מסלולים: שבכה, מפה ועץ · ספירה וצירופים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

בשכונה שהרחובות שלה יוצרים שבכה הולכים מ- $A$ ל- $B$ . בכל צעד זזים צומת אחד ימינה או למעלה.

מי שמנסה לצייר את כל המסלולים — שוכח אחד. יש דרך בטוחה: מספר ליד כל צומת.

מספר בכל צומת

לצמתים בשורה התחתונה ובעמודה השמאלית מגיעים בדרך אחת — הולכים ישר.

לכל צומת אחר מגיעים או משמאל או מלמטה. לכן המספר שלו הוא סכום שני המספרים.

ובשבכה של $2$ צעדים ימינה ו- $2$ צעדים למעלה?

להציג את התשובה והפתרון

$6$ . השורות מלמטה: $1, 1, 1$ ; אחר כך $1, 2, 3$ ; ולמעלה $1, 3, 6$ .

צומת חסום, צומת חובה

צומת חסום מקבל $0$ — אליו אי אפשר להגיע. החשבון ממשיך ממנו כרגיל.

ואם המסלול חייב לעבור בצומת $P$ — כופלים: המסלולים מ- $A$ ל- $P$ , כפול המסלולים מ- $P$ ל- $B$ .

מפה של ערים

מירושלים לתל אביב $3$ כבישים, ומתל אביב לחיפה $2$ . כל כביש ראשון מתאים לכל כביש שני: $3 \times 2 = 6$ .

אם יש גם $2$ כבישים ישירים לחיפה — זו דרך אחרת, ומחברים: $6 + 2 = 8$ .

המספר על כל קו: כמה כבישים שונים מחברים את שתי הערים.

\times

לאורך דרך אחת — בזה אחר זה: כופלים

+

בין דרכים שונות — זה או זה: מחברים

עץ אפשרויות

כשכל בחירה פותחת בחירות חדשות, מציירים עץ. כל מסלול מההתחלה עד הסוף הוא תוצאה אחת.

תמר מטילה מטבע $3$ פעמים — ובעץ $8$ מסלולים.

שלוש הטלות של מטבע

כל מסלול מלמעלה עד השורה התחתונה הוא תוצאה אחת:

2 \times 2 \times 2 = 8

תוצאות.

שלוש טעויות מסלולים.

3 + 2 = 5

3 \times 2 = 6

שלושה כבישים ואחריהם שניים: כל כביש ראשון עם כל כביש שני.

3 \times 2 \times 2 = 12

3 \times 2 + 2 = 8

הכבישים הישירים הם דרך אחרת, לא עוד שלב — מחברים אותם.

3 \times 2 = 6

10

שלושה צעדים ימינה ושניים למעלה אינם $3 \times 2$ מסלולים: רושמים מספר בכל צומת.

בשבכה — מספר בכל צומת. במפה — כפל לאורך הדרך, וחיבור בין דרכים שונות. בעץ — סופרים את הענפים בסוף.

תרגילים

תרגיל 1

הרחובות בשכונה של עומר יוצרים שבכה כמו בציור. עומר הולך מ- $A$ לבית הספר ב- $B$ , ובכל צעד הוא זז צומת אחד ימינה או למעלה. בכמה מסלולים שונים הוא יכול ללכת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

1,\ 1,\ 1,\ 1

השורה התחתונה

1,\ 2,\ 3,\ 4

השורה השנייה

1,\ 3,\ 6,\ 10

השורה השלישית

1,\ 4,\ 10,\ 20

השורה העליונה — ב- $B$ : $20$

התשובה: $20$ . מי שכופל $3 \times 3 = 9$ סופר צעדים, לא מסלולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המספר על כל קו הוא מספר הכבישים בין שתי הערים.

בכמה דרכים אפשר לנסוע מכפר סבא לתל אביב, דרך רעננה או דרך הוד השרון (בלי לחזור אחורה)?

$20$
$6$
$18$
$9$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $9$

הפתרון:

2 \times 3 = 6

דרך רעננה

3 \times 1 = 3

דרך הוד השרון

6 + 3 = 9

שתי דרכים שונות — מחברים

התשובה: $9$ . $18$ כופל גם בין שתי הדרכים; $20 = (2 + 3) \times (3 + 1)$ מחבר כבישים שאינם מתחברים זה לזה; $6$ שוכח את הדרך דרך הוד השרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשבכה שבציור הולכים מ- $A$ ל- $B$ , ובכל צעד זזים צומת אחד ימינה או למעלה. המסלול חייב לעבור בצומת $P$ . כמה מסלולים כאלה יש?

$5$
$10$
$4$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $6$

הפתרון:

2

מ- $A$ ל- $P$ : צעד ימינה וצעד למעלה, בשני סדרים

3

מ- $P$ ל- $B$ : שני צעדים ימינה ואחד למעלה — הצעד למעלה ראשון, שני או שלישי

2 \times 3 = 6

כל חלק ראשון עם כל חלק שני

התשובה: $6$ . $10$ הם כל המסלולים, בלי התנאי; $5$ מחבר במקום לכפול; $4$ הם דווקא המסלולים שעוקפים את $P$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תמר מטילה מטבע $3$ פעמים ורושמת את התוצאות לפי הסדר (למשל: עץ, פלי, עץ). בכמה מהסדרות יוצא ״עץ״ יותר פעמים מ״פלי״?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4$

הפתרון:

2 \times 2 \times 2 = 8

כל הסדרות

3

בדיוק שני ״עץ״: ה״פלי״ ראשון, שני או שלישי

1

שלושה ״עץ״

3 + 1 = 4

התשובה: $4$ . $3$ שוכח את הסדרה עץ-עץ-עץ; $1$ סופר רק אותה; $8$ הן כל הסדרות. ובלי חשבון: לכל סדרה יש ״תמונת ראי״ שבה עץ ופלי מתחלפים — אז בדיוק חצי מהסדרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשבכה שבציור הולכים מ- $A$ ל- $B$ : $4$ צעדים ימינה ו- $2$ למעלה, ובכל צעד צומת אחד ימינה או למעלה. כמה מסלולים יש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1

השורה התחתונה

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5

השורה האמצעית

1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15

השורה העליונה — ב- $B$ : $15$

התשובה: $15$ . מי שכופל $4 \times 2 = 8$ סופר צעדים, לא מסלולים; מי שמחבר $4 + 2 = 6$ סופר את אורך המסלול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכל שבכה הולכים מהפינה השמאלית התחתונה לימנית העליונה, ובכל צעד ימינה או למעלה. השלימו את מספר המסלולים.

השבכה	מסלולים
$1$ ימינה, $1$ למעלה	____
$2$ ימינה, $1$ למעלה	____
$2$ ימינה, $2$ למעלה	____
$3$ ימינה, $3$ למעלה	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1$ ימינה, $1$ למעלה: 2 · $2$ ימינה, $1$ למעלה: 3 · $2$ ימינה, $2$ למעלה: 6 · $3$ ימינה, $3$ למעלה: 20

הפתרון:

1 + 1 = 2

$1 \times 1$ : ימינה-למעלה או למעלה-ימינה

1,\ 2,\ 3

$2 \times 1$

1,\ 3,\ 6

$2 \times 2$ : השורה העליונה

1,\ 4,\ 10,\ 20

$3 \times 3$ : השורה העליונה

המספרים גדלים מהר: מ- $2 \times 2$ ל- $3 \times 3$ — פי יותר משלוש. ניחוש ״לפי השטח״ ( $9$ ) רחוק מאוד מ- $20$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מ- $A$ ל- $B$ יש $4$ כבישים, ומ- $B$ ל- $C$ יש $3$ . יש גם $2$ כבישים ישירים מ- $A$ ל- $C$ . רון חישב בכמה דרכים אפשר לנסוע מ- $A$ ל- $C$ . באיזו שורה הטעות?

4 + 3 = 7

7 + 2 = 9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $4 + 3 = 7$ → $4 \times 3 = 12$

הפתרון:

4 \times 3 = 12

דרך $B$ : כל כביש ראשון עם כל כביש שני

12 + 2 = 14

הכבישים הישירים — דרך אחרת, מחברים

התשובה: $14$ . רון חיבר את שני הקטעים של הדרך דרך $B$ . אבל עוברים בשניהם, בזה אחר זה — כופלים. רק בין הדרכים השונות מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מטילים מטבע $4$ פעמים ורושמים את התוצאות לפי הסדר. טענה: יש בדיוק $16$ סדרות שונות של תוצאות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

בכל הטלה העץ מתפצל לשניים

הטענה נכונה. בעץ: $2$ ענפים, אחר כך $4$ , $8$ , ובסוף $16$ . הפיתוי: $2 \times 4 = 8$ , או $4 + 4 = 8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נועם עולה $6$ מדרגות, ובכל צעד הוא עולה מדרגה אחת או שתיים. המדרגה ה- $3$ שבורה, ואסור לדרוך עליה. בכמה דרכים הוא יכול להגיע למדרגה ה- $6$ ?

$8$
$13$
$5$
$4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4$

הפתרון:

1,\ 1,\ 2

הקרקע, מדרגה $1$ ומדרגה $2$

0

מדרגה $3$ — שבורה, כמו צומת חסום

\begin{aligned}0 + 2 &= 2 \\ \ 2 + 0 &= 2\end{aligned}

מדרגות $4$ ו- $5$

2 + 2 = 4

מדרגה $6$

התשובה: $4$ . $13$ הן כל הדרכים — כולל $3 \times 3 = 9$ שדורכות על המדרגה השבורה, ו- $13 - 9 = 4$ . $8$ ו- $5$ הם מספרי הדרכים הרגילים למדרגות $5$ ו- $4$ . המדרגה השבורה מקבלת $0$ — והחשבון ממשיך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו לפי מספר האפשרויות, מהקטן לגדול.

מסלולים בשבכה של $1$ ימינה ו- $4$ למעלה
מסלולים בשבכה של $2$ ימינה ו- $2$ למעלה
מסלולים בשבכה של $2$ ימינה ו- $3$ למעלה
נסיעות: $4$ כבישים ואחריהם $3$
סדרות של $3$ הטלות מטבע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מסלולים בשבכה של $1$ ימינה ו- $4$ למעלה · מסלולים בשבכה של $2$ ימינה ו- $2$ למעלה · סדרות של $3$ הטלות מטבע · מסלולים בשבכה של $2$ ימינה ו- $3$ למעלה · נסיעות: $4$ כבישים ואחריהם $3$

הפתרון:

5

$1 \times 4$ : הצעד ימינה — באחד מחמישה מקומות

6

$2 \times 2$

2 \times 2 \times 2 = 8

מטבע

10

$2 \times 3$

4 \times 3 = 12

כבישים

$5 < 6 < 8 < 10 < 12$ . הפיתוי: לכפול את מידות השבכה — $1 \times 4 = 4$ , $2 \times 3 = 6$ — ולסדר לפי זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מספר בכל צומת

צומת חסום, צומת חובה

מפה של ערים

עץ אפשרויות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev