Set 3 — challenging · Plane trigonometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה 3 דורשת לבנות את הדרך: שני משולשים בבעיית גובה, משוואה ריבועית משטח או ממשפט הקוסינוסים, אלכסונים במקבילית, מעגל חסום, והוכחה של נוסחה.

כאן לא תמיד ברור איזה משפט פותח. שרטטו, סמנו מה ידוע, וחפשו משולש עם שלושה נתונים. שבע נכונות ומעלה — לסדרה 4.

Exercises

Exercise 1

מנקודה $A$ על הקרקע רואים את ראש מגדל המים $T$ בזווית הגבהה של $32^\circ$ . מתקרבים $40$ מטרים ישר אל המגדל, לנקודה $B$ , ומשם זווית ההגבהה $50^\circ$ . מצאו את גובה המגדל במטרים (עגלו למספר שלם).

Show the answer and the solution

Answer: 53

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ATB &= 50^\circ - 32^\circ \\ &= 18^\circ\end{aligned}

זווית חיצונית במשולש $ABT$

BT = \frac{40\sin 32^\circ}{\sin 18^\circ} \approx 68.6

משפט הסינוסים במשולש $ABT$

h = BT\sin 50^\circ \approx 52.5

במשולש $BFT$ , ישר זווית ב- $F$

הגובה כ- $53$ מטרים ( $52.5$ ). המלכודת: $40\tan 50^\circ$ — המרחק $40$ הוא לא המרחק מהמגדל.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ נתון $\angle C = 60^\circ$ ו- $CB = CA + 3$ . שטח המשולש $10\sqrt{3}$ . מצאו את $CA$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\tfrac{1}{2}x(x + 3)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}

$x = CA$

x^2 + 3x - 40 = 0

\begin{aligned}(x + 8)(x - 5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

אורך חיובי

$CA = 5$ . המלכודת: להשאיר את הפתרון $x = -8$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $7$ , ו- $AB = 7$ . הוכיחו או הפריכו: בהכרח $\angle ACB = 30^\circ$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\sin C &= \frac{7}{2\cdot 7} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

משפט הסינוסים

\begin{aligned}C &= 30^\circ\ \text{או}\ C \\ &= 150^\circ\end{aligned}

C = 150^\circ

כש- $C$ על הקשת הקטנה של המיתר $AB$

הפרכה: $C$ יכול להיות גם על הקשת הקטנה, ואז $\angle C = 150^\circ$ . המלכודת: לשכוח שלזווית היקפית על מיתר יש שני ערכים, מכל צד של המיתר.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $\angle ABC = 60^\circ$ ו- $AC = \sqrt{31}$ . מצאו את כל האפשרויות ל- $BC$ .

הקצר: ____, הארוך: ____

Show the answer and the solution

Answer: הקצר: 1, הארוך: 5

Worked solution:

31 = 36 + x^2 - 2\cdot 6x\cos 60^\circ

משפט הקוסינוסים סביב $B$ , $x = BC$

x^2 - 6x + 5 = 0

\begin{aligned}x &= 1\ \text{או}\ x \\ &= 5\end{aligned}

שני פתרונות חיוביים — שני משולשים

6\sin 60^\circ \approx 5.20 < \sqrt{31} \approx 5.57 < 6

בדיקה מול הגובה

$BC = 1$ או $BC = 5$ . משפט הקוסינוסים עם הזווית שליד הצלע הלא ידועה נותן משוואה ריבועית, ושני שורשים חיוביים הם שני המשולשים. המלכודת: לפסול את $1$ כי «קטן מדי».

Check the answer on elev

Exercise 5

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 8$ , $AD = 5$ והאלכסון $BD = 7$ . השלימו.

$\angle BAD =$ ____ מעלות, $AC \approx$ ____ (שתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: $\angle BAD =$ 60 מעלות, $AC \approx$ 11.36 (שתי ספרות אחרי הנקודה)

Worked solution:

\begin{aligned}\cos A &= \frac{64 + 25 - 49}{80} \\ &= \tfrac{1}{2} \Rightarrow A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$

\angle ABC = 120^\circ

זוויות סמוכות במקבילית

\begin{aligned}AC^2 &= 64 + 25 + 40 \\ &= 129 \\ \ AC \approx 11.36\end{aligned}

$\angle A = 60^\circ$ , $AC \approx 11.36$ . בדיקה: $49 + 129 = 178 = 2(64 + 25)$ . המלכודת: לחשב את $AC$ עם $60^\circ$ ולקבל שוב $7$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = 8$ , $AC = 5$ ו- $\angle BAC = 60^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 1.73

Worked solution:

\begin{aligned}BC^2 &= 64 + 25 - 40 \\ &= 49 \\ \ BC &= 7\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}p &= \tfrac{8 + 5 + 7}{2} \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}r &= \tfrac{S}{p} \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

$r = \sqrt{3} \approx 1.73$ . המלכודת: לחלק בהיקף המלא $20$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 45^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ ו- $BC = 10$ . מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 59.15

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6} \approx 12.25\end{aligned}

משפט הסינוסים

\angle C = 75^\circ

הזווית שבין $BC$ ל- $AC$

S = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\sqrt{6}\sin 75^\circ \approx 59.15

$S \approx 59.15$ . המלכודת: להציב $\sin 45^\circ$ עם $BC$ ו- $AC$ — הזווית $A$ אינה בין שתי הצלעות האלה.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 40^\circ$ , $\angle B = 75^\circ$ ו- $BC = 10$ . תלמיד חישב את $AC$ . מצאו את השורה השגויה.

BC \text{ מול } A,\quad AC \text{ מול } B

\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}

Show the answer and the solution

Answer: $\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}$ → $\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}$

Worked solution:

AC = \frac{10\sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.03

כל צלע עם הזווית שמולה

75^\circ > 40^\circ \Rightarrow AC > BC

בדיקה: מול הזווית הגדולה — הצלע הגדולה

הטעות: השורה הראשונה נכונה, והשנייה סותרת אותה. בדיקה מהירה: מהשורה השגויה יוצא $AC \approx 6.65 < 10$ , אבל $AC$ מול הזווית הגדולה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle ABC = \beta$ . הביעו את $BC$ באמצעות $k$ ו- $\beta$ .

$2k\cos\frac{\beta}{2}$
$k\cos\beta$
$2k\cos\beta$
$2k\sin\beta$

Show the answer and the solution

Answer: C $2k\cos\beta$

Worked solution:

BD = k\cos\beta

במשולש $ABD$ : $BD$ ליד $\beta$ , $AB$ יתר

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\cos\beta\end{aligned}

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

התשובה: $2k\cos\beta$ . המלכודת: $2k\sin\beta$ — מי שמתבלבל בין זווית הבסיס לחצי זווית הראש.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הצלעות $a$ , $b$ , $c$ , ו- $R$ רדיוס המעגל החוסם. הוכיחו כי שטח המשולש הוא $S = \frac{abc}{4R}$ .

$BC = a,\ CA = b,\ AB = c$
$R$ רדיוס המעגל החוסם

$S = \frac{abc}{4R}$

Show the answer and the solution

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ — שטח משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן
$\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ — משפט הסינוסים
$\sin\gamma = \frac{c}{2R}$ — בידוד $\sin\gamma$
$S = \frac{abc}{4R}$ — הצבה בנוסחת השטח

Worked solution:

S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma

\sin\gamma = \tfrac{c}{2R}

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}ab\cdot\tfrac{c}{2R} \\ &= \tfrac{abc}{4R}\end{aligned}

המלכודת: להציב $\sin\gamma = \frac{c}{R}$ — משפט הסינוסים נותן את הקוטר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev