Set 3 — challenging · Proportion and similarity · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 3 דורשת לבחור את הכלי בעצמכם: מקבילית שנוצרת משני ישרים מקבילים, ארבעת המשולשים של טרפז, חוצה זווית עם פיתגורס, דוגמה נגדית ל«צ.צ.ז», דמיון בלי מקבילים, משיק וחותך, ומעבר משטחים להיקפים.

כשאין מקבילים בשרטוט, חפשו זווית משותפת וזווית שווה נוספת. וכשנתונים שטחים — קודם מוציאים שורש, ורק אז עובדים עם אורכים.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הנקודות $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ו- $F$ על $BC$ , כך ש- $DE \parallel BC$ ו- $EF \parallel AB$ . נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $BC = 15$ . מצאו את $FC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{10} \Rightarrow DE \\ &= 9\end{aligned}

משפט תאלס המורחב

\begin{aligned}DBFE \text{ מקבילית} \Rightarrow BF &= DE \\ &= 9\end{aligned}

שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

\begin{aligned}FC &= 15 - 9 \\ &= 6\end{aligned}

$FC = 6$ . המלכודת: לחשב $\frac{FC}{BC} = \frac{AD}{AB}$ ולקבל $9$ . $F$ מחלקת את $BC$ כמו ש- $E$ מחלקת את $AC$ : $\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DB}{AB} = 0.4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 6$ , $DC = 9$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $12$ . מצאו את שטח הטרפז.

Show the answer and the solution

Answer: 75

Worked solution:

\begin{aligned}\triangle AOB \sim \triangle COD \\ \quad k &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ז.ז — מתחלפות וקודקודיות

\begin{aligned}S_{COD} &= 12 \cdot 2.25 \\ &= 27\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} &= \frac{OD}{OB} \\ &= 1.5 \Rightarrow S_{AOD} \\ &= 18\end{aligned}

גובה משותף מ- $A$ — יחס הבסיסים

S_{BOC} = 18

באותו אופן, עם גובה משותף מ- $B$ לישר $AC$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 12 + 27 + 18 + 18 \\ &= 75\end{aligned}

$75$ . המלכודת: $S_{AOD} = 12 \cdot 2.25$ . המשולשים $AOD$ ו- $AOB$ אינם דומים — ביניהם יחס הבסיסים, בחזקה ראשונה.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $CE$ חוצה את הזווית $C$ ( $E$ על $AB$ ). מצאו את $CE$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 12.65

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{AE}{EB} &= \frac{CA}{CB} \\ &= \frac{15}{12} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית — הצלעות הכולאות את $\angle C$

\begin{aligned}EB &= \frac{4}{9} \cdot 9 \\ &= 4\end{aligned}

«חלק על שלם»

\begin{aligned}CE &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{160} \approx 12.65\end{aligned}

פיתגורס במשולש $CBE$

$CE \approx 12.65$ . המלכודת: $\frac{AE}{EB} = \frac{AB}{BC}$ — צלעות שאינן כולאות את $\angle C$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

AC = AD, והזווית B משותפת.

הוכיחו או הפריכו: אם במשולשים $ABC$ ו- $A'B'C'$ מתקיים $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ ו- $\angle B = \angle B'$ , אז המשולשים דומים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 10 \\ \quad AC &= AD \\ &= 7 \\ \quad \angle B &= 40^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית בשרטוט: $C$ ו- $D$ על אותה קרן מ- $B$

\begin{aligned}\frac{AB}{AB} &= \frac{AC}{AD} \\ &= 1 \\ \quad \angle ABC &= \angle ABD\end{aligned}

הנתונים של הטענה מתקיימים במשולשים $ABC$ ו- $ABD$

BC \approx 10.4 \ne BD \approx 4.9

יחס דמיון $1$ היה מחייב חפיפה — והמשולשים אינם חופפים, ולכן אינם דומים

לא נכון. המלכודת: לקרוא את זה כצ.ז.צ. הזווית $B$ אינה כלואה בין $AB$ ל- $AC$ — היא מול $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הזווית BAD שווה לזווית C.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . איזו טענה נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle CBA$
$\triangle ABD \sim \triangle ABC$
$\triangle ABD \sim \triangle ACD$
$\triangle ADB \sim \triangle CBA$

Show the answer and the solution

Answer: A $\triangle ABD \sim \triangle CBA$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle BCA \\ \quad \angle B &= \angle B\end{aligned}

זווית נתונה וזווית משותפת — ז.ז

A \leftrightarrow C, \quad B \leftrightarrow B, \quad D \leftrightarrow A

כל קודקוד עובר לקודקוד של הזווית השווה לו

התשובה: « $\triangle ABD \sim \triangle CBA$ ». המלכודת: « $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ » — הזווית ב- $A$ שווה לזווית ב- $C$ , ולכן $A$ מתאים ל- $C$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הזווית BAD שווה לזווית C.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . נתון $AB = 6$ ו- $BC = 9$ . מצאו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז: $\angle BAD = \angle C$ , ו- $\angle B$ משותפת

\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}AB^2 &= BD \cdot BC \Rightarrow 36 \\ &= 9 \cdot BD\end{aligned}

כפל בהצלבה

BD = 4

$BD = 4$ . המלכודת: לכתוב $AB^2 = BD \cdot DC$ . בפרופורציה נכנסת הצלע השלמה $BC$ , כי היא צלע של המשולש הגדול $CBA$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $PT$ ( $T$ נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA = 4$ ו- $AB = 5$ . הוכיחו כי $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ , ומצאו את $PT$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\angle PTA = \angle PBT

הזווית בין משיק למיתר $TA$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $TA$

\angle P = \angle P

זווית משותפת

\triangle PTA \sim \triangle PBT \Rightarrow \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}

ז.ז

\begin{aligned}PT^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36 \Rightarrow PT \\ &= 6\end{aligned}

$PB = PA + AB = 9$

$PT = 6$ . המלכודת: $PT^2 = PA \cdot AB = 20$ — בפרופורציה נכנס החותך כולו $PB$ , לא החלק שבתוך המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 3$ , $DB = 6$ , $AE = 4$ , $EC = 8$ ו- $BC = 12$ . סדרו את שלבי הפתרון שמוצא את $DE$ .

כותבים $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ לפי משפט תאלס המורחב
מחשבים: $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$ ו- $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$
מסיקים $DE \parallel BC$ לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס
מציבים $\frac{DE}{12} = \frac{3}{9}$
מקבלים $DE = 4$

Show the answer and the solution

Answer: מחשבים: $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$ ו- $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$ · מסיקים $DE \parallel BC$ לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס · כותבים $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ לפי משפט תאלס המורחב · מציבים $\frac{DE}{12} = \frac{3}{9}$ · מקבלים $DE = 4$

Worked solution:

\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \Rightarrow DE \parallel BC

קודם הקבלה

\begin{aligned}\frac{DE}{12} &= \frac{3}{9} \Rightarrow DE \\ &= 4\end{aligned}

ורק אחר כך תאלס המורחב

המלכודת: להתחיל בתאלס המורחב. בלי שהוכחנו $DE \parallel BC$ אסור להשתמש בו.

Check the answer on elev

Exercise 9

שטחי שני משולשים דומים הם $32$ ו- $50$ , וסכום ההיקפים שלהם הוא $54$ . מצאו את ההיקף של המשולש הגדול.

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= \frac{32}{50} \\ &= \frac{16}{25} \Rightarrow k \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

מהשטחים אל יחס הדמיון — מוציאים שורש

\begin{aligned}P_1 &= 4t \\ \quad P_2 &= 5t \\ \quad 9t &= 54\end{aligned}

ההיקפים ביחס $k$

P_2 = 30

$P_1 = 24$

$30$ . המלכודת: לחלק את $54$ ביחס $32 : 50$ ולקבל $\approx 32.9$ — יחס השטחים אינו יחס ההיקפים.

Check the answer on elev

Exercise 10

שלושה ישרים מקבילים $AD$ , $BE$ ו- $CF$ חותכים שני ישרים: האחד בנקודות $A$ , $B$ , $C$ והשני בנקודות $D$ , $E$ , $F$ . נתון $AB = x$ , $BC = x + 4$ , $DE = 6$ ו- $EF = 9$ . השלימו.

$x =$ ____, $BC =$ ____, $AC =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 8, $BC =$ 12, $AC =$ 20

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AB}{BC} &= \frac{DE}{EF} \Rightarrow \frac{x}{x+4} \\ &= \frac{6}{9}\end{aligned}

משפט תאלס לשלושה ישרים מקבילים

\begin{aligned}9x &= 6x + 24 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}BC &= 12 \\ \quad AC &= 20\end{aligned}

המלכודת: $\frac{x}{x+4} = \frac{9}{6}$ — להפוך את הסדר באגף אחד, ולקבל $x$ שלילי.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev