Rate of change and slope

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

קצב השתנות עונה על שאלה אחת: כשה-xx גדל ביחידה אחת, בכמה משתנה ה-yy? זה כל הרעיון, ובכיתה ח יקראו לו שיפוע.

אחיד או לא אחיד

אחיד\text{אחיד}

בכל צעד של xx ה-yy משתנה באותו מספר. הגרף יוצא ישר.

לא אחיד\text{לא אחיד}

השינוי משתנה מצעד לצעד. הגרף יוצא מעוקל.

זו בדיקה שאפשר לעשות ישר מהטבלה, בלי לצייר: מחסרים כל שני ערכי yy עוקבים. יצא אותו הפרש בכל פעם — הקצב אחיד, והגרף ישר.

מהקצב לנוסחה

ברגע שהקצב אחיד אפשר לכתוב את הנוסחה: הקצב הוא המקדם של xx, והמספר החופשי הוא הערך ב-x=0x = 0.

המשך הדוגמה

מהי הנוסחה של הטבלה שלמעלה?

y=3x+by = 3x + b

הקצב 3 הוא המקדם

7=3⋅1+b7 = 3 \cdot 1 + b

מציבים את הזוג הראשון

b=4b = 4

המספר החופשי

y=3x+4y = 3x + 4

הנוסחה

3⋅4+4=163 \cdot 4 + 4 = 16

בדיקה על הזוג האחרון

קצב שלילי

קצב יכול להיות שלילי — ואז ה-yy קטן בכל צעד, והגרף יורד. מים שמתרוקנים ממיכל, סוללה שנגמרת, מרחק שמתקצר.

ובכיתה ח תלמדו את הנוסחה שמחשבת אותו משתי נקודות כלשהן — היא בדיוק אותו רעיון, כתוב בקיצור.

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הטעות של קצב ההשתנות.

הפרשי y שווים⇒תמיד קצב אחיד\text{הפרשי } y \ \text{שווים} \Rightarrow \text{תמיד קצב אחיד}
רק אם גם הפרשי x שווים\text{רק אם גם הפרשי } x \ \text{שווים}

הבדיקה תקפה כשה-xx מתקדם בצעדים שווים. אם ה-xx קופץ 1, 2, 5 — צריך לחלק בהפרש, לא רק לחסר.

מכונית עברה 180 ק״מ בשעתיים. מהו הקצב?

Show the answer and the solution

90 קמ״ש — המרחק חלקי הזמן. בגרף זה השיפוע: כמה עולים על כל צעד ימינה.

שני קווים בגרף — של הולך ושל רוכב. איך מזהים את הרוכב?

Show the answer and the solution

הקו התלול יותר: על כל דקה הוא צובר יותר מרחק. תלילות היא מהירות.

Exercises

Exercise 1

בטבלה: (1, 7)(1,\, 7), (2, 10)(2,\, 10), (3, 13)(3,\, 13). מהו קצב ההשתנות?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

10−7=310 - 7 = 3

הפרש ראשון

13−10=313 - 10 = 3

והשני — זהה

אותו הפרש בכל צעד — קצב אחיד, וגרף ישר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי הנוסחה של הטבלה (1, 7)(1,\, 7), (2, 10)(2,\, 10), (3, 13)(3,\, 13)?

  1. y=3x+4y = 3x + 4
  2. y=7x+3y = 7x + 3
  3. y=3x+7y = 3x + 7
  4. y=3xy = 3x
Show the answer and the solution

Answer: A y=3x+4y = 3x + 4

Worked solution:

y=3x+by = 3x + b

הקצב הוא המקדם

7=3+b⇒b=4\begin{aligned}7 &= 3 + b \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

מציבים זוג אחד

בדיקה על זוג אחר: 3⋅3+4=133 \cdot 3 + 4 = 13.

Check the answer on elev

Exercise 3

בטבלה: (1, 2)(1,\, 2), (2, 5)(2,\, 5), (3, 10)(3,\, 10). האם הקצב אחיד?

  1. אי אפשר לדעת
  2. כן, הקצב 5
  3. לא
  4. כן, הקצב 3
Show the answer and the solution

Answer: C לא

Worked solution:

5−2=35 - 2 = 3

הפרש ראשון

10−5=510 - 5 = 5

הפרש שני — שונה

הפרשים שונים — הגרף מעוקל, לא ישר. ההפרשים 3 ואז 5

Check the answer on elev

Exercise 4

מיכל מתרוקן: (0, 100)(0,\, 100), (1, 92)(1,\, 92), (2, 84)(2,\, 84). מהו קצב ההשתנות?

Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

92−100=−892 - 100 = -8

הפרש ראשון

84−92=−884 - 92 = -8

זהה

קצב שלילי — הגרף יורד, והמיכל מתרוקן ב-8 ליטר בכל שעה.

Check the answer on elev

Exercise 5

טבלה של כמות המשקעים לפי חודש: ינואר 70, פברואר 120, מרץ 120, אפריל 10, מאי 0, יוני 0, יולי 10 (מ״מ). האם הפונקציה משתנה בקצב אחיד?

  1. כן — בחורף בלבד
  2. כן — יש ערך לכל חודש
  3. לא — הקפיצות בין החודשים שונות זו מזו
  4. אי אפשר לדעת בלי גרף
Show the answer and the solution

Answer: C לא — הקפיצות בין החודשים שונות זו מזו

Worked solution:

70→120:+5070 \to 120: +50

קפיצה ראשונה

120→120:0120 \to 120: 0

קפיצה שנייה — שונה

120→10:−110120 \to 10: -110

ועוד יותר שונה

קצב אחיד פירושו אותה קפיצה בכל צעד. גם פונקציה שנתונה בטבלה בלבד — בלי נוסחה — היא פונקציה לכל דבר.

Check the answer on elev

Exercise 6

הפונקציה y=2x−6y = 2x - 6 — האם היא משתנה בקצב אחיד?

  1. רק כאשר xx חיובי
  2. רק בין −2-2 ל-55
  3. כן — כל תוספת של 1 ל-xx מוסיפה בדיוק 2 ל-yy
  4. לא — ה-yy משתנה ממקום למקום
Show the answer and the solution

Answer: C כן — כל תוספת של 1 ל-xx מוסיפה בדיוק 2 ל-yy

Worked solution:

−10,  −8,  −6-10,\; -8,\; -6

ב-x=−2,−1,0x = -2, -1, 0: קפיצות של 2

y=2x−6y = 2x - 6

המקדם של xx הוא הקצב

לכן הגרף שלה קו ישר. קצב אחיד = ישר; קצב משתנה (כמו המשקעים) = לא ישר.

Check the answer on elev

Exercise 7

רוכב עבר 45 ק״מ בשלוש שעות. מהו קצבו בקמ״ש?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

45:3=1545 : 3 = 15

קצב הוא תמיד «כמה לכל יחידה»: מחלקים את הדרך בזמן.

Check the answer on elev

Exercise 8

ברז ממלא 8 ליטר בדקה. כמה ליטרים ב-6 דקות?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

8×6=488 \times 6 = 48

קצב כפול זמן — הכמות.

Check the answer on elev

Exercise 9

בגרף מרחק-זמן קו עובר מ-(0,0)(0,0) ל-(2,120)(2, 120). מהי המהירות בקמ״ש?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

120:2=60120 : 2 = 60

עליית המרחק חלקי הזמן

השיפוע של הקו — הוא המהירות.

Check the answer on elev

Exercise 10

שני קווים בגרף מרחק-זמן. של מי המהירות גבוהה יותר?

  1. של הקו התלול יותר
  2. אי אפשר לדעת
  3. של הקו העליון
  4. של הקו הארוך יותר
Show the answer and the solution

Answer: A של הקו התלול יותר

Worked solution:

שיפוע=מהירות\text{שיפוע} = \text{מהירות}

גובה הקו אומר איפה אתה — התלילות אומרת כמה מהר.

Check the answer on elev

אחיד או לא אחיד

Exercise 11

האם קצב ההשתנות אחיד?

  • קצב אחיד
  • קצב לא אחיד
  • אוכלוסייה שמכפילה את עצמה כל שנה
  • כדור טניס שנורה כלפי מעלה — גובהו כפונקציה של הזמן
  • מכונית בנסיעה במהירות קבועה — הדרך כפונקציה של הזמן
  • נר גלילי דולק — גובה הנר כפונקציה של זמן הבעירה
Show the answer and the solution

Answer: מכונית בנסיעה במהירות קבועה — הדרך כפונקציה של הזמן — קצב אחיד · נר גלילי דולק — גובה הנר כפונקציה של זמן הבעירה — קצב אחיד · כדור טניס שנורה כלפי מעלה — גובהו כפונקציה של הזמן — קצב לא אחיד · אוכלוסייה שמכפילה את עצמה כל שנה — קצב לא אחיד

Worked solution:

ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

קבוע — הגרף קו ישר; משתנה — הגרף מתעקל

קצב אחיד נותן קו ישר. הכדור עולה, מאט, ויורד — הגרף שלו מתעקל; וההכפלה גדלה יותר ויותר בכל צעד.

Check the answer on elev

Exercise 12

בטבלה (1, 5)(1,\, 5), (2, 8)(2,\, 8), (4, 14)(4,\, 14) ההפרשים של yy הם 3 ו-6 — ולכן הקצב אינו אחיד.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

8−5=3  2−1=1\begin{aligned}8 - 5 &= 3 \ \\ \ 2 - 1 &= 1\end{aligned}

בצעד הראשון xx גדל ב-1, ו-yy ב-3

14−84−2=62=3\begin{aligned}\dfrac{14 - 8}{4 - 2} &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

בצעד השני xx קפץ ב-2 — מחלקים בצעד

הקצב 3 בשני הצעדים: הוא אחיד. הפרשי yy משווים ישירות רק כש-xx מתקדם בצעדים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 13

התאימו כל טבלה לקצב ההשתנות שלה

  • (0, 2),  (1, 6),  (2, 10)(0,\, 2) ,\; (1,\, 6) ,\; (2,\, 10)
  • (0, 9),  (1, 7),  (2, 5)(0,\, 9) ,\; (1,\, 7) ,\; (2,\, 5)
  • (1, 3),  (3, 9),  (5, 15)(1,\, 3) ,\; (3,\, 9) ,\; (5,\, 15)
  • (0, 1),  (1, 2),  (2, 4)(0,\, 1) ,\; (1,\, 2) ,\; (2,\, 4)
  • −2-2
  • 33
  • 44
  • לא אחיד
Show the answer and the solution

Answer: (0, 2),  (1, 6),  (2, 10)(0,\, 2) ,\; (1,\, 6) ,\; (2,\, 10) — 44 · (0, 9),  (1, 7),  (2, 5)(0,\, 9) ,\; (1,\, 7) ,\; (2,\, 5) — −2-2 · (1, 3),  (3, 9),  (5, 15)(1,\, 3) ,\; (3,\, 9) ,\; (5,\, 15) — 33 · (0, 1),  (1, 2),  (2, 4)(0,\, 1) ,\; (1,\, 2) ,\; (2,\, 4) — לא אחיד

Worked solution:

6−2=4  10−6=4\begin{aligned}6 - 2 &= 4 \ \\ \ 10 - 6 &= 4\end{aligned}

הטבלה הראשונה: 4 בכל צעד

7−9=−27 - 9 = -2

השנייה יורדת: קצב שלילי

9−33−1=3\dfrac{9 - 3}{3 - 1} = 3

בשלישית xx קופץ ב-2 — מחלקים

2−1=1  4−2=2\begin{aligned}2 - 1 &= 1 \ \\ \ 4 - 2 &= 2\end{aligned}

ברביעית ההפרשים שונים

הטבלה השלישית היא המלכודת: הפרשי yy הם 6, אבל כל צעד של xx הוא 2 — הקצב 3.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade