Zero, one and the reciprocal

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע פעולות החשבון מתנהגות אותו דבר עם כל המספרים — חוץ משניים. לאפס ולאחד יש תפקיד שאין לאף מספר אחר, ומי שמכיר אותו חוסך לעצמו הרבה טעויות באלגברה.

למה אסור לחלק באפס

כדי להבין את זה צריך להיזכר מה חילוק אומר. 6:2=36 : 2 = 3 אינו כלל שהומצא — הוא אומר: «3 הוא המספר שכפול 2 נותן 6».

a:ba : b הוא המספר שכפול bb נותן aa

הכלל שאין לו יוצא מן הכלל

חילוק באפס אינו מוגדר. לא «אפס», לא «אינסוף», לא «שגיאה» — פשוט אין תשובה. וזה נכון גם ל-0:00 : 0.

כמה זה 0:70 : 7?

Show the answer and the solution

0, וזה מוגדר היטב. אפס כפול 7 הוא 0, אז התשובה קיימת ויחידה. המלכודת היא רק כשהאפס נמצא במכנה, כלומר כשמחלקים בו.

וזו גם הסיבה שבמשוואה אסור לחלק את שני האגפים בביטוי שעלול להיות אפס. בכיתה ח תפגשו את זה כשתחלקו ב-xx — ותאבדו פתרון בלי לשים לב.

איברים נייטרליים: 0 ו-1

יש מספר אחד שאפשר לחבר בלי לשנות כלום, ומספר אחד שאפשר לכפול בלי לשנות כלום. קוראים להם איברים נייטרליים — «נייטרלי» פירושו שאינו מתערב.

a+0=0+a=a\begin{aligned}a + 0 &= 0 + a \\ &= a\end{aligned}

0 הוא הנייטרלי של החיבור. מוסיפים אותו — שום דבר לא זז.

a⋅1=1⋅a=a\begin{aligned}a \cdot 1 &= 1 \cdot a \\ &= a\end{aligned}

1 הוא הנייטרלי של הכפל. כופלים בו — שום דבר לא זז.

ואל תחליפו ביניהם: כפל ב-0 מוחק הכול (a⋅0=0a \cdot 0 = 0), וחיבור של 1 משנה (a+1≠aa + 1 \neq a). לכל פעולה הנייטרלי שלה, ורק שלה.

זה נשמע מובן מאליו, אבל בלעדיו אי אפשר לעשות אלגברה: כשכותבים x=1xx = 1x, או כשמוסיפים 0 כדי «לא לשנות כלום», משתמשים בדיוק בשני הכללים האלה.

בביטוי x+5−5x + 5 - 5 — מה נשאר?

Show the answer and the solution

xx. 5−5=05 - 5 = 0, ו-x+0=xx + 0 = x. זה בדיוק המהלך שעושים כשמעבירים אבר במשוואה — מוסיפים לשני האגפים את הנגדי, כדי לקבל אפס.

מספרים הופכיים

לכל מספר יש נגדי — מה שמחברים כדי לקבל 0. ובדיוק באותו אופן, לכל מספר שונה מאפס יש הופכי — מה שכופלים כדי לקבל 1.

ההופכי של מספר הוא המספר שכפול המקורי נותן 1

a⋅1a=1a \cdot \frac{1}{a} = 1
2 ⟷ 122 \ \longleftrightarrow \ \frac{1}{2}

כי 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = 1.

35 ⟷ 53\frac{3}{5} \ \longleftrightarrow \ \frac{5}{3}

בשבר פשוט הופכים את המונה והמכנה.

1 ⟷ 11 \ \longleftrightarrow \ 1

1 הוא ההופכי של עצמו — המקרה היחיד ביחד עם −1-1.

0 ⟷ —0 \ \longleftrightarrow \ \text{---}

לאפס אין הופכי. אין מספר שכפול 0 נותן 1 — וזו בדיוק אותה סיבה שאסור לחלק בו.

ועכשיו אפשר לסגור הבטחה מהיחידה על חוקי החילוף והקיבוץ. שם ראינו שבחיסור ובחילוק אין חוקי חילוף וקיבוץ — והבטחנו דרך לעקוף. הנה היא:

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)

כל חיסור הוא חיבור של הנגדי.

a:b=a⋅1ba : b = a \cdot \frac{1}{b}

וכל חילוק הוא כפל בהופכי.

ברגע שהכול כתוב כחיבור וככפל — שני החוקים חוזרים לתוקף, ומותר שוב לסדר מחדש כרצוננו. זה לא טריק: זו הסיבה שהחיסור והחילוק בכלל קיימים.

החוק חוזר

חשבו 20−8−520 - 8 - 5 בשתי דרכים, אחרי שהופכים הכול לחיבור.

20+(−8)+(−5)20 + (-8) + (-5)

כותבים כל חיסור כחיבור של נגדי

20+(−13)=720 + (-13) = 7

ועכשיו מותר לקבץ את שני השליליים

(20−8)−5=12−5=7\begin{aligned}(20 - 8) - 5 &= 12 - 5 \\ &= 7\end{aligned}

אותה תשובה כמו בדרך הרגילה

מהו ההופכי של 27\frac{2}{7}?

Show the answer and the solution

72\frac{7}{2}. בודקים: 27⋅72=1414=1\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{14}{14} = 1. בשבר פשוט, «הופכי» הוא ממש היפוך המונה והמכנה — ומשם השם.

ארבע הטעויות של הפרק.

6:0=06 : 0 = 0
6:0=לא מוגדר6 : 0 = \text{לא מוגדר}

«לא מוגדר» אינו מספר. תשובה 0 כאן היא טעות, לא קירוב.

0:0=10 : 0 = 1
0:0=לא מוגדר0 : 0 = \text{לא מוגדר}

כאן יש יותר מדי מועמדים, ולכן אי אפשר לבחור אחד.

a⋅0=aa \cdot 0 = a
a⋅0=0a \cdot 0 = 0

בלבול בין שני הנייטרליים. 0 נייטרלי לחיבור, לא לכפל.

ההופכי של 5 הוא −5\text{ההופכי של } 5 \text{ הוא } -5
ההופכי של 5 הוא 15\text{ההופכי של } 5 \text{ הוא } \frac{1}{5}

−5-5 הוא הנגדי — מה שמחברים כדי לקבל 0. ההופכי הוא מה שכופלים כדי לקבל 1.

עכשיו נתרגל את שלושתם.

Exercises

Exercise 1

כמה זה 7:07 : 0?

  1. 7
  2. לא מוגדר
  3. 0
  4. אינסוף
Show the answer and the solution

Answer: B לא מוגדר

Worked solution:

?⋅0=7? \cdot 0 = 7

אין מספר שעונה על כך

כל מספר כפול אפס נותן אפס, ולעולם לא 7. לכן אין תשובה כלל.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה זה 0:90 : 9?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

0⋅9=00 \cdot 9 = 0

התשובה קיימת ויחידה

כשהאפס הוא המחולק הכול תקין. רק אפס במחלק הורס את השאלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

0:00 : 0 שווה ל-1, כי כל מספר חלקי עצמו הוא 1.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

5⋅0=0  7⋅0=0\begin{aligned}5 \cdot 0 &= 0 \ \\ \ 7 \cdot 0 &= 0\end{aligned}

שני מועמדים — וגם כל השאר

כאן יש אינסוף תשובות אפשריות, ולכן אי אפשר לבחור אחת. גם 0:00 : 0 אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה זה 138⋅1138 \cdot 1?

Show the answer and the solution

Answer: 138

Worked solution:

a⋅1=aa \cdot 1 = a

1 הוא הנייטרלי של הכפל

אין כאן חישוב — יש כלל.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה זה 138⋅0138 \cdot 0?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

a⋅0=0a \cdot 0 = 0

כפל באפס מוחק הכול

שימו לב להבדל מהשאלה הקודמת: 1 אינו מתערב, 0 מוחק. שניהם מיוחדים — כל אחד אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 6

איזה מספר הוא הנייטרלי של החיבור?

  1. 0
  2. כל מספר
  3. 1
  4. אין כזה
Show the answer and the solution

Answer: A 0

Worked solution:

a+0=aa + 0 = a

שום דבר לא זז

1 הוא הנייטרלי של הכפל. לכל פעולה יש נייטרלי משלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו ההופכי של 4? ענו בשבר עשרוני.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1

ההופכי הוא 14\frac{1}{4}

14=0.25\frac{1}{4} = 0.25

ובעשרוני

הופכי — כופלים ומקבלים 1. נגדי — מחברים ומקבלים 0. שני דברים שונים לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 8

נגדי או הופכי?

  • נגדי
  • הופכי
  • כופלים ומקבלים 1
  • מחברים ומקבלים 0
  • של 5 — הוא −5-5
  • של 5 — הוא 15\frac{1}{5}
Show the answer and the solution

Answer: מחברים ומקבלים 0 — נגדי · כופלים ומקבלים 1 — הופכי · של 5 — הוא −5-5 — נגדי · של 5 — הוא 15\frac{1}{5} — הופכי

Worked solution:

5+(−5)=05 + (-5) = 0

הנגדי — חיבור

5⋅15=15 \cdot \frac{1}{5} = 1

וההופכי — כפל

הבלבול בין השניים הוא הטעות המרכזית של הפרק. השאלה תמיד: איזו פעולה, ואיזו תוצאה.

Check the answer on elev

Exercise 9

לאפס אין מספר הופכי.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

?⋅0=1? \cdot 0 = 1

אין מספר כזה

וזו בדיוק אותה סיבה שאי אפשר לחלק באפס — שתי אמירות של אותה עובדה.

Check the answer on elev

Exercise 10

השלימו את ההופכיים

ההופכי של 10 הוא אחד חלקי ____, וההופכי של השבר 1/8 הוא ____

Show the answer and the solution

Answer: ההופכי של 10 הוא אחד חלקי 10, וההופכי של השבר 1/8 הוא 8

Check the answer on elev

Exercise 11

חשבו בעזרת הנייטרליים: (17−17)⋅45+1⋅6(17 - 17) \cdot 45 + 1 \cdot 6

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

17−17=017 - 17 = 0

הסוגריים מתאפסות

0⋅45=00 \cdot 45 = 0

וכפל באפס מוחק את כל האיבר

1⋅6=61 \cdot 6 = 6

וכפל ב-1 אינו משנה דבר

מי שזיהה את שני הכללים לא חישב כאן כלום. זו בדיוק התועלת שלהם.

Check the answer on elev

Exercise 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

a⋅1=aa \cdot 1 = a
a+0=aa + 0 = a
a:0=0a : 0 = 0
Show the answer and the solution

Answer: a:0=0a : 0 = 0 → a:0=לא מוגדרa : 0 = \text{לא מוגדר}

Worked solution:

a⋅1=a  a+0=a\begin{aligned}a \cdot 1 &= a \ \\ \ a + 0 &= a\end{aligned}

שני הנייטרליים, נכונים

a:0=לא מוגדרa : 0 = \text{לא מוגדר}

והשלישית מנסה לתת ערך למה שאין לו

שתי השורות הראשונות הן הנייטרליים. השלישית מנסה לתת ערך למשהו שאין לו ערך.

Check the answer on elev

Exercise 13

כתבו את 30−12−830 - 12 - 8 כחיבור של נגדיים וחשבו.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

30+(−12)+(−8)30 + (-12) + (-8)

כל חיסור הופך לחיבור של נגדי

−12+(−8)=−20-12 + (-8) = -20

ועכשיו מותר לקבץ

30−20=1030 - 20 = 10

מחברים

אחרי ההפיכה לחיבור חוקי החילוף והקיבוץ חוזרים לתוקף — זו כל התועלת במהלך.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade