Commutative and associative laws

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני חוקים שנראים מובנים מאליהם — ודווקא בגללם נופלים. שניהם אומרים שמותר לסדר מחדש תרגיל בלי לשנות את התוצאה. השאלה האמיתית היא מתי מותר, ועל זה כל השיעור.

חוק החילוף — להחליף מקומות

בחיבור ובכפל אפשר להחליף בין שני האיברים, והתוצאה לא זזה:

a+b=b+aa⋅b=b⋅a\begin{aligned}a + b &= b + a \qquad a \cdot b \\ &= b \cdot a\end{aligned}

הטעות של החילוף.

10−4=4−1010 - 4 = 4 - 10
10−4≠4−1010 - 4 \neq 4 - 10

שישה מול מינוס שישה. בחיסור הסדר קובע.

12:3=3:1212 : 3 = 3 : 12
12:3≠3:1212 : 3 \neq 3 : 12

ארבע מול רבע. בחילוק הסדר קובע.

האם 8−58 - 5 שווה ל-5−85 - 8?

Show the answer and the solution

לא. 8−5=38-5=3 ואילו 5−8=−35-8=-3. חוק החילוף עובד רק בחיבור ובכפל — בחיסור הסדר הוא חלק מהתרגיל.

חוק הקיבוץ — לבחור מי מתחבר עם מי

כשיש שלושה איברים ויותר, חוק הקיבוץ מרשה לבחור אילו מהם לחשב קודם. הסוגריים זזות, התוצאה לא:

(a+b)+c=a+(b+c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\begin{aligned}(a + b) + c &= a + (b + c) \qquad (a \cdot b) \cdot c \\ &= a \cdot (b \cdot c)\end{aligned}

בפועל משתמשים בשני החוקים יחד: החילוף מזיז את המספרים, והקיבוץ מחליט מי נכנס לסוגריים. זה מה שמאפשר לחשב 4⋅27⋅254 \cdot 27 \cdot 25 בראש — מזיזים את ה-25 ליד ה-4, וכופלים קודם אותם.

חשבו בדרך נוחה: 8⋅17⋅1258 \cdot 17 \cdot 125

Show the answer and the solution

17,000. חוק החילוף מזיז את ה-125 ליד ה-8, וחוק הקיבוץ מרשה לכפול אותם קודם: 8⋅125=10008 \cdot 125 = 1000, ואז 1000⋅171000 \cdot 17.

ומה עם החיסור והחילוק?

גם חוק הקיבוץ אינו חל עליהם. בדקו: (20−8)−3=9(20 - 8) - 3 = 9, אבל 20−(8−3)=1520 - (8 - 3) = 15. אותם שלושה מספרים, אותו סדר — ורק הסוגריים זזו.

יש דרך לעקוף את זה, ולומדים אותה בהמשך: כל חיסור אפשר לכתוב כחיבור של מספר נגדי (20−8=20+(−8)20 - 8 = 20 + (-8)), וכל חילוק ככפל בהופכי. ברגע שהכול הופך לחיבור וכפל — שני החוקים חוזרים לתוקף.

הטעות של הקיבוץ.

(20−8)−3=20−(8−3)(20 - 8) - 3 = 20 - (8 - 3)
9≠159 \neq 15

בחיסור, הזזת סוגריים משנה את התשובה. לא מזיזים סוגריים בחיסור ובחילוק.

Exercises

Exercise 1

באיזו פעולה אין חוק חילוף?

  1. חיסור
  2. חיבור
  3. בכולן יש
  4. כפל
Show the answer and the solution

Answer: A חיסור

Worked solution:

7−3≠3−77-3 \neq 3-7

גם בחילוק אין — הסדר שם חלק מהמשמעות.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו בדרך נוחה: 25⋅17⋅425 \cdot 17 \cdot 4

Show the answer and the solution

Answer: 1700

Worked solution:

25⋅4=10025 \cdot 4 = 100

חילוף וקיבוץ

100⋅17=1700100 \cdot 17 = 1700
Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו: 37+58+337 + 58 + 3

Show the answer and the solution

Answer: 98

Worked solution:

37+3=4037 + 3 = 40

הזוג שמשלים לעשרת

40+58=9840 + 58 = 98
Check the answer on elev

Exercise 4

כמה זה (20−8)−3(20 - 8) - 3?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

12−3=912 - 3 = 9

בחיסור אין חוק קיבוץ: מיקום הסוגריים משנה את התוצאה.

Check the answer on elev

Exercise 5

וכמה זה 20−(8−3)20 - (8 - 3)?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

20−5=1520 - 5 = 15

אותם מספרים, רק הסוגריים זזו — ובחיסור זה משנה הכול.

Check the answer on elev

Exercise 6

חוק הקיבוץ חל על…

  1. אף פעולה
  2. כל ארבע הפעולות
  3. חיסור וחילוק
  4. חיבור וכפל בלבד
Show the answer and the solution

Answer: D חיבור וכפל בלבד

Worked solution:

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c)

רק לחיבור ולכפל. בחיסור ובחילוק שינוי הקיבוץ משנה את התשובה.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו: 8⋅125⋅98 \cdot 125 \cdot 9

Show the answer and the solution

Answer: 9000

Worked solution:

8⋅125=10008 \cdot 125 = 1000
1000⋅9=90001000 \cdot 9 = 9000

מחפשים את הזוג שנותן מספר עגול: 8 כפול 125 הם 1000, והשאר קל.

Check the answer on elev

Exercise 8

a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a — איזה חוק?

  1. סדר פעולות
  2. חוק החילוף
  3. חוק הקיבוץ
  4. חוק הפילוג
Show the answer and the solution

Answer: B חוק החילוף

Worked solution:

החלפת מקומות\text{החלפת מקומות}

חוק החילוף מדבר על סדר; חוק הקיבוץ מדבר על מיקום הסוגריים. שניים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו: 2⋅43⋅52 \cdot 43 \cdot 5

Show the answer and the solution

Answer: 430

Worked solution:

2⋅5=102 \cdot 5 = 10
10⋅43=43010 \cdot 43 = 430

2 ו-5 נותנים 10 — מחפשים אותם קודם, ואז הכפל נעשה בראש.

Check the answer on elev

Exercise 10

איך אפשר בכל זאת להחיל את חוק החילוף על חיסור?

  1. להשתמש בסוגריים
  2. להפוך את הסימן בסוף
  3. לכתוב את החיסור כחיבור של מספר נגדי
  4. אי אפשר לעולם
Show the answer and the solution

Answer: C לכתוב את החיסור כחיבור של מספר נגדי

Worked solution:

20−8=20+(−8)20 - 8 = 20 + (-8)

ברגע שהכול חיבור — החוקים חוזרים לתוקף.

Check the answer on elev

Exercise 11

חשבו: 4⋅27⋅254 \cdot 27 \cdot 25

Show the answer and the solution

Answer: 2700

Worked solution:

4⋅25=1004 \cdot 25 = 100
100⋅27=2700100 \cdot 27 = 2700

4 כפול 25 הם 100. חוק החילוף מרשה לסדר מחדש כדי להגיע לזה.

Check the answer on elev

ומה עם החיסור והחילוק?

Exercise 12

בכל זוג: האם הסרת הסוגריים משנה את התוצאה?

  • אותה תוצאה
  • תוצאה שונה
  • (25⋅4)+9(25 \cdot 4) + 9 מול 25⋅4+925 \cdot 4 + 9
  • (30+10):5(30 + 10) : 5 מול 30+10:530 + 10 : 5
  • 120:(60:2)120 : (60 : 2) מול 120:60:2120 : 60 : 2
  • 200−(70−20)200 - (70 - 20) מול 200−70−20200 - 70 - 20
Show the answer and the solution

Answer: (25⋅4)+9(25 \cdot 4) + 9 מול 25⋅4+925 \cdot 4 + 9 — אותה תוצאה · 120:(60:2)120 : (60 : 2) מול 120:60:2120 : 60 : 2 — תוצאה שונה · 200−(70−20)200 - (70 - 20) מול 200−70−20200 - 70 - 20 — תוצאה שונה · (30+10):5(30 + 10) : 5 מול 30+10:530 + 10 : 5 — תוצאה שונה

Worked solution:

120:(60:2)=4120 : (60 : 2) = 4

עם הסוגריים

120:60:2=1120 : 60 : 2 = 1

ובלעדיהם

בחיסור ובחילוק הסוגריים קובעים — הזזתם משנה את התוצאה. בזוג הראשון הסוגריים מיותרים, כי הכפל ממילא קודם לחיבור.

Check the answer on elev

Exercise 13

150−(40+25)150 - (40 + 25) שווה ל-150−40−25150 - 40 - 25

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

150−65=85150 - 65 = 85
150−40−25=85150 - 40 - 25 = 85

כשמסירים סוגריים אחרי מינוס, כל איבר שבפנים מחליף סימן: החיבור שבפנים הופך לחיסור שני.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade