Set 2 — intermediate

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות: בונים את הפונקציה משרטוט, מסננים פתרונות לפי התחום, משווים ארבעה מועמדים בקטע סגור, וממקסמים ריבוע במקום שורש.

לפני שגוזרים, בדקו שבביטוי נשאר משתנה אחד. אם יש שניים — חפשו את הנתון הקבוע (שטח, נפח, היקף) או את הדמיון שקושר ביניהם.

Exercises

Exercise 1

CBADEF
CB = 12, CA = 6, CD = x. הקודקוד E על היתר.

במשולש ישר-זווית ABCABC שניצביו CB=12CB = 12 ו-CA=6CA = 6 חסום מלבן CDEFCDEF: DD על CBCB, FF על CACA ו-EE על היתר, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

DE6=12−x12 ⇒ DE=12−x2\begin{aligned}\frac{DE}{6} &= \frac{12 - x}{12} \ \Rightarrow \ DE \\ &= \frac{12 - x}{2}\end{aligned}

דמיון; x=CDx = CD

S(x)=x(12−x)20<x<12\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(12 - x)}{2} \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}
S′(x)=6−x=0 ⇒ x=6\begin{aligned}S'(x) &= 6 - x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מקסימום

S(6)=6⋅3=18\begin{aligned}S(6) &= 6 \cdot 3 \\ &= 18\end{aligned}

הגובה יורד כש-xx עולה — ולכן (12−x)(12 - x) בביטוי. והמלבן המקסימלי שוב חצי משטח המשולש (3636).

Check the answer on elev

Exercise 2

גיליון 30 על 30, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030030

מגיליון 30×3030 \times 30 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 2000

Worked solution:

V(x)=x(30−2x)20<x<15\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}
V′(x)=(30−2x)(30−6x)V'(x) = (30 - 2x)(30 - 6x)

גורם משותף

x=5(x=15∉(0,15))x = 5 \quad (x = 15 \notin (0, 15))

מקסימום

V(5)=5⋅202=2000\begin{aligned}V(5) &= 5 \cdot 20^2 \\ &= 2000\end{aligned}

x=15x = 15 מאפס את הנגזרת — ואת התיבה. רק x=5x = 5 בתוך התחום.

Check the answer on elev

Exercise 3

xhx
תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיסה ריבוע שצלעו xx ונפחה 108108 סמ״ק, כמו בשרטוט. מהו שטח הפח הקטן ביותר (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

h=108x2h = \frac{108}{x^2}

האילוץ

S(x)=x2+4x⋅108x2=x2+432x\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4x \cdot \frac{108}{x^2} \\ &= x^2 + \frac{432}{x}\end{aligned}

בסיס אחד

S′(x)=2x−432x2=0 ⇒ x3=216 ⇒ x=6\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{432}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 216 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מינימום

S(6)=36+72=108\begin{aligned}S(6) &= 36 + 72 \\ &= 108\end{aligned}

התיבה פתוחה: x2x^2 ולא 2x22x^2. וזה צירוף מקרים ששטח הפח 108108 שווה למספר של הנפח — היחידות שונות.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו הערך הקטן ביותר של f(x)=2x3−3x2−12xf(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x בקטע [−2,3][-2, 3]?

  1. −20-20
  2. 77
  3. −9-9
  4. −4-4
Show the answer and the solution

Answer: A −20-20

Worked solution:

f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 6x^2 - 6x - 12 \\ &= 6(x - 2)(x + 1)\end{aligned}
f(−2)=−4 f(−1)=7 f(2)=−20 f(3)=−9\begin{aligned}f(-2) &= -4 \\ \ f(-1) &= 7 \\ \ f(2) &= -20 \\ \ f(3) &= -9\end{aligned}

ארבעה מועמדים

fmin=−20f_{min} = -20

הנכונה: −20-20, ב-x=2x = 2. −9-9 ו-−4-4 הם ערכי הקצוות, ו-77 הוא המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 5

מיקומו של גוף (במטרים) אחרי tt שניות הוא s(t)=−2t3+24t2s(t) = -2t^3 + 24t^2, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. מהי המהירות הגדולה ביותר של הגוף (במ׳ לשנייה)?

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

v(t)=−6t2+48tv(t) = -6t^2 + 48t

המהירות

v′(t)=−12t+48=0 ⇒ t=4\begin{aligned}v'(t) &= -12t + 48 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

גוזרים את vv

v(0)=0v(4)=96v(8)=0\begin{aligned}v(0) &= 0 \\ \quad v(4) &= 96 \\ \quad v(8) &= 0\end{aligned}

עם הקצוות

vmax=96v_{max} = 96

v(8)=0v(8) = 0: ב-t=8t = 8 הגוף נעצר. מי שפותר s′(t)=0s'(t) = 0 מוצא את הרגע הזה — שם המהירות הקטנה ביותר, לא הגדולה. את vv עצמה גוזרים: vmax=v(4)=96v_{max} = v(4) = 96.

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x2−8x+25f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25}.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−8x+25=(x−4)2+9x^2 - 8x + 25 = (x - 4)^2 + 9
g′(x)=2x−8=0 ⇒ x=4\begin{aligned}g'(x) &= 2x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

ממזערים את הביטוי הפנימי

f(4)=9=3\begin{aligned}f(4) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

השורש עולה, ולכן המינימום באותו x=4x = 4. הערך הוא 9=3\sqrt{9} = 3, לא 99.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 288 מ״ר.

חלקה מלבנית בשטח 288288 מ״ר צמודה לקיר, וגודרים את שלושת הצדדים האחרים, כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במ׳)?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

L(x)=2x+288xx>0\begin{aligned}L(x) &= 2x + \frac{288}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

xx — הצלע הניצבת לקיר

L′(x)=2−288x2=0 ⇒ x=12\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{288}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}
L(12)=24+24=48\begin{aligned}L(12) &= 24 + 24 \\ &= 48\end{aligned}

הצד שלאורך הקיר (2424 מ׳) נספר פעם אחת, והצד הניצב פעמיים. במינימום שני המחוברים שווים: 24=2424 = 24.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה SS, הפונקציות SS ו-S2S^2 מקבלות את הערך הגדול ביותר שלהן באותו xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S(x)=x2−4[−1,1]\begin{aligned}S(x) &= x^2 - 4 \\ \quad [-1, 1]\end{aligned}

דוגמה נגדית

Smax=S(±1)=−3\begin{aligned}S_{max} &= S(\pm 1) \\ &= -3\end{aligned}
S2(0)=16>S2(±1)=9\begin{aligned}S^2(0) &= 16 > S^2(\pm 1) \\ &= 9\end{aligned}

S2S^2 מקסימלית ב-x=0x = 0

מופרך. הטריק עובד רק כש-S≥0S \ge 0. כאן SS שלילית, והריבוע הופך את הסדר: −4<−3-4 < -3 אבל 16>916 > 9.

Check the answer on elev

Exercise 9

מלבן מתחת לגרף y = 16 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=16−x2y = 16 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 49.27

Worked solution:

S(x)=2x(16−x2)=32x−2x30<x<4\begin{aligned}S(x) &= 2x(16 - x^2) \\ &= 32x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < 4\end{aligned}
S′(x)=32−6x2=0 ⇒ x=163≈2.31\begin{aligned}S'(x) &= 32 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{\frac{16}{3}} \approx 2.31\end{aligned}
S=2⋅2.309⋅323≈49.27S = 2 \cdot 2.309 \cdot \frac{32}{3} \approx 49.27

16−163=32316 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}

הרוחב 2x2x והגובה 16−x2=32316 - x^2 = \frac{32}{3} — לא 1616. ועגלו רק בסוף החישוב, לא את xx באמצע.

Check the answer on elev

Exercise 10

xhx
תיבה פתוחה, בסיס ריבועי

תיבה פתוחה מלמעלה, בסיס ריבועי שצלעו xx, נפח 3232 סמ״ק, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה.

x2h=32x^2 h = 32
h=32x2h = \frac{32}{x^2}
S(x)=x2+128xS(x) = x^2 + \frac{128}{x}
S′(x)=2x+128x2S'(x) = 2x + \frac{128}{x^2}
Show the answer and the solution

Answer: S′(x)=2x+128x2S'(x) = 2x + \frac{128}{x^2} → S′(x)=2x−128x2S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}

Worked solution:

(128x−1)′=−128x−2\left(128x^{-1}\right)' = -128x^{-2}

נגזרת של חזקה שלילית

בלי המינוס S′(x)=0S'(x) = 0 אין פתרון חיובי. אם המשוואה «לא נפתרת» — חפשו קודם סימן שאבד בגזירה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade