המקרה הגרוע ביותר, שובך היונים וזוגיות · ספירה וצירופים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

״כמה צריך לשלוף כדי להיות בטוחים?״ — זו לא שאלה של מזל.

מדמיינים יריב שמגיש לנו בכל פעם את הפריט הכי פחות מועיל. סופרים כמה אפשר לשלוף בלי להצליח — ומוסיפים אחד.

באותה מגירה — כמה גרביים צריך לשלוף כדי להיות בטוחים שיש גרב אחת מכל צבע?

להציג את התשובה והפתרון

$6$ . הגרוע ביותר: חמש מאותו צבע. השישית בהכרח מהצבע השני.

עקרון שובך היונים

$13$ יונים נכנסות ל- $12$ תאים — ובתא אחד לפחות יש שתיים.

לכן בקבוצה של $13$ ילדים יש בוודאות שניים שנולדו באותו חודש.

ושלושה באותו חודש? צריך יותר משניים בכל חודש: $2 \times 12 + 1 = 25$ ילדים.

בקופסה $4$ גולות אדומות, $6$ כחולות ו- $8$ ירוקות. כמה צריך לשלוף כדי להיות בטוחים שיש $3$ מאותו צבע?

להציג את התשובה והפתרון

$7$ . הגרוע ביותר: $2$ מכל צבע — $6$ גולות בלי שלישייה. השביעית משלימה. היו היריב למטה ובדקו.

כשהשאלה מבקשת צבע מסוים, היריב נותן קודם את כל השאר: $4 + 6 + 3 = 13$ .

מה לא משתנה

יש שאלות שבהן עושים צעד שוב ושוב, ושואלים לאן אפשר להגיע.

מחפשים משהו שלא משתנה בשום צעד — לרוב הזוגיות: זוגי או אי-זוגי.

פעילות אינטראקטיבית

$7$ כוסות הפוכות — בכל צעד הופכים בדיוק $2$

בהתחלה כל $7$ הכוסות הפוכות. כוס מודגשת היא כוס שעומדת — עוד אין כזו.

0

כוסות

הופכים שתי כוסות הפוכות: עכשיו $2$ עומדות.

0 \to 2

כוסות

הופכים כוס עומדת וכוס הפוכה: אחת ירדה ואחת עלתה — עדיין $2$ .

2 \to 2

כוסות

הופכים שתי הפוכות: $4$ עומדות.

2 \to 4

כוסות

בכל צעד מספר הכוסות העומדות גדל ב- $2$ , קטן ב- $2$ או לא משתנה — הוא תמיד זוגי. ו- $7$ אי-זוגי: אי אפשר להעמיד את כולן.

0,\ 2,\ 4,\ 6 \neq 7

כוסות

לעשות את הפעילות ב-elev

שלוש טעויות של ״בטוח״.

3

7

$5$ אדומות ו- $5$ כחולות, רוצים שתי כחולות: היריב מגיש קודם את כל האדומות.

2 + 2 + 2 = 6

2 + 2 + 2 + 1 = 7

המקרה הגרוע הוא $6$ גולות בלי הצלחה. התשובה גדולה ממנו באחת.

12

13

$12$ ילדים יכולים להיוולד כל אחד בחודש אחר. רק ה- $13$ מבטיח זוג.

״בטוח״ = הגרוע ביותר ועוד אחד. ״אפשר להגיע?״ — מחפשים מה נשמר בכל צעד, ובודקים אם המטרה שומרת עליו.

תרגילים

תרגיל 1

בשקית $10$ סוכריות תות, $8$ סוכריות מנטה ו- $3$ סוכריות לימון. כמה סוכריות צריך להוציא, בלי להסתכל, כדי להיות בטוחים שיצאה לפחות סוכריית לימון אחת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

10 + 8 = 18

הגרוע ביותר: כל סוכריות התות וכל סוכריות המנטה

18 + 1 = 19

התשובה: $19$ . מי שעונה $4$ שוכח שהיריב נותן קודם את מה שלא רוצים — ויש הרבה ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו המספר הקטן ביותר של תלמידים בכיתה שמבטיח ששלושה מהם לפחות נולדו באותו חודש?

$13$
$36$
$24$
$25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $25$

הפתרון:

2 \times 12 = 24

$24$ תלמידים יכולים להיוולד שניים בכל חודש — בלי שלושה

24 + 1 = 25

התלמיד הבא הוא השלישי בחודש כלשהו

התשובה: $25$ . $24$ עוד מאפשר שניים בכל חודש; $36$ מבטיח שלושה, אבל אינו הקטן ביותר; $13$ מבטיח רק שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

על הלוח כתובים המספרים $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . בכל צעד מוחקים שני מספרים וכותבים במקומם את ההפרש ביניהם (הגדול פחות הקטן), עד שנשאר מספר אחד. טענה: אפשר לבחור את הצעדים כך שבסוף יישאר $0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

סכום המספרים על הלוח — אי-זוגי

a + b \to a - b

מחיקת $a$ ו- $b$ וכתיבת $a - b$ מקטינה את הסכום ב- $2b$

21 \to 21 - 2b

מספר זוגי יורד — והסכום נשאר אי-זוגי בכל צעד

הטענה שגויה. בסוף הסכום הוא המספר היחיד שנשאר, והוא אי-זוגי — אז הוא לא $0$ . (אפשר לסיים ב- $1$ , ב- $3$ או ב- $5$ .)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

על השולחן $7$ כוסות, כולן הפוכות. בכל צעד חייבים להפוך בדיוק $2$ כוסות, ומותר להפוך כוס שכבר הפכו. מהו מספר הצעדים הקטן ביותר שאחריו כל הכוסות עומדות?

$4$
$3$
אי אפשר להגיע לזה
$7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אי אפשר להגיע לזה

הפתרון:

0

בהתחלה: $0$ כוסות עומדות

+2,\ 0,\ -2

צעד משנה את מספר הכוסות העומדות ב- $2$ , או לא משנה אותו

0,\ 2,\ 4,\ 6

המספר תמיד זוגי, ו- $7$ אי-זוגי

התשובה: אי אפשר. $4$ צעדים הם $8$ היפוכים — יותר מ- $7$ , אבל ההיפוך הנוסף מפיל כוס שכבר עמדה; $3$ צעדים מעמידים לכל היותר $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשקית $3$ גולות אדומות, $5$ כחולות ו- $7$ ירוקות. כמה גולות צריך לשלוף בלי להסתכל כדי להיות בטוחים ש... השלימו.

רוצים להיות בטוחים ש...	כמה לשלוף
יש $2$ מאותו צבע	____
יש $2$ ירוקות	____
יש גולה מכל צבע	____
יש $3$ מאותו צבע	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יש $2$ מאותו צבע: 4 · יש $2$ ירוקות: 10 · יש גולה מכל צבע: 13 · יש $3$ מאותו צבע: 7

הפתרון:

1 + 1 + 1 + 1 = 4

הגרוע: אחת מכל צבע

3 + 5 + 2 = 10

הגרוע: כל האדומות וכל הכחולות

5 + 7 + 1 = 13

הגרוע: כל הכחולות וכל הירוקות — בלי אדומה

2 + 2 + 2 + 1 = 7

הגרוע: שתיים מכל צבע

בכל שורה — הגרוע ביותר בלי הצלחה, ועוד אחת. ״גולה מכל צבע״: היריב מסתיר את הצבע הנדיר, אבל מגיש את שני הצבעים הגדולים עד הסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכל משפט: האם זה נכון בוודאות?

בטוח
לא בטוח

$12$ ילדים — שניים מהם נולדו באותו חודש
$13$ ילדים — שניים מהם נולדו באותו חודש
$14$ ילדים — שלושה מהם נולדו באותו יום בשבוע
$15$ ילדים — שלושה מהם נולדו באותו יום בשבוע
$367$ אנשים — לשניים מהם יום הולדת באותו תאריך
$8$ ילדים — שניים מהם נולדו באותו יום בשבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $13$ ילדים — שניים מהם נולדו באותו חודש — בטוח · $12$ ילדים — שניים מהם נולדו באותו חודש — לא בטוח · $8$ ילדים — שניים מהם נולדו באותו יום בשבוע — בטוח · $15$ ילדים — שלושה מהם נולדו באותו יום בשבוע — בטוח · $14$ ילדים — שלושה מהם נולדו באותו יום בשבוע — לא בטוח · $367$ אנשים — לשניים מהם יום הולדת באותו תאריך — בטוח

הפתרון:

12 + 1 = 13

חודשים: $12$ תאים

7 + 1 = 8

ימים בשבוע: $7$ תאים

2 \times 7 + 1 = 15

שלושה ביום אחד

366 + 1 = 367

תאריכים בשנה, כולל $29$ בפברואר

כשמספר הילדים שווה בדיוק למספר התאים ( $12$ חודשים, $14 = 2 \times 7$ ) — עדיין אפשר לפזר אותם בלי חזרה. רק עוד אחד מבטיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשקית $6$ סוכריות תות, $4$ מנטה ו- $5$ לימון. כמה סוכריות צריך להוציא בלי להסתכל כדי להיות בטוחים שיש $2$ סוכריות לימון? מאיה חישבה כך. באיזו שורה הטעות?

6 + 4 = 10

10 + 1 = 11

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $10 + 1 = 11$ → $10 + 2 = 12$

הפתרון:

6 + 4 = 10

הגרוע: כל התות וכל המנטה

10 + 2 = 12

ואחריהן צריך שתי סוכריות לימון

התשובה: $12$ . ״ועוד אחת״ נכון כשרוצים אחת. כשרוצים שתיים מצבע מסוים — מוסיפים שתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

על הלוח המספרים $1, 2, 3, \ldots, 8$ . בכל צעד מוחקים שני מספרים וכותבים במקומם את הסכום שלהם, עד שנשאר מספר אחד. טענה: המספר שנשאר הוא תמיד $36$ , בכל סדר של צעדים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1 + 2 + \cdots + 8 = 36

הסכום על הלוח בהתחלה

a + b \to a + b

מחיקת $a$ ו- $b$ וכתיבת $a + b$ לא משנה את הסכום

36

המספר האחרון הוא הסכום

הטענה נכונה. כאן הסכום כולו לא משתנה — לא רק הזוגיות שלו. מי שמנסה כמה סדרים ומסיק ״תמיד״ מנחש; מי שמוצא מה נשמר — מוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכיתה $30$ תלמידים. מהו המספר הגדול ביותר של תלמידים שאפשר להבטיח שנולדו כולם באותו חודש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2 \times 12 = 24

אפשר שבכל חודש רק שניים — אבל זה $24$ תלמידים בלבד

30 > 24

לכן בחודש כלשהו יש שלושה לפחות

3 \times 12 = 36 > 30

ארבעה אי אפשר להבטיח: אפשר לפזר $30$ עם לכל היותר $3$ בחודש

התשובה: $3$ . $30 : 12 = 2.5$ — ומעגלים למעלה. מי שעונה $2$ מעגל למטה; מי שעונה $30 - 24 = 6$ מבלבל בין המספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השלימו.

בכד $9$ כדורים אדומים ו- $9$ כחולים. כדי להיות בטוחים שיש $3$ כדורים מאותו צבע צריך לשלוף ____ כדורים. כדי להיות בטוחים שיש $3$ כדורים אדומים — ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בכד $9$ כדורים אדומים ו- $9$ כחולים. כדי להיות בטוחים שיש $3$ כדורים מאותו צבע צריך לשלוף 5 כדורים. כדי להיות בטוחים שיש $3$ כדורים אדומים — 12.

הפתרון:

2 + 2 + 1 = 5

הגרוע: שניים מכל צבע

9 + 3 = 12

הגרוע: כל $9$ הכחולים קודם

שתי שאלות שנשמעות דומות, ותשובות רחוקות: ״מאותו צבע״ — כל צבע מתאים; ״אדומים״ — היריב מגיש קודם את כל הכחולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

עקרון שובך היונים

מה לא משתנה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev