Set 5 — towards the bagrut · Rational functions · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בפורמט הבגרות, סביב שלוש פונקציות: חקירה מלאה של $\frac{x^2+5}{x-2}$ (א–ד), פרמטר מערך מקסימלי (ה–ז), ו- $\frac{1}{f}$ עם חור (ח–י). כל סעיף נשען על הקודם.

כמו בבחינה: אם נתקעתם בסעיף, המשיכו לסעיף הבא עם הנתונים שבשאלה. הרבה סעיפים אינם דורשים את התשובה הקודמת.

Exercises

Exercise 1

שאלה א. נתונה $f(x)=\dfrac{x^2+5}{x-2}$ . מה נכון לגבי האסימפטוטות שלה?

אנכית $x=2$ , ואין אופקית
אנכית $x=2$ ואופקית $y=1$
אנכית $x=2$ ואופקית $y=0$
אנכית $x=-2$ , ואין אופקית

Show the answer and the solution

Answer: A אנכית $x=2$ , ואין אופקית

Worked solution:

\begin{aligned}x-2 &= 0 \\ \ 4+5 &= 9 \neq 0\end{aligned}

קיר ב- $2$

x^2+5:\ 2,\quad x-2:\ 1

מעלת המונה גדולה — אין אופקית

$y=1$ מתקבל מ«יחס מקדמים» שלא שייך לכאן: הוא נכון רק כשהמעלות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 2

שאלה ב. עבור אותה $f(x)=\dfrac{x^2+5}{x-2}$ , השלימו.

מקסימום: $x=$ ____, $y=$ ____. מינימום: $x=$ ____, $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $x=$ -1, $y=$ -2. מינימום: $x=$ 5, $y=$ 10

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-(x^2+5)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x-5)(x+1)=0

המונה מתאפס

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-3} \\ &= -2\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}f(5) &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

מינימום

המינימום $10$ גבוה מהמקסימום $-2$ — שני ענפים. והמלכודת בפתיחה: $-(x^2+5)=-x^2-5$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

שאלה ג. עבור אותה $f$ — כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f \leq -2

ענף שמאלי: המקסימום שם $-2$

f \geq 10

ענף ימני: המינימום שם $10$

\begin{aligned}x^2+5 &= 4x-8 \Rightarrow x^2-4x+13 \\ &= 0 \\ \ \Delta<0\end{aligned}

אישור אלגברי

הערך $4$ נופל בין המקסימום למינימום — אזור שהגרף לא מגיע אליו. מי שחושב ש«לפונקציה רציפה יש כל ערך» שוכח את הקיר.

Check the answer on elev

Exercise 4

שאלה ד. הגרף של אותה $f$ אינו חותך את ציר ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x^2+5>0

המונה אינו מתאפס לעולם

f(x) \neq 0

ולכן אין שורש

הטענה נכונה, ואפשר לראות אותה גם מהטבלה: בענף השמאלי $f \leq -2$ , בימני $f \geq 10$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

שאלה ה. נתונה $g(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}$ , $a>0$ . הערך הגדול ביותר של $g$ הוא $3$ . מהו $a$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

g'(x)=\frac{a(4-x^2)}{(x^2+4)^2}

כלל המנה

a>0:\ \max \text{ ב-} x=2

מ- $+$ ל- $-$

\begin{aligned}g(2) &= \frac{2a}{8} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 3\end{aligned}

הערך המקסימלי

a=12

פותרים

המלכודת: להשוות את $g'(2)$ ל- $3$ . הנתון «הערך הגדול ביותר» הוא על $g$ ; התנאי $g'(2)=0$ רק מאתר את המקום.

Check the answer on elev

Exercise 6

שאלה ו. עבור $g(x)=\dfrac{12x}{x^2+4}$ — מהי נקודת המינימום?

$(0,0)$
$(-2,-3)$
$(-2,3)$
$(2,-3)$

Show the answer and the solution

Answer: B $(-2,-3)$

Worked solution:

x=-2:\ -\ \to\ +

מינימום

\begin{aligned}g(-2) &= \frac{-24}{8} \\ &= -3\end{aligned}

הגובה

$g$ אי-זוגית: $g(-x)=-g(x)$ . המקסימום $(2,3)$ משתקף לנקודה $(-2,-3)$ — שני הסימנים מתהפכים.

Check the answer on elev

Exercise 7

שאלה ז. מהו שיפוע המשיק לגרף של $g(x)=\dfrac{12x}{x^2+4}$ בראשית?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

g'(x)=\frac{12(4-x^2)}{(x^2+4)^2}

הנגזרת

\begin{aligned}g'(0) &= \frac{48}{16} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

המלכודת: לענות $0$ — $g(0)=0$ הוא הגובה, לא השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

שאלה ח. נתונה $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ ו- $h(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ . מהו תחום ההגדרה של $h$ ?

$x \neq -2$
$x \neq 1$ וגם $x \neq -2$
כל $x$
$x \neq 1$

Show the answer and the solution

Answer: B $x \neq 1$ וגם $x \neq -2$

Worked solution:

x \neq -2

$f$ עצמה חייבת להיות מוגדרת

f(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

ואסור לחלק באפס

המלכודת: להפוך את השבר ל- $\frac{x+2}{x-1}$ ולקרוא ממנו רק $x \neq 1$ . $h$ בנויה מ- $f$ , ובמקום ש- $f$ לא מוגדרת גם $h$ לא.

Check the answer on elev

Exercise 9

שאלה ט. עבור $h(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ משאלה ח, השלימו.

נקודה סליקה ב- $x=$ ____ בגובה $y=$ ____. אסימפטוטה אנכית: $x=$ ____. אסימפטוטה אופקית: $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: נקודה סליקה ב- $x=$ -2 בגובה $y=$ 0. אסימפטוטה אנכית: $x=$ 1. אסימפטוטה אופקית: $y=$ 1

Worked solution:

\begin{aligned}h(x) &= \frac{x+2}{x-1} \\ \ x \neq -2\end{aligned}

הביטוי, עם התנאי

\begin{aligned}x &= -2:\ \frac{0}{-3} \\ &= 0\end{aligned}

החור

x=1

הקיר

y=1

מעלות שוות

החור של $h$ יושב על ציר ה- $x$ : הביטוי $\frac{x+2}{x-1}$ מתאפס ב- $-2$ — אבל $-2$ אינו בתחום.

Check the answer on elev

Exercise 10

שאלה י. הוכיחו כי $h(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ ( $x \neq -2$ , $x \neq 1$ ) יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

$h(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$
$x \neq -2$ , $x \neq 1$

$h$ יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה

Show the answer and the solution

$h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}$ — כלל המנה
$h'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$ — פישוט המונה
$(x-1)^2>0$ — ריבוע של מספר שונה מאפס, כי $x \neq 1$
$h'(x)<0$ — שלילי חלקי חיובי
$h$ יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה — נגזרת שלילית בכל תחום

Worked solution:

h'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}

כלל המנה

h'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}

פישוט המונה

(x-1)^2>0

ריבוע של מספר שונה מאפס, כי $x \neq 1$

h'(x)<0

שלילי חלקי חיובי

המלכודת: לכתוב תחום ירידה אחד $x>1$ ועוד אחד $x<1$ — ולשכוח שהחור $x=-2$ מפצל את השמאלי לשניים.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev