Set 1 — easy · Proportion and similarity · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 1 מתרגלת את הכלים של הפרק אחד אחד: משפט תאלס, תאלס המורחב וההפוך לו, שלושת משפטי הדמיון, יחס ההיקפים ויחס השטחים, משפט חוצה הזווית, וחלוקת קטע ביחס נתון.

כל תרגיל כאן הוא צעד אחד או שניים. תשע נכונות ומעלה — עברו לסדרה 2. פחות מזה — חזרו ליחידה שבה נמצא הכלי שהכשיל אתכם.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 3$ , $DB = 6$ ו- $AE = 4$ . מצאו את $EC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תאלס

\frac{3}{6} = \frac{4}{EC}

מציבים

\begin{aligned}EC &= \frac{4 \cdot 6}{3} \\ &= 8\end{aligned}

כפל בהצלבה

$EC = 8$ . המלכודת: $\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}$ — סדר הפוך באגף אחד, שנותן $EC = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ . נתון $AD = 5$ , $AB = 20$ ו- $BC = 16$ . מצאו את $DE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

משפט תאלס המורחב

\frac{DE}{16} = \frac{5}{20}

מציבים

DE = 4

$DE = 4$ . המלכודת: לחשב $DB = 15$ ולכתוב $\frac{DE}{16} = \frac{5}{15}$ . מול הצלע השלמה $BC$ עומדת הצלע השלמה $AB$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

צלעות המשולש $ABC$ הן $3$ , $5$ ו- $6$ , וצלעות המשולש $DEF$ הן $6$ , $10$ ו- $12$ . מה נכון?

המשולשים דומים לפי צ.ז.צ
המשולשים חופפים
המשולשים אינם דומים, כי לא נתונה אף זווית
המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$

Show the answer and the solution

Answer: D המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{10}{5} \\ &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

שלושה יחסים שווים, מהצלע הקצרה לארוכה

\triangle ABC \sim \triangle DEF

צ.צ.צ — לא צריך אף זווית

התשובה: «המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$ ». המלכודת: לחשוב שבלי זווית אין דמיון — שלושה יחסי צלעות מספיקים.

Check the answer on elev

Exercise 4

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . נתון $AB = 4$ , $DE = 10$ , והיקף המשולש $ABC$ הוא $18$ . מצאו את היקף המשולש $DEF$ .

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}P_{DEF} &= 18 \cdot 2.5 \\ &= 45\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ל- $k$

$45$ . המלכודת: לכפול ב- $k^2 = 6.25$ ולקבל $112.5$ . היקף הוא אורך — הוא גדל פי $k$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא $3$ . שטח המשולש הקטן הוא $7$ סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 63

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_2 &= 7 \cdot 9 \\ &= 63\end{aligned}

$63$ סמ״ר. המלכודת: $7 \cdot 3 = 21$ — השטח גדל פי $k^2$ , לא פי $k$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ו- $BD = 6$ . מצאו את $DC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית

\frac{6}{DC} = \frac{10}{15}

מציבים

\begin{aligned}DC &= \frac{6 \cdot 15}{10} \\ &= 9\end{aligned}

$DC = 9$ . המלכודת: $DC = 6$ — לחשוב שחוצה הזווית הוא גם תיכון.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 5$ , $AE = 8$ ו- $EC = 10$ . הוכיחו או הפריכו: $DE \parallel BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{4}{5} \\ \quad \frac{AE}{EC} &= \frac{8}{10} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

שני יחסים שווים

DE \parallel BC

המשפט ההפוך למשפט תאלס

נכון. המלכודת: לחשוב שצריך $AD = AE$ . המשפט ההפוך דורש יחסים שווים, לא קטעים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 8

הנקודה $D$ על הקטע $AB$ מחלקת אותו ביחס $AD : DB = 2 : 3$ , ו- $AB = 35$ . השלימו.

$AD =$ ____, $DB =$ ____, $\frac{AD}{AB} =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $AD =$ 14, $DB =$ 21, $\frac{AD}{AB} =$ 0.4

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= 2t \\ \quad DB &= 3t\end{aligned}

חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}5t &= 35 \Rightarrow t \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}AD &= 14 \\ \; DB &= 21 \\ \; \frac{AD}{AB} &= \frac{2}{5} \\ &= 0.4\end{aligned}

«חלק על שלם»

המלכודת: $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$ . היחס $2 : 3$ הוא «חלק על חלק»; «חלק על שלם» הוא $\frac{2}{2 + 3}$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ביחס דמיון $k$ . מיינו: איזה גודל של $DEF$ גדל פי $k$ , ואיזה פי $k^2$ ?

פי $k$
פי $k^2$

הגובה לצלע $EF$
ההיקף
השטח
התיכון לצלע $DF$
חוצה הזווית $D$
רדיוס המעגל החסום
שטח המעגל החוסם
שטח המשולש שהתיכון $DM$ חותך מ- $DEF$

Show the answer and the solution

Answer: הגובה לצלע $EF$ — פי $k$ · התיכון לצלע $DF$ — פי $k$ · ההיקף — פי $k$ · השטח — פי $k^2$ · רדיוס המעגל החסום — פי $k$ · שטח המעגל החוסם — פי $k^2$ · חוצה הזווית $D$ — פי $k$ · שטח המשולש שהתיכון $DM$ חותך מ- $DEF$ — פי $k^2$

Worked solution:

\text{אורך} \to k

כל קטע מתאים: גבהים, תיכונים, חוצי זוויות, רדיוסים, היקף

\text{שטח} \to k^2

כל שטח, גם של מעגל או של חלק מתאים במשולש

המלכודת: «שטח המעגל החוסם» — המעגל הוא לא המשולש, אבל השטח שלו תלוי ב- $R^2$ , והרדיוס גדל פי $k$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD = 9$ ו- $DB = 16$ . הוכיחו כי $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ , ומצאו את $CD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$CD$ גובה

\begin{aligned}\angle ACD &= 90^\circ - \angle A \\ &= \angle B\end{aligned}

שתיהן משלימות את $\angle A$

\triangle ACD \sim \triangle CBD \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}

ז.ז

\begin{aligned}CD^2 &= 9 \cdot 16 \\ &= 144 \Rightarrow CD \\ &= 12\end{aligned}

$CD = 12$ . המלכודת: $CD = \frac{9 + 16}{2} = 12.5$ — ממוצע במקום פרופורציה.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev