{2S}{P}$

$r = 2$ . המלכודת: לבלבל בין השטח להיקף כשהם יוצאים אותו מספר — כאן הכפל ב-2 הוא ההבדל.

Check the answer on elev

Exercise 4

קודקודי המשולש הם $A(-2,1)$ , $B(4,-3)$ ו- $C(1,8)$ . מהו מרכז הכובד?

$(3, 6)$
$(2.5, 2.5)$
$(1.5, 3)$
$(1, 2)$

Show the answer and the solution

Answer: D $(1, 2)$

Worked solution:

\begin{aligned}x_G &= \frac{-2 + 4 + 1}{3} \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}y_G &= \frac{1 - 3 + 8}{3} \\ &= 2\end{aligned}

התשובה: $(1, 2)$ . $(3,6)$ הוא הסכום, $(1.5, 3)$ חלוקה ב-2, ו- $(2.5, 2.5)$ אמצע $BC$ . המלכודת: לאבד את הסימן של $-3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הנקודה $P$ על חוצה הזווית $BAC$ . $PD \perp AB$ ו- $PE \perp AC$ . הוכיחו כי $PD = PE$ .

$\angle DAP = \angle EAP$
$PD \perp AB$ , $PE \perp AC$

$PD = PE$

Show the answer and the solution

$\angle DAP = \angle EAP$ — נתון — $AP$ חוצה זווית
$\angle ADP = \angle AEP = 90^\circ$ — נתון — אנכים
$\angle APD = \angle APE$ — סכום הזוויות במשולש $180^\circ$
$AP = AP$ — צלע משותפת
$\triangle ADP \cong \triangle AEP$ — ז.צ.ז
$PD = PE$ — במשולשים חופפים מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

Worked solution:

\angle DAP = \angle EAP

נתון — $AP$ חוצה זווית

\begin{aligned}\angle ADP &= \angle AEP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון — אנכים

\angle APD = \angle APE

סכום הזוויות במשולש $180^\circ$

AP = AP

צלע משותפת

\triangle ADP \cong \triangle AEP

ז.צ.ז

PD = PE

במשולשים חופפים מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

זה כיוון (א) של חוצה הזווית. המלכודת: לכתוב ז.צ.ז עם הזווית הישרה — היא אינה ליד $AP$ ; לכן מחשבים קודם את הזווית ב- $P$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

האם ייתכן משולש שבו נקודת המפגש של הגבהים היא אחד הקודקודים?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\angle C = 90^\circ

במשולש ישר זווית

AC \perp BC

כל ניצב הוא הגובה לניצב האחר, ושניהם יוצאים מ- $C$

כן: בכל משולש ישר זווית הגבהים נפגשים בקודקוד הזווית הישרה.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . $G$ מרכז הכובד. מצאו את $CG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 3.33

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 10 \\ \quad CM &= 5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}CG &= \frac{2}{3} \cdot 5 \\ &= \frac{10}{3} \approx 3.33\end{aligned}

$CG \approx 3.33$ . המלכודת: $\frac{1}{3} \cdot 5$ — מ- $C$ נמדד החלק הגדול.

Check the answer on elev

Exercise 8

מיינו את השלשות: אילו יכולות להיות אורכי הצלעות של $\triangle ABC$ שבו $\angle C = 90^\circ$ ?

ישר זווית
לא ישר זווית

$1, 1, \sqrt{2}$
$10, 10, 15$
$11, 60, 61$
$12, 13, 17$
$2, \sqrt{5}, 3$
$20, 21, 29$
$6, 8, 11$

Show the answer and the solution

Answer: $20, 21, 29$ — ישר זווית · $11, 60, 61$ — ישר זווית · $2, \sqrt{5}, 3$ — ישר זווית · $1, 1, \sqrt{2}$ — ישר זווית · $12, 13, 17$ — לא ישר זווית · $6, 8, 11$ — לא ישר זווית · $10, 10, 15$ — לא ישר זווית

Worked solution:

\begin{aligned}4 + 5 &= 9 \\ \quad 1 + 1 &= 2\end{aligned}

גם שורשים יכולים לתת משולש ישר זווית

144 + 169 = 313 \ne 289

ב- $12, 13, 17$ לא מתקיים

בכל שלשה בודקים את הצלע הגדולה בתפקיד היתר. המלכודת: לפסול שלשה רק כי יש בה שורש.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 10$ ו- $BC = 24$ . תלמיד חישב את רדיוס המעגל החוסם. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AC^2 &= 10^2 + 24^2 \\ &= 676\end{aligned}

AC = 26

O \text{ אמצע } AC

\begin{aligned}R &= AC \\ &= 26\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $R = AC = 26$ → $R = \frac{AC}{2} = 13$

Worked solution:

\begin{aligned}R &= OA \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

המרכז באמצע היתר, והרדיוס הוא חצי ממנו

$R = 13$ . המלכודת: לזהות נכון את המרכז ואז לקחת את כל היתר כרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולשים $ABC$ ו- $DEF$ נתון $AB = DE = 11$ , $BC = EF = 7$ ו- $\angle A = \angle D$ . מה אפשר להסיק?

המשולשים בוודאות אינם חופפים
המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ
לא ניתן לקבוע אם המשולשים חופפים
המשולשים חופפים לפי צ.צ.ז

Show the answer and the solution

Answer: C לא ניתן לקבוע אם המשולשים חופפים

Worked solution:

\angle A \text{ מול } BC = 7

הזווית נמצאת מול הצלע הקטנה

7 < 11

צ.צ.ז דורש את הזווית מול הגדולה — לא חל

התשובה: «לא ניתן לקבוע». ייתכן שהם חופפים וייתכן שלא. המלכודת: «בוודאות אינם חופפים» — אי אפשר להסיק גם את זה.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev