Tangent to a rational function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משיק לגרף של פונקציה רציונלית נמצא בדיוק כמו משיק לפולינום — שלושה צעדים. ההבדל היחיד: הנגזרת באה מכלל המנה, והנקודה חייבת להיות בתחום ההגדרה.

y0=f(x0)y_0=f(x_0)

הנקודה: מציבים את x0x_0 בפונקציה.

m=f′(x0)m=f'(x_0)

השיפוע: גוזרים, ומציבים את x0x_0 בנגזרת.

y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0)

המשוואה: ישר דרך נקודה בשיפוע נתון.

האם אפשר למצוא משיק לגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} בנקודה שבה x=1x=1?

Show the answer and the solution

לא. x=1x=1 אינו בתחום ההגדרה — אין שם נקודה על הגרף, ולכן אין במה לגעת. שם עוברת האסימפטוטה האנכית.

משיק בשיפוע נתון

לפעמים נתון הכיוון של המשיק ולא הנקודה: «מקביל לישר», «מאונך לישר», «אופקי». אז התנאי הוא על הנגזרת: f′(x)=mf'(x)=m, ופותרים כדי למצוא את xx.

האם לגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} יש משיק המקביל לישר y=xy=x?

Show the answer and the solution

לא. צריך f′(x)=1f'(x)=1, אבל f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2} שלילית תמיד. אין אף נקודה על הגרף שבה השיפוע חיובי.

משיק להיפרבולה והמשולש שלו

מצאו את המשיק ל-y=1xy=\dfrac{1}{x} בנקודה שבה x=2x=2, ואת שטח המשולש שהוא יוצר עם הצירים.

y0=12m=−14\begin{aligned}y_0 &= \frac{1}{2} \\ \quad m &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y−12=−14(x−2)⇒y=−14x+1\begin{aligned}y-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{4}x+1\end{aligned}

המשוואה

x=0⇒y=1;y=0⇒x=4\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1;\quad y \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

נקודות החיתוך עם הצירים

S=4⋅12=2\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שטח המשולש

המשיק ל-y = 1/x בנקודה שבה x = 2
(2, 1/2)0123450123xy

חזרו על החישוב בנקודה שבה x=1x=1. מה השטח עכשיו?

Show the answer and the solution

המשיק y=−x+2y=-x+2 חותך את הצירים ב-(2,0)(2,0) וב-(0,2)(0,2), והשטח 2⋅22=2\frac{2 \cdot 2}{2}=2 — שוב 22. למשיקים ל-1x\frac{1}{x} יש תכונה מיוחדת: השטח הזה אינו תלוי בנקודה.

בכל שאלת משיק, כתבו בצד שתי הצבות: x0x_0 בפונקציה (לגובה), x0x_0 בנגזרת (לשיפוע). ערבוב ביניהן הוא הטעות השכיחה ביותר.

שתי טעויות במשוואת המשיק.

y−3=−4(x−1)2(x−3)y-3=\frac{-4}{(x-1)^2}(x-3)
y−3=−1⋅(x−3)y-3=-1 \cdot (x-3)

השיפוע הוא מספר — הנגזרת בנקודה. ביטוי עם xx במקום השיפוע אינו משוואת ישר.

⊥ y=2x⇒m=2\begin{aligned}\perp\ y &= 2x \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}
⊥ y=2x⇒m=−12\begin{aligned}\perp\ y &= 2x \Rightarrow m \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מקביל — אותו שיפוע; מאונך — מכפלת השיפועים −1-1.

Exercises

Exercise 1

מהו השיפוע של המשיק לגרף של f(x)=2xx+1f(x)=\dfrac{2x}{x+1} בנקודה שבה x=1x=1?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f′(x)=2(x+1)−2x(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=24=12\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים בנגזרת

המלכודת: לענות 11 — זה f(1)f(1), הגובה של הנקודה. השיפוע הוא f′(1)=0.5f'(1)=0.5.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי משוואת המשיק לגרף של y=1xy=\dfrac{1}{x} בנקודה שבה x=1x=1?

  1. y=−x+1y=-x+1
  2. y=−xy=-x
  3. y=xy=x
  4. y=−x+2y=-x+2
Show the answer and the solution

Answer: D y=−x+2y=-x+2

Worked solution:

y0=1m=−1\begin{aligned}y_0 &= 1 \\ \quad m &= -1\end{aligned}

הנקודה (1,1)(1,1) והשיפוע −112-\frac{1}{1^2}

y−1=−(x−1)⇒y=−x+2\begin{aligned}y-1 &= -(x-1) \Rightarrow y \\ &= -x+2\end{aligned}

המשוואה

y=−xy=-x שוכח את הנקודה לגמרי, ו-y=−x+1y=-x+1 נובע מטעות בפתיחת הסוגריים. בדיקה: המשיק חייב לעבור ב-(1,1)(1,1) — ורק y=−x+2y=-x+2 עובר.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x−1x+2f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x=−1x=-1. מהו המספר החופשי במשוואה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f(−1)=−21=−2\begin{aligned}f(-1) &= \frac{-2}{1} \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=(x+2)−(x−1)(x+2)2=3(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2} \\ &= \frac{3}{(x+2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(−1)=3f'(-1)=3

השיפוע

y+2=3(x+1)⇒y=3x+1\begin{aligned}y+2 &= 3(x+1) \Rightarrow y \\ &= 3x+1\end{aligned}

המשוואה

המלכודת: לענות −2-2 — הגובה של הנקודה. המספר החופשי מתקבל רק אחרי הפישוט: y=3x+3−2y=3x+3-2.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את הנקודות על הגרף של f(x)=xx−2f(x)=\dfrac{x}{x-2} שבהן המשיק מקביל לישר y=−2x+5y=-2x+5. השלימו (הנקודה עם ה-xx הקטן ראשונה).

הנקודה הראשונה: x=x= ____, y=y= ____. הנקודה השנייה: x=x= ____, y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: הנקודה הראשונה: x=x= 1, y=y= -1. הנקודה השנייה: x=x= 3, y=y= 3

Worked solution:

f′(x)=(x−2)−x(x−2)2=−2(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-2)-x}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-2}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

−2(x−2)2=−2⇒(x−2)2=1\begin{aligned}\frac{-2}{(x-2)^2} &= -2 \Rightarrow (x-2)^2 \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע −2-2

x=1 x=3\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שני פתרונות

f(1)=−1f(3)=3\begin{aligned}f(1) &= -1 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

הצבה בפונקציה

המלכודת: לפתור x−2=1x-2=1 בלבד. ריבוע שווה ל-11 פירושו x−2=1x-2=1 או x−2=−1x-2=-1 — שתי נקודות, אחת בכל ענף.

Check the answer on elev

Exercise 5

לגרף של f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} יש משיק המקביל לישר y=2xy=2x.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}

הנגזרת

−1x2<0-\frac{1}{x^2}<0

שלילית לכל x≠0x \neq 0

−1x2=2-\frac{1}{x^2}=2

אין פתרון

הטענה אינה נכונה. כל המשיקים להיפרבולה יורדים — שיפוע חיובי אינו מתקבל לעולם.

Check the answer on elev

Exercise 6

PABOy = 1/x0701.5xy

נתונה הפונקציה y=1xy=\dfrac{1}{x}. בנקודה PP שעל הגרף, שבה x=3x=3, מעבירים משיק. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה AA ואת ציר ה-yy בנקודה BB, ו-OO היא ראשית הצירים (ראו שרטוט). מהו השטח של △AOB\triangle AOB?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

y(3)=13  ⇒  P(3,13)y(3)=\frac{1}{3} \;\Rightarrow\; P\left(3,\frac{1}{3}\right)

נקודת ההשקה.

y′=−1x2  ⇒  m=−19\begin{aligned}y' &= -\frac{1}{x^2} \;\Rightarrow\; m \\ &= -\frac{1}{9}\end{aligned}

השיפוע: הנגזרת ב-x=3x=3.

y−13=−19(x−3)  ⇒  y=−19x+23\begin{aligned}y-\frac{1}{3} &= -\frac{1}{9}(x-3) \;\Rightarrow\; y \\ &= -\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}\end{aligned}

משוואת המשיק. שימו לב למספר החופשי: 13+39=23\frac{1}{3}+\frac{3}{9}=\frac{2}{3}.

A(6,0)B(0,23)A(6,0) \qquad B\left(0,\frac{2}{3}\right)

מציבים y=0y=0 ו-x=0x=0 במשוואת המשיק.

SAOB=6⋅232=2\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{6\cdot\frac{2}{3}}{2} \\ &= 2\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים OAOA ו-OBOB.

השטח הוא 22. המלכודת היא המספר החופשי: מי שכותב y=−19x+13y=-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3} מקבל נקודות חיתוך שגויות. בדיקה מהירה: המשיק חייב לעבור דרך PP — מציבים x=3x=3 ומקבלים 13\frac{1}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהן משוואות המשיקים האופקיים לגרף של f(x)=x2+4xf(x)=\dfrac{x^2+4}{x}?

  1. y=0y=0
  2. x=2x=2 ו-x=−2x=-2
  3. y=2y=2 ו-y=−2y=-2
  4. y=4y=4 ו-y=−4y=-4
Show the answer and the solution

Answer: D y=4y=4 ו-y=−4y=-4

Worked solution:

f′(x)=2x⋅x−(x2+4)x2=x2−4x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+4)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-4}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=±2x=\pm 2

משיק אופקי: f′=0f'=0

f(2)=4f(−2)=−4\begin{aligned}f(2) &= 4 \\ \quad f(-2) &= -4\end{aligned}

הגובה

y=4y=−4\begin{aligned}y &= 4 \\ \quad y &= -4\end{aligned}

משיק אופקי הוא y=y0y=y_0

x=±2x=\pm 2 הם ישרים אנכיים. משיק אופקי נכתב y=y= הגובה של נקודת ההשקה — ולכן מציבים בפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=ax+1f(x)=\dfrac{a}{x+1}. שיפוע המשיק בנקודה שבה x=1x=1 הוא −2-2. מהו aa?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f′(x)=0⋅(x+1)−a⋅1(x+1)2=−a(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{0 \cdot (x+1)-a \cdot 1}{(x+1)^2} \\ &= \frac{-a}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה, aa קבוע

f′(1)=−a4=−2\begin{aligned}f'(1) &= -\frac{a}{4} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע נתון

a=8a=8

פותרים

המלכודת: לשכוח את הריבוע במכנה ולקבל a=4a=4. ב-x=1x=1 המכנה הוא (1+1)2=4(1+1)^2=4.

Check the answer on elev

Exercise 9

תלמיד מצא את המשיק לגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} בנקודה שבה x=2x=2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(2)=5f(2)=5
f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}
f′(2)=−4f'(2)=-4
y−5=−4(x−2)y-5=-4(x-2)
y=−4x−3y=-4x-3
Show the answer and the solution

Answer: y=−4x−3y=-4x-3 → y=−4x+13y=-4x+13

Worked solution:

y−5=−4x+8y-5=-4x+8

פותחים סוגריים: −4⋅(−2)=+8-4 \cdot (-2)=+8

y=−4x+13y=-4x+13

מעבירים את 55

המלכודת בשורה האחרונה: −4⋅(−2)-4 \cdot (-2) הוא +8+8. בדיקה מהירה: המשיק חייב לעבור ב-(2,5)(2,5) — ו-−4⋅2−3=−11≠5-4 \cdot 2-3=-11 \neq 5.

Check the answer on elev

Exercise 10

האם ייתכן שלגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} יש משיק אופקי?

  1. כן: הישר y=1y=1
  2. כן, בנקודה שבה x=−3x=-3
  3. כן, בנקודה שבה x=1x=1
  4. לא: f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^2} אינה מתאפסת לעולם
Show the answer and the solution

Answer: D לא: f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^2} אינה מתאפסת לעולם

Worked solution:

f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}

הנגזרת

−4≠0-4 \neq 0

מונה קבוע — לא מתאפס

שתי מלכודות: x=−3x=-3 הוא שורש של הפונקציה, לא של הנגזרת; ו-y=1y=1 היא אסימפטוטה — הגרף מתקרב אליה אבל אינו משיק לה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade