Closed and open intervals

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו חיפשנו נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. אבל כשהבעיה מוגבלת לקטע סגור — זמן מ-00 עד 55 שניות, נקודה שחייבת להישאר בין שני קצוות — הערך הגדול ביותר יכול לשבת בקצה, במקום שבו הנגזרת בכלל לא מתאפסת.

תמונה: מקסימום מקומי שמפסיד לקצה

זה הגרף של f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 בקטע [0,5][0, 5]. ב-BB יש מקסימום מקומי: f(1)=5f(1) = 5. אבל בקצה הימני DD הגרף ממשיך לטפס עד f(5)=21f(5) = 21. הערך הגדול ביותר בקטע — המקסימום המוחלט — נמצא ב-DD.

לפי הגרף: היכן מתקבל הערך הקטן ביותר של ff בקטע?

Show the answer and the solution

בשתי נקודות: בקצה AA (f(0)=1f(0) = 1) ובמינימום המקומי CC (f(3)=1f(3) = 1). ערך קיצון מוחלט יכול להתקבל ביותר מנקודה אחת.

הכלל: רשימת מועמדים

[a,b][a, b]

קטע סגור. המועמדים: הנקודות שבהן f′(x)=0f'(x) = 0 בתוך הקטע, ושני הקצוות aa ו-bb. מציבים את כולם ב-ff ובוחרים את הגדול והקטן.

(a,b)(a, b)

קטע פתוח. הקצוות אינם שייכים לקטע. אם יש בו נקודת קיצון מקומית אחת בלבד — היא גם הקיצון המוחלט. אם אין — ייתכן שאין מקסימום בכלל.

ואם הקטע היה פתוח, (−1,3)(-1, 3) — האם היה ל-ff מקסימום?

Show the answer and the solution

לא. הערכים מתקרבים ל-1111 כש-xx מתקרב ל-−1-1, אבל −1-1 אינו בקטע, וכל ערך שנבחר קרוב ממנו נותן ערך קטן מ-1111. יש מינימום (−16-16), אין מקסימום.

פיזיקה: גובה ומהירות

בבעיות תנועה s(t)s(t) הוא המיקום, v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) המהירות. מקום מקסימלי מחפשים ב-s′(t)=0s'(t) = 0. מהירות מקסימלית היא קיצון של vv עצמה — ולכן גוזרים את vv.

כדור שנזרק כלפי מעלה

גובה הכדור (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=20t−5t2h(t) = 20t - 5t^2, עבור 0≤t≤40 \le t \le 4. מהו הגובה המקסימלי?

h′(t)=20−10t=0 ⇒ t=2\begin{aligned}h'(t) &= 20 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה, בתוך הקטע

h(0)=0h(2)=20h(4)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(2) &= 20 \\ \quad h(4) &= 0\end{aligned}

המועמדים: t=2t = 2 ושני הקצוות

hmax=20h_{max} = 20

אחרי 22 שניות, בגובה 2020 מ׳

כתבו את רשימת המועמדים בטבלה קטנה — עמודה ל-xx ועמודה ל-f(x)f(x). הבודק רואה מיד שבדקתם את הקצוות, ואתם רואים מיד מי הגדול.

הטעויות שחוזרות בקטע סגור.

fmax=f(1)=5\begin{aligned}f_{max} &= f(1) \\ &= 5\end{aligned}
fmax=f(5)=21\begin{aligned}f_{max} &= f(5) \\ &= 21\end{aligned}

מקסימום מקומי אינו בהכרח הערך הגדול ביותר בקטע. בלי להציב את הקצוות — התשובה לא מלאה.

vmax: s′(t)=0v_{max} : \ s'(t) = 0
vmax: v′(t)=0v_{max} : \ v'(t) = 0

s′(t)=0s'(t) = 0 הוא רגע שבו הגוף עומד. כדי למקסם מהירות גוזרים את המהירות.

x=−2 ⇒ f(−2)=16\begin{aligned}x &= -2 \ \Rightarrow \ f(-2) \\ &= 16\end{aligned}
−2∉[−1,3]-2 \notin [-1, 3]

נקודה חשודה מחוץ לקטע אינה מועמדת, גם אם הערך בה גדול.

Exercises

Exercise 1

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,2][0, 2].

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=3x2−3=0 ⇒ x=±1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות חשודות

x=1∈[0,2]x = 1 \in [0, 2]

−1-1 מחוץ לקטע

f(0)=0f(1)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

המועמדים

fmax=2f_{max} = 2

בקצה x=2x = 2

הנקודה החשודה היחידה בקטע היא מינימום. המקסימום יושב בקצה — מי שבודק רק את f′(x)=0f'(x) = 0 עונה −2-2.

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x בקטע [0,2][0, 2].

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(0)=0f(1)=−2f(2)=2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

אותם מועמדים

fmin=f(1)=−2\begin{aligned}f_{min} &= f(1) \\ &= -2\end{aligned}

את ערך המינימום מקבלים מהצבה ב-ff, לא מ-x=1x = 1. התשובה −2-2, לא 11.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הערך הקטן ביותר של f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 בקטע [3,6][3, 6]?

  1. 77
  2. 33
  3. 44
  4. 1919
Show the answer and the solution

Answer: C 44

Worked solution:

f′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הקודקוד

2∉[3,6]2 \notin [3, 6]

מחוץ לקטע

f(3)=4f(6)=19\begin{aligned}f(3) &= 4 \\ \quad f(6) &= 19\end{aligned}

נשארו רק הקצוות

fmin=4f_{min} = 4

הנכונה: 44. 33 הוא ערך הקודקוד f(2)f(2) — אבל x=2x = 2 מחוץ לקטע. 1919 הוא המקסימום, ו-77 הוא f(0)f(0).

Check the answer on elev

Exercise 4

כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=30t−5t2h(t) = 30t - 5t^2, עבור 0≤t≤60 \le t \le 6. מהו הגובה המקסימלי של הכדור?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

h′(t)=30−10t=0 ⇒ t=3\begin{aligned}h'(t) &= 30 - 10t \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}
h(0)=0h(3)=45h(6)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(3) &= 45 \\ \quad h(6) &= 0\end{aligned}

המועמדים

hmax=45h_{max} = 45

נשאל הגובה, לא הזמן. t=3t = 3 הוא רק הדרך אל התשובה 4545 מ׳.

Check the answer on elev

Exercise 5

גוף נע על ישר. מיקומו (במטרים) אחרי tt שניות הוא s(t)=−t3+9t2s(t) = -t^3 + 9t^2, עבור 0≤t≤60 \le t \le 6. מהי המהירות המקסימלית של הגוף (במ׳ לשנייה)?

Show the answer and the solution

Answer: 27

Worked solution:

v(t)=s′(t)=−3t2+18t\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= -3t^2 + 18t\end{aligned}

המהירות

v′(t)=−6t+18=0 ⇒ t=3\begin{aligned}v'(t) &= -6t + 18 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

גוזרים את vv

v(0)=0v(3)=27v(6)=0\begin{aligned}v(0) &= 0 \\ \quad v(3) &= 27 \\ \quad v(6) &= 0\end{aligned}

המועמדים

vmax=27v_{max} = 27

המלכודת: לפתור s′(t)=0s'(t) = 0. זה נותן t=6t = 6 — הרגע שבו הגוף נעצר, והמהירות שם 00.

Check the answer on elev

Exercise 6

בקטע סגור, הערך הגדול ביותר של פונקציה מתקבל תמיד בנקודה שבה הנגזרת שווה 00.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x[0,1]\begin{aligned}f(x) &= x \\ \quad [0, 1]\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=1≠0f'(x) = 1 \ne 0

הנגזרת לא מתאפסת אף פעם

fmax=f(1)=1\begin{aligned}f_{max} &= f(1) \\ &= 1\end{aligned}

המקסימום בקצה

לא נכון. בקטע סגור המקסימום יכול להתקבל בקצה, שם הנגזרת אינה חייבת להתאפס. לכן מציבים תמיד גם את הקצוות.

Check the answer on elev

Exercise 7

הפונקציה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [−1,3][-1, 3]. אילו ערכי xx הם מועמדים לקיצון מוחלט?

  • מועמד
  • לא מועמד
  • x=−1x = -1
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=2x = 2
  • x=3x = 3
Show the answer and the solution

Answer: x=−1x = -1 — מועמד · x=2x = 2 — מועמד · x=3x = 3 — מועמד · x=−2x = -2 — לא מועמד · x=0x = 0 — לא מועמד

Worked solution:

f′(x)=3x2−12=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}
x=2∈[−1,3]x=−2∉[−1,3]\begin{aligned}x &= 2 \in [-1, 3] \\ \quad x &= -2 \notin [-1, 3]\end{aligned}
−1, 2, 3-1, \ 2, \ 3

הנקודה מבפנים ושני הקצוות

x=−2x = -2 מאפס את הנגזרת אבל נמצא מחוץ לקטע. x=0x = 0 הוא סתם נקודה בקטע — הנגזרת בו −12-12.

Check the answer on elev

Exercise 8

מצאו את הערך הגדול ביותר של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [−1,3][-1, 3].

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

x=2x = 2

הנקודה החשודה היחידה בקטע

f(−1)=11f(2)=−16f(3)=−9\begin{aligned}f(-1) &= 11 \\ \quad f(2) &= -16 \\ \quad f(3) &= -9\end{aligned}

המועמדים

fmax=f(−1)=11\begin{aligned}f_{max} &= f(-1) \\ &= 11\end{aligned}

מי שמציב את x=−2x = -2 מקבל 1616 — אבל −2-2 מחוץ לקטע. ומי ששוכח את הקצוות לא מוצא מקסימום בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 9

הטמפרטורה בחממה (במעלות) tt שעות אחרי הזריחה היא T(t)=t3−9t2+24t+10T(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 10, עבור 0≤t≤50 \le t \le 5. באילו רגעים הטמפרטורה הגבוהה ביותר?

  1. ב-t=2t = 2 בלבד
  2. ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5
  3. ב-t=4t = 4
  4. ב-t=5t = 5 בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5

Worked solution:

T′(t)=3t2−18t+24=3(t−2)(t−4)\begin{aligned}T'(t) &= 3t^2 - 18t + 24 \\ &= 3(t - 2)(t - 4)\end{aligned}
T(0)=10 T(2)=30 T(4)=26 T(5)=30\begin{aligned}T(0) &= 10 \\ \ T(2) &= 30 \\ \ T(4) &= 26 \\ \ T(5) &= 30\end{aligned}

ארבעה מועמדים

Tmax=30T_{max} = 30

בשני רגעים

הנכונה: ב-t=2t = 2 וב-t=5t = 5. המקסימום המקומי ב-t=2t = 2 והקצה t=5t = 5 נותנים אותו ערך בדיוק. t=4t = 4 הוא מינימום מקומי.

Check the answer on elev

Exercise 10

לפונקציה f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x יש ערך גדול ביותר בקטע הפתוח (0,2)(0, 2).

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x=1: f(1)=−2\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה החשודה היחידה היא מינימום

x→2: f(x)→2x \to 2: \ f(x) \to 2

הערכים מתקרבים ל-22

2∉(0,2)2 \notin (0, 2)

אבל אף ערך בקטע אינו מגיע ל-22

לא נכון. בקטע הפתוח הקצה x=2x = 2 אינו שייך לקטע, ולכל ערך שנבחר תמיד יש ערך גדול ממנו קרוב יותר ל-22. בקטע פתוח ייתכן שאין מקסימום.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade