Domain, increase and decrease

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו שאלנו «מה קורה בנקודה הזאת». עכשיו נשאל שאלה אחרת: «מה קורה לאורך קטע שלם» — ולשם כך צריך מילה אחת חדשה.

תחום — חלק מציר ה-x

תחום הוא חתיכה מציר ה-xx — קבוצת הקלטים שמדברים עליהם. הוא אינו חלק מהגרף, והוא אינו על ציר ה-yy.

2<x<62 < x < 6

קטע — בין שני גבולות. הנפוץ ביותר.

x>4x > 4

קרן — יש התחלה, אין סוף.

x=1  2  3\begin{aligned}x &= 1 \ \\ \ 2 \ \\ \ 3\end{aligned}

קבוצה סופית — כשהקלט נספר, למשל מספר כרטיסים.

זו ההבחנה שהכי הרבה נופלים בה, ולכן נאמר אותה במפורש: תחום העלייה הוא מה שכתוב על ציר ה-xx — לא הקו שעולה. הקו עולה; התחום הוא הצל שלו למטה, על הציר.

עולה, יורדת, קבועה

את שלושת המצבים קוראים מהגרף תמיד באותו כיוון: משמאל לימין — כלומר מ-xx קטן ל-xx גדול.

↗\nearrow

עולה בתחום — כש-xx גדל, yy גדל גם הוא.

↘\searrow

יורדת בתחום — כש-xx גדל, yy קטן.

→\rightarrow

קבועה בתחום — xx גדל, ו-yy לא משתנה כלל.

ואת אותו דבר בדיוק אפשר לראות מטבלה, בלי לצייר — בתנאי אחד: שערכי ה-xx מסודרים מהקטן לגדול.

לקרוא עלייה מטבלה

נתונים הזוגות (1, 20)(1,\, 20), (2, 17)(2,\, 17), (3, 11)(3,\, 11), (4, 11)(4,\, 11), (5, 14)(5,\, 14). מה קורה בכל מקטע?

20→17→1120 \rightarrow 17 \rightarrow 11

ה-yy קטן — יורדת בתחום 1<x<31 < x < 3

11→1111 \rightarrow 11

ה-yy לא זז — קבועה בתחום 3<x<43 < x < 4

11→1411 \rightarrow 14

ה-yy גדל — עולה בתחום 4<x<54 < x < 5

בטבלה (0, 5)(0,\, 5), (1, 9)(1,\, 9), (2, 13)(2,\, 13) — עולה או יורדת?

Show the answer and the solution

עולה. ה-xx מסודר עולה, וה-yy גדל איתו. שימו לב שהיא עולה בקצב אחיד — 4 בכל צעד — אבל זה כבר עניין אחר: פונקציה יכולה לעלות גם בקצב לא אחיד.

לכתוב את התחום

במבחן לא מספיק לומר «כאן היא עולה». צריך לכתוב את התחום, ותמיד באותה צורה — אי-שוויון על xx:

0<x<20 < x < 2

וכשלתחום אין סוף, כותבים צד אחד בלבד: x>6x > 6. וכשיש שני תחומי עלייה נפרדים, כותבים את שניהם — הם לא מתאחדים לאחד.

פונקציה עולה מ-x=1x=1 עד x=5x=5. איך כותבים את תחום העלייה?

Show the answer and the solution

1<x<51 < x < 5. לא «מ-1 עד 5» במילים, ולא 1<y<51 < y < 5 — התחום נכתב תמיד כאי-שוויון על xx.

שלוש הטעויות של התחומים.

2<y<82 < y < 8
1<x<41 < x < 4

תחום נכתב על xx. ערכי ה-yy הם שאלה אחרת, ונגיע אליה ביחידה הבאה.

עולה מ-20 ל-30\text{עולה } \text{מ-} 20 \text{ ל-} 30
עולה בתחום 1<x<4\text{עולה בתחום } 1 < x < 4

מי שכותב את ערכי הגרף במקום את הקטע על הציר עונה על שאלה אחרת.

יורדת=שלילית\text{יורדת} = \text{שלילית}
יורדת≠שלילית\text{יורדת} \neq \text{שלילית}

גרף יכול לרדת הרבה מעל הציר. «יורדת» מדברת על כיוון, «שלילית» על גובה.

עכשיו נתרגל: לזהות, לכתוב, ולא להתבלבל בין הגרף לציר.

Exercises

Exercise 1

בטבלה (1, 4)(1,\, 4), (2, 7)(2,\, 7), (3, 12)(3,\, 12) — מה עושה הפונקציה?

  1. עולה
  2. יורדת
  3. אי אפשר לדעת
  4. קבועה
Show the answer and the solution

Answer: A עולה

Worked solution:

4<7<124 < 7 < 12

ה-yy גדל כש-xx גדל

ה-xx כבר מסודר מהקטן לגדול, ולכן אפשר לקרוא ישר מהשורה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בגרף מרחק-זמן יש קטע אופקי. מה זה אומר על הפונקציה שם?

  1. היא עולה לאט
  2. היא קבועה
  3. היא יורדת
  4. היא אינה מוגדרת
Show the answer and the solution

Answer: B היא קבועה

Worked solution:

x↗ , y→x \nearrow \ , \ y \rightarrow

הקלט משתנה, הפלט לא

פונקציה קבועה בתחום — לא «עצרה להתקיים». היא מחזירה את אותו פלט לכל קלט בתחום.

Check the answer on elev

Exercise 3

תחום העלייה של פונקציה נכתב כאי-שוויון על xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0<x<20 < x < 2

אי-שוויון על xx, ולא על yy

התחום יושב על ציר ה-xx — לכן הוא נכתב על xx, ולא על yy ולא במילים.

Check the answer on elev

Exercise 4

פונקציה יורדת היא בהכרח פונקציה שערכיה שליליים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(1, 90)→(2, 80)(1,\, 90) \rightarrow (2,\, 80)

יורדת, ושני הערכים חיוביים

«יורדת» אומרת שה-yy קטן. הוא יכול לקטון ולהישאר גבוה מאוד מעל האפס.

Check the answer on elev

Exercise 5

פונקציה עולה בתחום 2<x<92 < x < 9. כמה יחידות על ציר ה-x אורכו של תחום זה?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

9−2=79 - 2 = 7

הפרש הגבולות

התחום הוא קטע על הציר, ולכן אורכו נמדד בהפרש — ולא בערכי הפונקציה שם.

Check the answer on elev

Exercise 6

מה עושה הפונקציה בכל מקטע?

  • עולה
  • יורדת
  • (0, 3)(0,\, 3) ואז (1, 8)(1,\, 8)
  • (1, −6)(1,\, -6) ואז (2, −2)(2,\, -2)
  • (2, 5)(2,\, 5) ואז (6, 1)(6,\, 1)
  • (4, 20)(4,\, 20) ואז (5, 12)(5,\, 12)
Show the answer and the solution

Answer: (0, 3)(0,\, 3) ואז (1, 8)(1,\, 8) — עולה · (4, 20)(4,\, 20) ואז (5, 12)(5,\, 12) — יורדת · (1, −6)(1,\, -6) ואז (2, −2)(2,\, -2) — עולה · (2, 5)(2,\, 5) ואז (6, 1)(6,\, 1) — יורדת

Worked solution:

−6<−2-6 < -2

השורה השלישית עולה, למרות שני הסימנים

השורה השלישית היא המלכודת: שני הערכים שליליים, ובכל זאת הפונקציה עולה — כי −2-2 גדול מ-−6-6.

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו

פונקציה עולה מ-x=3 עד x=11. תחום העלייה הוא ____ < x < ____

Show the answer and the solution

Answer: פונקציה עולה מ-x=3 עד x=11. תחום העלייה הוא 3 < x < 11

Worked solution:

3<x<113 < x < 11

התחום יושב על ציר ה-xx: מה-xx שבו העלייה מתחילה עד ה-xx שבו היא נגמרת

הגבולות הם ערכי xx, לא ערכי yy.

Check the answer on elev

Exercise 8

איזה מהבאים אינו תחום אפשרי?

  1. 3<x<83 < x < 8
  2. x=1 , 2 , 3x = 1 \ , \ 2 \ , \ 3
  3. x>8x > 8
  4. 3<y<83 < y < 8
Show the answer and the solution

Answer: D 3<y<83 < y < 8

Worked solution:

תחום⊂ציר x\text{תחום} \subset \text{ציר } x

תחום הוא תמיד חלק מציר ה-xx

שלושת האחרים הם קטע, קרן וקבוצה סופית — שלוש הצורות שהתוכנית מזכירה. אי-שוויון על yy מתאר ערכים, לא תחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

תלמיד תיאר גרף שעולה מ-x=0x=0 עד x=4x=4, ושם ערכי הפונקציה בין 10 ל-30. שורה אחת שגויה

תחום העלייה: 0<x<4\text{תחום העלייה: } 0 < x < 4
תחום העלייה: 10<y<30\text{תחום העלייה: } 10 < y < 30
Show the answer and the solution

Answer: תחום העלייה: 10<y<30\text{תחום העלייה: } 10 < y < 30 → תחום העלייה: 0<x<4\text{תחום העלייה: } 0 < x < 4

Worked solution:

0<x<40 < x < 4

התחום יושב על ציר ה-xx

10<y<3010 < y < 30

ואילו זה טווח הערכים — שאלה אחרת

10<y<3010 < y < 30 הוא טווח הערכים של הפונקציה — נכון כשלעצמו, ותשובה לשאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 10

בטבלה: (0, 50)(0,\, 50), (1, 50)(1,\, 50), (2, 50)(2,\, 50), (3, 44)(3,\, 44). עד איזה ערך של xx הפונקציה קבועה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

50=50=50\begin{aligned}50 &= 50 \\ &= 50\end{aligned}

שלושת הערכים הראשונים זהים

0<x<20 < x < 2

ומשם היא מתחילה לרדת

פונקציה קבועה אינה פונקציה «משעממת» — היא מקרה מלא זכויות, וגרף שלה הוא קו אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל תיאור למה שהוא אומר

  • עולה בתחום
  • יורדת בתחום
  • קבועה בתחום
  • אינה מוגדרת
  • x גדל ו-y אינו משתנה
  • כש-x גדל, y גדל גם הוא
  • כש-x גדל, y קטן
  • לאותו x אין פלט כלל
Show the answer and the solution

Answer: עולה בתחום — כש-x גדל, y גדל גם הוא · יורדת בתחום — כש-x גדל, y קטן · קבועה בתחום — x גדל ו-y אינו משתנה · אינה מוגדרת — לאותו x אין פלט כלל

Worked solution:

x↗ ⇒ y ?x \nearrow \ \Rightarrow \ y \, ?

תמיד שואלים: כש-xx גדל, מה קורה ל-yy?

עולה — yy גדל; יורדת — yy קטן; קבועה — yy לא זז. ואם אין פלט בכלל, הפונקציה אינה מוגדרת שם.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיכל מים מתמלא 4 דקות, נשאר מלא 3 דקות, ואז מתרוקן 5 דקות. כמה תחומים שונים יש בגרף — עלייה, קבועה וירידה יחד?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

0<x<40 < x < 4

עלייה

4<x<74 < x < 7

קבועה

7<x<127 < x < 12

ירידה

שימו לב שגבול כל תחום הוא הסכום של הזמנים שקדמו לו, ולא משך הקטע עצמו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade