תרגול — המקרה הגרוע ביותר וזוגיות · ספירה וצירופים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן. כשכתוב ״בטוח״ — בנו את הגרוע ביותר והוסיפו אחד. כששואלים ״אפשר להגיע?״ — חפשו מה לא משתנה.

תרגילים

תרגיל 1

במגירה של הלל $4$ גרביים אדומות, $5$ כחולות ו- $6$ ירוקות, מעורבבות. החשמל נפל. כמה גרביים עליו להוציא כדי להיות בטוח שיש לו זוג מאותו צבע?

$4$
$7$
$16$
$3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4$

הפתרון:

1 + 1 + 1 = 3

הגרוע ביותר: אחת מכל צבע

3 + 1 = 4

הרביעית משלימה זוג

התשובה: $4$ . $3$ היא עוד בדיוק השליפה הגרועה; $7$ ו- $16$ מחשבים לפי מספר הגרביים — אבל כאן קובע רק מספר הצבעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה מגירה ( $4$ אדומות, $5$ כחולות, $6$ ירוקות) — כמה גרביים צריך להוציא כדי להיות בטוחים שיש זוג ירוק?

$2$
$4$
$10$
$11$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $11$

הפתרון:

4 + 5 = 9

הגרוע ביותר: כל האדומות וכל הכחולות

9 + 2 = 11

ועוד שתי ירוקות

התשובה: $11$ . $10$ מביא רק ירוקה אחת; $4$ עונה על ״זוג מצבע כלשהו״; $2$ הוא המקרה של מזל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בארגז $5$ זוגות כפפות שחורות ו- $5$ זוגות כפפות לבנות — $20$ כפפות מעורבבות. בכל זוג יש כפפה לשמאל וכפפה לימין. כמה כפפות צריך להוציא בחושך כדי להיות בטוחים שיש זוג שאפשר ללבוש — שמאל וימין מאותו צבע?

$21$
$11$
$6$
$3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $11$

הפתרון:

5 + 5 = 10

הגרוע ביותר: כל $10$ הכפפות השמאליות — $5$ שחורות ו- $5$ לבנות. אין אף ימנית

10 + 1 = 11

הכפפה הבאה ימנית — ויש כבר שמאלית בצבע שלה

התשובה: $11$ . $3$ מתאים לגרביים, שאין להן שמאל וימין; $6$ חושב על צבע אחד בלבד; $21$ הוא יותר מכל הכפפות בארגז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו המספר הקטן ביותר של ילדים שמבטיח ששלושה מהם לפחות נולדו באותו יום בשבוע?

$8$
$15$
$14$
$22$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $15$

הפתרון:

2 \times 7 = 14

$14$ ילדים יכולים להיוולד שניים בכל יום בשבוע

14 + 1 = 15

התשובה: $15$ . $14$ עוד מאפשר שניים בכל יום; $22$ כבר מבטיח ארבעה; $8$ מבטיח רק שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בחפיסה $40$ קלפים: המספרים $1$ עד $10$ , כל מספר $4$ פעמים. כמה קלפים צריך לשלוף כדי להיות בטוחים שבין הקלפים שנשלפו יש שניים שסכומם $11$ ?

$6$
$11$
$21$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $21$

הפתרון:

1 + 10,\ 2 + 9,\ 3 + 8,\ 4 + 7,\ 5 + 6

חמישה זוגות ״משלימים״

5 \times 4 = 20

הגרוע ביותר: מכל זוג רק צד אחד — למשל כל ה- $1$ , ה- $2$ , ה- $3$ , ה- $4$ וה- $5$

20 + 1 = 21

הקלף הבא משלים זוג

התשובה: $21$ . $6$ נכון רק כשכל מספר מופיע פעם אחת; עם $20$ קלפים עוד אפשר בלי זוג; $11$ מבלבל בין הסכום למספר הקלפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האם ייתכן שבמסיבה של $7$ ילדים כל ילד לחץ יד לבדיוק $3$ ילדים אחרים?

לא ניתן לדעת בלי לצייר
לא — כי $7 \times 3$ הוא מספר אי-זוגי, וכל לחיצה נספרת אצל שני ילדים
כן — היו $21$ לחיצות ידיים
כן — היו $10$ לחיצות ידיים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא — כי $7 \times 3$ הוא מספר אי-זוגי, וכל לחיצה נספרת אצל שני ילדים

הפתרון:

7 \times 3 = 21

סכום הלחיצות של כל הילדים

21 : 2 = 10.5

כל לחיצה נספרה אצל שני ילדים — אז הסכום היה צריך להיות זוגי

התשובה: לא. מספר הלחיצות היה צריך להיות $10.5$ — וזה לא ייתכן. ״ $21$ לחיצות״ שוכח לחלק ב- $2$ ; ״ $10$ לחיצות״ מעגל; ״לא ניתן לדעת״ — ניתן, ובלי ציור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סכום של $5$ מספרים אי-זוגיים (לא בהכרח שונים) יכול להיות:

$44$
$30$
$20$
$35$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $35$

הפתרון:

1 + 1 = 2

שני אי-זוגיים נותנים יחד מספר זוגי

1 + 1 + 1 + 1 = 4

ארבעה אי-זוגיים הם שני זוגות כאלה — סכומם זוגי

4 + 1 = 5

והאי-זוגי החמישי הופך את הסכום לאי-זוגי

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

ו- $35$ אכן מתקבל

התשובה: $35$ — היחיד האי-זוגי ברשימה. $20$ , $30$ ו- $44$ זוגיים, ולכן אינם סכום של חמישה אי-זוגיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שתי פינות נגדיות נחתכו מהלוח.

מלוח משבצות $6$ על $6$ חתכו שתי משבצות פינה נגדיות, כמו בציור. רוצים לכסות את כל שאר הלוח באבני דומינו, שכל אחת מכסה בדיוק שתי משבצות סמוכות. מה נכון?

אי אפשר — נשארו $16$ משבצות מצבע אחד ו- $18$ מהצבע השני
אי אפשר — $34$ אינו מתחלק ב- $4$
אפשר — צריך $17$ אבני דומינו
לא ניתן לדעת בלי לנסות את כל הסידורים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אי אפשר — נשארו $16$ משבצות מצבע אחד ו- $18$ מהצבע השני

הפתרון:

36 - 2 = 34

המשבצות שנשארו — מספר זוגי, אז הספירה לבדה לא פוסלת

16 \neq 18

שתי הפינות שנחתכו מאותו צבע. כל אבן מכסה משבצת כהה אחת ומשבצת בהירה אחת

17 + 17

$17$ אבנים היו מכסות $17$ כהות ו- $17$ בהירות — אבל אין $17$ מכל צבע

התשובה: אי אפשר, בגלל הצבעים. ״ $17$ אבנים״ בודק רק את מספר המשבצות; ״לא מתחלק ב- $4$ ״ — כל אבן מכסה $2$ משבצות, לא $4$ ; ״לא ניתן לדעת״ — הצבעים מוכיחים בלי לנסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

על השולחן $5$ כוסות, כולן הפוכות. בכל צעד הופכים בדיוק $3$ כוסות. מהו מספר הצעדים הקטן ביותר שאחריו כל $5$ הכוסות עומדות?

$5$
$3$
$2$
אי אפשר להגיע לזה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3$

הפתרון:

0 \to 3

צעד 1: הופכים שלוש הפוכות

3 \to 2

צעד 2: שתי עומדות יורדות ואחת הפוכה עולה — $3 - 2 + 1 = 2$

2 \to 5

צעד 3: שלוש ההפוכות עולות

התשובה: $3$ . בשני צעדים אי אפשר: כל צעד משנה את מספר הכוסות העומדות במספר אי-זוגי ( $+3$ , $+1$ , $-1$ או $-3$ ), ולכן אחרי שני צעדים המספר זוגי — ו- $5$ אי-זוגי. ״אי אפשר״ מתאים לשאלה עם $7$ כוסות ו- $2$ היפוכים, לא לזו; $5$ צעדים עובדים, אבל אינם המעט ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בחוג $20$ ילדים, ומהם $13$ בנות. מה נכון בוודאות?

יש שלושה ילדים שנולדו באותו חודש
יש שני בנים שנולדו באותו חודש
לא ניתן לדעת דבר על חודשי הלידה
יש שתי בנות שנולדו באותו חודש

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יש שתי בנות שנולדו באותו חודש

הפתרון:

13 > 12

$13$ בנות ו- $12$ חודשים — שתיים חולקות חודש

20 \le 24

$20$ ילדים יכולים להיוולד לכל היותר שניים בכל חודש — שלושה אינם בטוחים

7 \le 12

$7$ בנים יכולים להיוולד כל אחד בחודש אחר

התשובה: יש שתי בנות שנולדו באותו חודש. שלושה ילדים באותו חודש דורשים $25$ ילדים; שני בנים באותו חודש דורשים $13$ בנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בקופסה $6$ כדורים אדומים, $4$ כחולים ו- $2$ לבנים. כמה כדורים צריך להוציא בלי להסתכל כדי להיות בטוחים שיצא כדור כחול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

6 + 2 = 8

הגרוע ביותר: כל האדומים וכל הלבנים — $8$ כדורים בלי כחול

8 + 1 = 9

התשובה: $9$ . מי שעונה $3$ או $4$ חושב על הצבעים, לא על הכדורים: כשרוצים צבע מסוים, היריב מגיש קודם את כל השאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

על השולחן $6$ כוסות, כולן הפוכות. בכל צעד הופכים בדיוק $3$ כוסות (מותר להפוך כוס שכבר הפכו). טענה: אפשר להגיע לכך שכל $6$ הכוסות עומדות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0 \to 3

צעד ראשון: הופכים שלוש כוסות

3 \to 6

צעד שני: הופכים את שלוש האחרות

הטענה נכונה — בשני צעדים. בכל צעד הזוגיות של מספר הכוסות העומדות מתחלפת, ו- $6$ זוגי: מגיעים אליו אחרי מספר זוגי של צעדים. הזוגיות אוסרת רק מה שהיא אוסרת — לא כל דבר שנראה קשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו.

בשקית סוכריות ב- $5$ צבעים, הרבה מכל צבע. כדי להיות בטוחים שיש $2$ סוכריות מאותו צבע צריך להוציא ____ סוכריות. כדי להיות בטוחים שיש $4$ מאותו צבע — ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בשקית סוכריות ב- $5$ צבעים, הרבה מכל צבע. כדי להיות בטוחים שיש $2$ סוכריות מאותו צבע צריך להוציא 6 סוכריות. כדי להיות בטוחים שיש $4$ מאותו צבע — 16.

הפתרון:

5 + 1 = 6

הגרוע: אחת מכל צבע

3 \times 5 + 1 = 16

הגרוע: שלוש מכל צבע — $15$ בלי רביעייה

הפיתוי בשאלה השנייה: $4 \times 5 = 20$ , או $6 + 2 = 8$ . בונים את הגרוע ביותר: אחת פחות מהמטרה בכל צבע, ועוד אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev