רשימה מסודרת ועקרון הכפל · ספירה וצירופים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

שאלת ספירה שואלת כמה אפשרויות יש — לא מה הן.

רשימה מסודרת

הדרך הבטוחה להתחיל: רשימה מסודרת. מקבעים את הבחירה הראשונה, ועוברים על כל האפשרויות של השנייה.

רק אחר כך מחליפים את הראשונה. כך לא שוכחים מקרה, ולא סופרים מקרה פעמיים.

בפלאפלייה בוחרים לחם (פיתה או לאפה), רוטב אחד מתוך $4$ ושתייה אחת מתוך $3$ . כמה ארוחות שונות אפשר להרכיב?

להציג את התשובה והפתרון

$24$ . $2 \times 4 \times 3 = 24$ — כל לחם עם כל רוטב, וכל צירוף כזה עם כל שתייה.

כשיש תנאי — מתחילים מהמקום המוגבל

״ספרות שונות״, ״מספר זוגי״, ״גדול מ- $500$ ״ — תנאי מגביל מקום אחד.

קובעים קודם את המקום המוגבל ביותר. ספרת המאות מוגבלת תמיד: היא אינה $0$ .

בונים מספרים תלת-ספרתיים מהספרות $0, 1, 2, 3$ , בלי לחזור על ספרה. מאיזה מקום כדאי להתחיל?

להציג את התשובה והפתרון

מספרת המאות — שם יש תנאי. נסו למטה להתחיל דווקא באחדות, ותראו מה משתבש.

כמה מספרים מכילים את הספרה $7$ ?

$7$ באחדות: $7, 17, \ldots, 97$ — $10$ מספרים.

$7$ בעשרות: $70, 71, \ldots, 79$ — עוד $10$ . אבל $77$ נמצא בשתי הרשימות.

וכמה פעמים נכתבת הספרה $7$ כשכותבים את כל המספרים מ- $1$ עד $100$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$20$ . כאן סופרים ספרות ולא מספרים: ב- $77$ כותבים את $7$ פעמיים, ולכן לא מורידים דבר.

שלוש טעויות ספירה.

10 + 10 = 20

10 + 10 - 1 = 19

מספרים עד $100$ שמכילים את $7$ : המספר $77$ נמצא בשתי הרשימות.

4 \times 3 \times 2 = 24

3 \times 3 \times 2 = 18

מספרים תלת-ספרתיים מ- $0, 1, 2, 3$ : אסור ל- $0$ לעמוד בראש.

3 + 2 = 5

3 \times 2 = 6

$3$ חולצות ו- $2$ מכנסיים: בוחרים גם חולצה וגם מכנסיים — כופלים. מחברים רק כשבוחרים או מזה או מזה.

לפני שכופלים, שאלו: האם כל בחירה בשלב הראשון מתאימה לכל בחירה בשלב השני? אם לא — מחלקים למקרים, סופרים כל מקרה לחוד, ומחברים.

תרגילים

תרגיל 1

לנועה $4$ חולצות, $3$ חצאיות ו- $2$ זוגות נעליים. היא אף פעם לא לובשת את החולצה האדומה עם החצאית הוורודה. כמה תלבושות שונות (חולצה, חצאית ונעליים) יש לה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

4 \times 3 \times 2 = 24

כל התלבושות, בלי התנאי

1 \times 1 \times 2 = 2

האסורות: האדומה עם הוורודה, ועם כל אחד משני זוגות הנעליים

24 - 2 = 22

התשובה: $22$ . מי שמוריד רק $1$ שוכח שהצירוף האסור מופיע עם שני זוגות נעליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה מספרים תלת-ספרתיים גדולים מ- $500$ אפשר לכתוב בעזרת הספרות $1, 3, 5, 7$ בלבד? (מותר לחזור על ספרה.)

$32$
$16$
$64$
$12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $32$

הפתרון:

2

ספרת המאות: $5$ או $7$ — וכל מספר כזה גדול מ- $500$

4 \times 4 = 16

לעשרות ולאחדות — כל אחת מארבע הספרות

2 \times 16 = 32

התשובה: $32$ . $64$ הם כל המספרים, בלי התנאי; $12$ מתקבל אם אוסרים לחזור על ספרה; $16$ שוכח שיש למאות שתי אפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה מהמספרים $1, 2, 3, \ldots, 100$ מכילים את הספרה $5$ לפחות פעם אחת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

5, 15, 25, \ldots, 95

$10$ מספרים עם $5$ באחדות

50, 51, \ldots, 59

$10$ מספרים עם $5$ בעשרות

10 + 10 - 1 = 19

$55$ נמצא בשתי הרשימות

התשובה: $19$ . מי שעונה $20$ סופר את $55$ פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

למנעול של ארון בחדר הכושר יש קוד של $3$ ספרות, מ- $000$ עד $999$ . איתי זוכר רק שהספרה הראשונה אי-זוגית ושהספרה האחרונה גדולה מ- $6$ . כמה קודים עליו לנסות לכל היותר?

$1000$
$150$
$135$
$18$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $150$

הפתרון:

5

הראשונה אי-זוגית: $1, 3, 5, 7, 9$

10

האמצעית: כל ספרה, כולל $0$

3

האחרונה: $7, 8$ או $9$

5 \times 10 \times 3 = 150

התשובה: $150$ . $18$ מחבר ( $5 + 10 + 3$ ) במקום לכפול; $135$ שוכח ש- $0$ מותר באמצע קוד; $1000$ מתעלם ממה שאיתי זוכר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה מספרים אפשר לבנות מהספרות $1, 2, 3, 4$ בלבד? השלימו.

מה בונים	כמה מספרים
דו-ספרתי, מותר לחזור על ספרה	____
דו-ספרתי, ספרות שונות	____
תלת-ספרתי, ספרות שונות	____
תלת-ספרתי, מותר לחזור על ספרה	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: דו-ספרתי, מותר לחזור על ספרה: 16 · דו-ספרתי, ספרות שונות: 12 · תלת-ספרתי, ספרות שונות: 24 · תלת-ספרתי, מותר לחזור על ספרה: 64

הפתרון:

4 \times 4 = 16

כל ספרה יכולה לחזור

4 \times 3 = 12

הספרה השנייה — כל אחת חוץ מהראשונה

4 \times 3 \times 2 = 24

4 \times 4 \times 4 = 64

אין כאן $0$ , ולכן אין מקום מוגבל: לכל מקום כל הספרות שנשארו. האיסור לחזור הוא מה שמקטין את המספר בכל שלב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכל מקרה: כופלים את מספרי האפשרויות, או מחברים אותם?

כופלים
מחברים

ארוחה: מנה עם בשר מתוך $4$ , או מנה צמחונית מתוך $2$
בוחרים חולצה וגם מכנסיים
בוחרים ספרת עשרות, ואחריה ספרת אחדות
בוחרים שביל לעלות להר ושביל לרדת ממנו
מתנה: ספר אחד מתוך $5$ , או משחק אחד מתוך $3$
נוסעים לעיר באוטובוס או ברכבת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בוחרים חולצה וגם מכנסיים — כופלים · נוסעים לעיר באוטובוס או ברכבת — מחברים · בוחרים ספרת עשרות, ואחריה ספרת אחדות — כופלים · מתנה: ספר אחד מתוך $5$ , או משחק אחד מתוך $3$ — מחברים · בוחרים שביל לעלות להר ושביל לרדת ממנו — כופלים · ארוחה: מנה עם בשר מתוך $4$ , או מנה צמחונית מתוך $2$ — מחברים

הפתרון:

\times

בוחרים גם את זה וגם את זה — כל בחירה עם כל בחירה

+

בוחרים רק אחד מהשניים — שתי קבוצות נפרדות

המילה ״או״ בין שתי קבוצות אומרת לחבר. ״וגם״, ״ואחריו״, ״הלוך וחזור״ אומרות לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה מספרים תלת-ספרתיים זוגיים אפשר לבנות מהספרות $1, 2, 3, 4, 5$ , בלי לחזור על ספרה? עידו חישב כך. באיזו שורה הטעות?

5 \times 4 \times 3 = 60

60 : 2 = 30

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $60 : 2 = 30$ → $2 \times 4 \times 3 = 24$

הפתרון:

2

האחדות — המקום המוגבל: $2$ או $4$

4 \times 3

למאות ולעשרות — מה שנשאר

2 \times 4 \times 3 = 24

התשובה: $24$ . עידו הניח שחצי מהמספרים זוגיים. אבל רק $2$ מתוך $5$ הספרות זוגיות — מתחילים מהמקום המוגבל, האחדות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

השלימו.

בשורה $5$ נורות, וכל נורה דולקת או כבויה. יש ____ מצבים שונים לשורה. אם הנורה הראשונה חייבת לדלוק — יש ____ מצבים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בשורה $5$ נורות, וכל נורה דולקת או כבויה. יש 32 מצבים שונים לשורה. אם הנורה הראשונה חייבת לדלוק — יש 16 מצבים.

הפתרון:

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

לכל נורה שתי אפשרויות

1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

לנורה הראשונה נשארה אפשרות אחת

הפיתוי הוא $5 \times 2 = 10$ : מחברים $2 + 2 + \ldots$ במקום לכפול. כל נורה מכפילה את מספר המצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה מספרים דו-ספרתיים אי-זוגיים יש, שהספרות שלהם שונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

5

האחדות — המקום המוגבל: $1, 3, 5, 7, 9$

8

העשרות — לא $0$ , ולא ספרת האחדות

5 \times 8 = 40

התשובה: $40$ . מי שמתחיל בעשרות מקבל $9$ אפשרויות, ואז לאחדות לפעמים $4$ ולפעמים $5$ — אי אפשר לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה מהמספרים $1$ עד $100$ אינם מכילים את הספרה $3$ ?

$19$
$81$
$80$
$90$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $81$

הפתרון:

10 + 10 - 1 = 19

מכילים $3$ : באחדות או בעשרות, ו- $33$ פעם אחת

100 - 19 = 81

כל השאר

התשובה: $81$ . $80$ מוריד את $33$ פעמיים; $90$ שוכח את העשרות $30$ עד $39$ ; $19$ הם דווקא המספרים שכן מכילים $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev