What a function is

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ביחידה הקודמת קראנו גרפים, מילאנו טבלאות וכתבנו נוסחאות. כל הזמן הזה עבדנו עם אותו דבר — ורק עכשיו ניתן לו את השם שלו: פונקציה.

פונקציה אינה נוסחה ואינה גרף. היא הקשר עצמו — והנוסחה והגרף הם רק שתי דרכים לכתוב אותו.

ההגדרה: מספר אחד בדיוק

פונקציה = התאמה שנותנת לכל מספר שמכניסים מספר אחד בדיוק

המילים החשובות הן «אחד בדיוק». מכונה שמחזירה שתי תשובות לאותה שאלה אינה פונקציה — ומכונה שלפעמים לא מחזירה כלום אינה מוגדרת שם.

xx

הקלט — המספר שמכניסים למכונה. אנחנו בוחרים אותו.

ff

הכלל — מה המכונה עושה לכל מספר שנכנס.

yy

הפלט — המספר שיוצא. אין לנו בחירה בו: הכלל קובע.

מכונה מקבלת מספר ומחזירה «כל מספר שכפול עצמו נותן אותו». נכניס 9 — היא תחזיר 3, וגם −3-3. האם זו פונקציה?

Show the answer and the solution

לא. לקלט אחד יצאו שני פלטים, וזה בדיוק מה שההגדרה אוסרת. לכן סימן השורש הוגדר כך שיחזיר רק את התשובה האי-שלילית — ורק בזכות ההחלטה הזאת  \sqrt{\ } היא פונקציה.

הסימון f(x)f(x)

עד היום כתבנו y=3x+4y = 3x + 4. יש כתיב שני, והוא זה שילווה אתכם עד סוף הלימודים: נותנים לפונקציה שם — בדרך כלל האות ff — וכותבים:

f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4

וכאן נמצא הבלבול היחיד של הפרק, אז נאמר אותו במפורש: f(x)f(x) אינו ff כפול xx. הסוגריים כאן אינן כפל — הן אומרות «מה יוצא מהמכונה ff כשמכניסים לתוכה xx».

ff

שם הפונקציה. אפשר גם gg, hh — כמו ששמות של אנשים.

f(5)f(5)

הפלט כשמציבים 5. זה מספר, לא ביטוי.

f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4

הכלל כולו — בדיוק אותו דבר כמו y=3x+4y = 3x + 4.

אותה פונקציה, שלושה קלטים

נתונה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4. חשבו את f(5)f(5), את f(0)f(0) ואת f(−2)f(-2).

f(5)=3⋅5+4=19\begin{aligned}f(5) &= 3 \cdot 5 + 4 \\ &= 19\end{aligned}

מציבים 5 במקום כל xx

f(0)=3⋅0+4=4\begin{aligned}f(0) &= 3 \cdot 0 + 4 \\ &= 4\end{aligned}

ו-0 אינו מקרה מיוחד — מציבים אותו כמו כל מספר

f(−2)=3⋅(−2)+4=−2\begin{aligned}f(-2) &= 3 \cdot (-2) + 4 \\ &= -2\end{aligned}

ומספר שלילי נכנס בסוגריים, אחרת המינוס נבלע

נתונה g(x)=10−2xg(x) = 10 - 2x. מהו g(4)g(4)?

Show the answer and the solution

2. מציבים: 10−2⋅4=10−8=210 - 2 \cdot 4 = 10 - 8 = 2. שימו לב שהתשובה היא מספר יחיד — כך זה תמיד.

שתי שיטות הסימון — y=…y = \ldots ו-f(x)=…f(x) = \ldots — אומרות בדיוק אותו דבר. בכיתה ז בוחרים אחת ונדבקים בה; בכיתה ח תפגשו את שתיהן זו לצד זו.

כשהפונקציה אינה מוגדרת

לפעמים המכונה אינה מחזירה כלום עבור קלט מסוים. אז אומרים שהפונקציה אינה מוגדרת עבור אותו xx.

שתי דוגמאות מוכרות

היכן המכונה נעצרת?

f(x)=12:xf(x) = 12 : x

אינה מוגדרת ב-x=0x = 0 — כי אין חילוק באפס

f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

אינה מוגדרת לכל xx שלילי — אין מספר שכפול עצמו נותן מספר שלילי

גם המציאות עוצרת את המכונה. פונקציה של מחיר xx כרטיסים אינה מוגדרת ב-x=−3x = -3: אי אפשר לקנות מינוס שלושה כרטיסים.

שלוש הטעויות של הפרק.

f(x)=f⋅xf(x) = f \cdot x
f(x)=הפלט של ff(x) = \text{הפלט של } f

הסוגריים ב-f(x)f(x) אינן כפל. זו הטעות מספר אחת, והיא נמשכת שנים.

f(−2)=3⋅−2+4f(-2) = 3 \cdot -2 + 4
f(−2)=3⋅(−2)+4f(-2) = 3 \cdot (-2) + 4

מספר שלילי שמוצב נכנס בסוגריים. בלעדיהן קל לאבד את הסימן.

f(9)=3 או −3f(9) = 3 \text{ או } -3
f(9)=3f(9) = 3

לפונקציה יש פלט אחד. שתי תשובות פירושן שזו לא פונקציה.

עכשיו נתרגל: להציב, לקרוא סימון, ולהחליט מה פונקציה ומה לא.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4. מהו f(5)f(5)?

Show the answer and the solution

Answer: 19

Worked solution:

f(5)=3⋅5+4f(5) = 3 \cdot 5 + 4

מציבים 5 במקום xx

=15+4=19= 15 + 4 = 19

סדר פעולות: קודם הכפל

הסוגריים ב-f(5)f(5) אומרות «מה יוצא כשמכניסים 5» — הן אינן כפל.

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה פונקציה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4 — מהו f(0)f(0)?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f(0)=3⋅0+4f(0) = 3 \cdot 0 + 4

מציבים 0

=0+4=4= 0 + 4 = 4

הכפל מתאפס, המספר החופשי נשאר

f(0)f(0) הוא תמיד המספר החופשי — וזו גם הנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=3x+4f(x) = 3x + 4. מהו f(−2)f(-2)?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(−2)=3⋅(−2)+4f(-2) = 3 \cdot (-2) + 4

המספר השלילי נכנס בסוגריים

=−6+4=−2= -6 + 4 = -2

מחברים

בלי הסוגריים קל לקרוא 3⋅23 \cdot 2 ולאבד את המינוס. התשובה הייתה יוצאת 10 במקום −2-2.

Check the answer on elev

Exercise 4

מה פירוש הסימון f(3)f(3)?

  1. הפלט של הפונקציה כשהקלט הוא 3
  2. המספר 3 שנמצא בתוך ff
  3. הפונקציה ff בחזקת 3
  4. ff כפול 3
Show the answer and the solution

Answer: A הפלט של הפונקציה כשהקלט הוא 3

Worked solution:

f(3)f(3)

«מה יוצא כשמכניסים 3»

הסוגריים כאן אינן כפל. זו הטעות הנפוצה ביותר בכל נושא הפונקציות.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה g(x)=10−2xg(x) = 10 - 2x. מהו g(4)g(4)?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

g(4)=10−2⋅4g(4) = 10 - 2 \cdot 4

מציבים 4

=10−8=2= 10 - 8 = 2

קודם הכפל, אחר כך החיסור

הפונקציה יכולה להיקרא בכל אות — gg היא שם, בדיוק כמו ff.

Check the answer on elev

Exercise 6

מכונה שמחזירה למספר 16 גם 4 וגם −4-4 היא פונקציה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

16→4 , −416 \rightarrow 4 \ , \ -4

שני פלטים לקלט אחד

לא. פונקציה מחזירה פלט אחד בדיוק לכל קלט. שני פלטים — ולא נשארה פונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 7

עבור איזה ערך של xx אין הפונקציה f(x)=12:xf(x) = 12 : x מוגדרת?

  1. x=0x = 0
  2. x=−1x = -1
  3. היא מוגדרת לכל xx
  4. x=12x = 12
Show the answer and the solution

Answer: A x=0x = 0

Worked solution:

12:012 : 0

אין מספר שכפול 0 נותן 12

אי-חילוק באפס הוא הסיבה הנפוצה ביותר שפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. מהו f(−3)f(-3)?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

f(−3)=(−3)2+1f(-3) = (-3)^2 + 1

הסוגריים חיוניות כאן

=9+1=10= 9 + 1 = 10

מינוס בריבוע יוצא חיובי

בלי הסוגריים היה מתקבל −32+1=−8-3^2 + 1 = -8 — תשובה אחרת לגמרי. זה בדיוק ההבדל בין (−3)2(-3)^2 ל-−32-3^2.

Check the answer on elev

Exercise 9

אילו מכונות הן פונקציות?

  • פונקציה
  • לא פונקציה
  • לכל מספר — המספר ועוד 7
  • לכל מספר — חצי ממנו
  • לכל מספר — כל מספר שקטן ממנו
  • לכל מספר חיובי — שני המספרים שריבועם המספר
Show the answer and the solution

Answer: לכל מספר — המספר ועוד 7 — פונקציה · לכל מספר — חצי ממנו — פונקציה · לכל מספר — כל מספר שקטן ממנו — לא פונקציה · לכל מספר חיובי — שני המספרים שריבועם המספר — לא פונקציה

Worked solution:

x→y יחידx \rightarrow y \ \text{יחיד}

התנאי היחיד של ההגדרה

השאלה היחידה היא «כמה יוצא». אחד בדיוק — פונקציה. אפס, שניים או אינסוף — לא.

Check the answer on elev

Exercise 10

השלימו

בסימון f(x) הסוגריים אינן כפל. בפונקציה f(x) = 5x - 1 מתקיים f(2) = ____

Show the answer and the solution

Answer: בסימון f(x) הסוגריים אינן כפל. בפונקציה f(x) = 5x - 1 מתקיים f(2) = 9

Worked solution:

5⋅2−1=95 \cdot 2 - 1 = 9

מציבים 2

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5, וידוע ש-f(a)=17f(a) = 17. מהו aa?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

2a+5=172a + 5 = 17

f(a)f(a) פירושו להציב aa — ומקבלים משוואה

2a=122a = 12

מעבירים את 5

a=6a = 6

מחלקים ב-2

זה הכיוון ההפוך: בדרך כלל נתון הקלט ומחפשים את הפלט. כאן נתון הפלט — ולכן נפתרת משוואה.

Check the answer on elev

Exercise 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1
f(3)=f⋅3=3f\begin{aligned}f(3) &= f \cdot 3 \\ &= 3f\end{aligned}
f(3)=4⋅3−1=11\begin{aligned}f(3) &= 4 \cdot 3 - 1 \\ &= 11\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: f(3)=f⋅3=3ff(3) = f \cdot 3 = 3f → f(3)=4⋅3−1f(3) = 4 \cdot 3 - 1

Worked solution:

f(3)=4⋅3−1f(3) = 4 \cdot 3 - 1

הסוגריים מסמנות הצבה

=11= 11

ולא כפל

f(x)f(x) אינו כפל. הסוגריים מסמנות הצבה, ולכן f(3)f(3) מתקבל על ידי הצבת 3 בכלל עצמו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade