Solving an equation with a graph

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כבר פתרנו משוואות מהצורה ax+b=cx+dax + b = cx + d — העברנו אגפים והגענו למספר. עכשיו נראה את אותה משוואה בעיניים, ואגב כך נבין מה בעצם חיפשנו כל הזמן.

כל אגף הוא פונקציה בפני עצמו

ניקח את המשוואה 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5. הרעיון כולו הוא לשכוח לרגע שיש כאן סימן שוויון, ולהסתכל על כל אגף בנפרד — כל אחד מהם הוא פונקציה, ולכל אחד יש גרף.

y=2x−4y = 2x - 4

האגף השמאלי הפך לפונקציה.

y=−x+5y = -x + 5

והאגף הימני לפונקציה שנייה.

נקודת החיתוך היא הפתרון

בכל נקודה על הישר הראשון הגובה הוא 2x−42x - 4, ובכל נקודה על השני הגובה הוא −x+5-x + 5. בנקודת החיתוך שני הגבהים הם אותו מספר — וזה בדיוק מה שהמשוואה מבקשת.

ה-xx של נקודת החיתוך הוא הפתרון של המשוואה

אותה משוואה, שתי דרכים

פתרו 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5 גרפית, ובדקו באלגברה.

x=3x = 3

מהגרף: הישרים נחתכים מעל x=3x = 3

2x+x=5+42x + x = 5 + 4

ובאלגברה — מעבירים אגפים

3x=9 ⇒ x=3\begin{aligned}3x &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

אותה תשובה בדיוק

2⋅3−4=2  −3+5=2\begin{aligned}2 \cdot 3 - 4 &= 2 \ \\ \ -3 + 5 &= 2\end{aligned}

ובדיקה: שני האגפים נותנים 2 — וזה גובה נקודת החיתוך

שימו לב מה עוד קיבלנו בחינם: ה-yy של נקודת החיתוך — כאן 2 — הוא הערך המשותף של שני האגפים בפתרון. בבדיקת הצבה מחשבים אותו בכל מקרה, אז הגרף רק מראה אותו מראש.

שני ישרים נחתכים בנקודה (4, 7)(4,\, 7). מהו הפתרון של המשוואה שמשווה את שני הביטויים שלהם?

Show the answer and the solution

x=4x = 4. הפתרון הוא ה-xx של נקודת החיתוך, לא ה-yy. ה-7 הוא הערך שמקבלים שני האגפים כש-x=4x = 4 — שימושי לבדיקה, אבל אינו התשובה.

ומה אם אין חיתוך?

שני ישרים לא תמיד נפגשים בנקודה אחת. יש עוד שני מקרים:

∥\parallel

מקבילים — אותו שיפוע, ישרים שונים. הם לעולם לא נפגשים: למשוואה אין פתרון.

==

אותו ישר בדיוק — כל נקודה היא נקודת חיתוך: למשוואה אינסוף פתרונות.

הגרף מראה מיד כמה פתרונות יש, ואיפה בערך. האלגברה נותנת את המספר המדויק. קריאה כמו «בערך 2.7» היא רמז שמאמתים בחישוב — לא תשובה.

שלוש הטעויות של הפתרון הגרפי.

הפתרון=7\text{הפתרון} = 7
הפתרון=4\text{הפתרון} = 4

לוקחים את ה-yy של נקודת החיתוך. הפתרון הוא תמיד ה-xx.

חיתוך עם ציר x\text{חיתוך עם ציר } x
חיתוך בין שני הישרים\text{חיתוך בין שני הישרים}

מחפשים איפה ישר אחד חותך את הציר במקום איפה השניים נפגשים זה עם זה.

x≈2.7 סוףx \approx 2.7 \ \text{סוף}
x≈2.7 ⇒ לבדוק באלגברהx \approx 2.7 \ \Rightarrow \ \text{לבדוק באלגברה}

קריאה מגרף היא אומדן. היא מצוינת כדי לדעת שלא טעינו — לא כדי להחליף חישוב.

עכשיו נתרגל: לקרוא פתרון מחיתוך, ולעבור בין שתי הדרכים.

Exercises

Exercise 1

גרפי שני האגפים נחתכים בנקודה (3, 2)(3,\, 2). מהו הפתרון של המשוואה?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

(3, 2)(3,\, 2)

הפתרון הוא ה-xx של נקודת החיתוך

ה-2 הוא הערך המשותף של שני האגפים, ולא הפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו אלגברית: 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x+x=5+42x + x = 5 + 4

האיקסים לצד אחד, המספרים לשני

3x=93x = 9

מכנסים

x=3x = 3

מחלקים ב-3

אותה תשובה כמו מהגרף — וזו בדיוק הנקודה: שתי הדרכים אינן שתי שאלות.

Check the answer on elev

Exercise 3

מה מייצגת נקודת החיתוך של גרפי שני אגפי משוואה?

  1. השיפוע המשותף
  2. החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx
  3. ה-xx שבו שני האגפים שווים
  4. הערך הגבוה ביותר
Show the answer and the solution

Answer: C ה-xx שבו שני האגפים שווים

Worked solution:

ax+b=cx+dax + b = cx + d

שני גבהים שווים באותו xx

זו כל המשמעות של סימן השוויון במשוואה — ולכן הגרף מראה אותו ישירות.

Check the answer on elev

Exercise 4

לשני ישרים בעלי אותו שיפוע וחיתוכי ציר שונים אין נקודת חיתוך.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

m1=m2  b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \ \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

אותה נטייה, גובה שונה

הם מקבילים, ולכן למשוואה המתאימה אין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 5

המשוואה y=4x−1y = 4x - 1 ו-y=x+8y = x + 8 נפגשות. מהו xx בנקודת המפגש?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

4x−1=x+84x - 1 = x + 8

משווים את שני הגבהים

3x=93x = 9

מעבירים

x=3x = 3

מחלקים

«נפגשות» פירושו «אותו גובה» — וזה תמיד מתורגם לסימן שוויון.

Check the answer on elev

Exercise 6

ובאותה שאלה — מהו yy בנקודת המפגש?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

y=4⋅3−1=11\begin{aligned}y &= 4 \cdot 3 - 1 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

y=3+8=11\begin{aligned}y &= 3 + 8 \\ &= 11\end{aligned}

ובשני — אותו מספר, וזו הבדיקה

אם שני האגפים לא נותנים את אותו yy, הפתרון שגוי. זו בדיקה של חמש שניות.

Check the answer on elev

Exercise 7

תלמיד קרא מהגרף «בערך 2.7» ורשם זאת כתשובה סופית. מה היה עליו לעשות?

  1. לצייר גרף גדול יותר
  2. כלום — קריאה מגרף היא תשובה מדויקת
  3. לעגל ל-3
  4. לאמת את האומדן בפתרון אלגברי
Show the answer and the solution

Answer: D לאמת את האומדן בפתרון אלגברי

Worked solution:

x≈2.7x \approx 2.7

האומדן מהגרף

ax+b=cx+dax + b = cx + d

והמספר המדויק מגיע מהאלגברה

הגרף נותן כיוון ומספר פתרונות; המספר המדויק מגיע מהאלגברה. שתי הדרכים משלימות, ואף אחת אינה מייתרת את השנייה.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשתי חברות סלולר: הראשונה גובה 30 ש״ח ועוד 2 ש״ח לשעת שיחה, השנייה 10 ש״ח ועוד 4 ש״ח לשעה. אחרי כמה שעות שיחה המחיר זהה?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

y=2x+30  y=4x+10\begin{aligned}y &= 2x + 30 \ \\ \ y &= 4x + 10\end{aligned}

שתי פונקציות — שני ישרים

2x+30=4x+102x + 30 = 4x + 10

«מחיר זהה» פירושו נקודת חיתוך

20=2x ⇒ x=10\begin{aligned}20 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

זו השאלה הנפוצה ביותר בנושא: «מתי משתלם יותר» היא תמיד שאלה על נקודת חיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 9

שני גרפים נחתכים ב-(5, 8)(5,\, 8). שורה אחת שגויה

פתרון המשוואה: x=5\text{פתרון המשוואה: } x = 5
פתרון המשוואה: x=8\text{פתרון המשוואה: } x = 8
Show the answer and the solution

Answer: פתרון המשוואה: x=8\text{פתרון המשוואה: } x = 8 → פתרון המשוואה: x=5\text{פתרון המשוואה: } x = 5

Worked solution:

(5, 8) ⇒ x=5(5,\, 8) \ \Rightarrow \ x = 5

הפתרון הוא ה-xx

הפתרון הוא תמיד ה-xx. ה-yy הוא הערך שמקבלים שני האגפים שם.

Check the answer on elev

Exercise 10

לאיזו דרך מתאים כל משפט?

  • גרף
  • אלגברה
  • מראה שהישרים מקבילים
  • נותן את המספר המדויק
  • עובד גם כששני הפתרונות רחוקים מאוד
  • רואים מיד כמה פתרונות יש
Show the answer and the solution

Answer: רואים מיד כמה פתרונות יש — גרף · נותן את המספר המדויק — אלגברה · מראה שהישרים מקבילים — גרף · עובד גם כששני הפתרונות רחוקים מאוד — אלגברה

Worked solution:

ax+b=cx+dax + b = cx + d

אותה שאלה, שתי דרכים לענות

הגרף עונה על «כמה ואיפה בערך», האלגברה על «כמה בדיוק». במבחן משתמשים בשתיהן — האחת בודקת את השנייה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade