סיכוי · עיבוד נתונים, ממוצע וסיכוי · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

סיכוי (הסתברות) הוא מספר בין $0$ ל- $1$ . הוא אומר עד כמה סביר שמשהו יקרה.

כשכל התוצאות סבירות באותה מידה — קובייה הוגנת, מטבע הוגן, כדורים זהים בשק — הסיכוי הוא שבר:

סיכוי = מספר התוצאות המתאימות חלקי מספר כל התוצאות

0

בלתי אפשרי

\frac{1}{2}

סיכוי שווה

1

ודאי

השאלה מדגם המבחן: מטילים קובייה הוגנת. מה סביר יותר — מספר גדול מ- $3$ , או מספר זוגי?

מה הסיכוי לקבל בקובייה הוגנת מספר שמתחלק ב- $3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{3}$ . רק $3$ ו- $6$ — שתי תוצאות מתוך שש.

שק של כדורים

בשק $3$ כדורים אדומים, $5$ כחולים ו- $4$ ירוקים. מוציאים כדור אחד בלי להסתכל. מה הסיכוי שהוא לא כחול?

ומה הסיכוי שהכדור כן כחול? מה הקשר בין שתי התשובות?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{5}{12}$ . ו- $\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = 1$ : כל כדור הוא כחול או לא כחול.

שתי קוביות: טבלה של $36$

כשמטילים שתי קוביות, יש $6 \times 6 = 36$ תוצאות סבירות באותה מידה — כל זוג (אדומה, כחולה).

הסכומים $2$ עד $12$ אינם סבירים באותה מידה. לסכום $7$ יש שש דרכים, ולסכום $2$ רק אחת. בחרו סכום בטבלה, והטילו כדי לראות.

שלוש טעויות של סיכוי.

P(7) = \frac{1}{11}

\begin{aligned}P(7) &= \frac{6}{36} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

הסכומים $2$ עד $12$ אינם סבירים באותה מידה. סופרים את $36$ הזוגות.

\text{יותר אדומים} \Rightarrow \text{סיכוי גדול יותר}

משווים שברים, לא כמויות: אדומים חלקי כל הכדורים בשק.

\text{עץ, עץ, עץ} \Rightarrow \text{פלי}

למטבע אין זיכרון. גם אחרי שלוש פעמים ״עץ״, הסיכוי ל״פלי״ הוא $\frac{1}{2}$ .

ודאי מול אפשרי: "בוודאות" פירושו שזה קורה בכל תוצאה אפשרית. כדי להפריך "בוודאות" מספיקה תוצאה אחת שבה זה לא קורה.

תרגילים

תרגיל 1

מטילים קובייה הוגנת. איזה משפט נכון?

לא ניתן לדעת — זה תלוי בהטלה
הסיכוי לקבל מספר זוגי גדול מהסיכוי לקבל מספר גדול מ- $3$
הסיכוי לקבל מספר גדול מ- $3$ גדול מהסיכוי לקבל מספר זוגי
שני הסיכויים שווים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שני הסיכויים שווים

הפתרון:

4, 5, 6

גדולים מ- $3$ : שלוש תוצאות

2, 4, 6

זוגיים: שלוש תוצאות

\frac{3}{6} = \frac{3}{6}

התשובה היא שני הסיכויים שווים — לכל אחד שלוש תוצאות מתוך שש. ההטלה עצמה לא ידועה מראש, אבל הסיכוי ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בגרף: כמה כדורים מכל צבע יש בשק. מוציאים כדור אחד בלי להסתכל. מה הסיכוי שהוא לא כחול?

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{1}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{1}{2}$

הפתרון:

4 + 6 + 2 = 12

כל הכדורים

4 + 2 = 6

לא כחולים

\frac{6}{12} = \frac{1}{2}

התשובה היא $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{3}$ סופר רק את האדומים, $\frac{5}{6}$ הוא הסיכוי ל״לא ירוק״, ו- $\frac{1}{6}$ — לירוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

+	1	2	3	4	5	6
1	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
2	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
3	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
4	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
5	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
6	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

מטילים שתי קוביות הוגנות ומחברים את המספרים. בטבלה: כל $36$ התוצאות. בכמה מהן הסכום הוא $8$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2+6, \ 3+5, \ 4+4, \ 5+3, \ 6+2

האלכסון של $8$ בטבלה

התשובה היא $5$ , ולכן הסיכוי הוא $\frac{5}{36}$ . שימו לב ש- $3 + 5$ ו- $5 + 3$ הן שתי תוצאות שונות — הקוביות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מטבע הוגן נפל $4$ פעמים ברצף על ״עץ״. לכן בהטלה החמישית הסיכוי ל״פלי״ גדול מ- $\frac{1}{2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(\text{פלי}) = \frac{1}{2}

בכל הטלה, בלי קשר להטלות הקודמות

המשפט לא נכון. למטבע אין זיכרון: הוא לא "חייב" פלי. הסיכוי בהטלה החמישית הוא $\frac{1}{2}$ , בדיוק כמו בראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מטילים קובייה הוגנת. מיינו את המאורעות לפי הסיכוי שלהם.

הסיכוי בדיוק חצי
הסיכוי לא חצי

מספר אי-זוגי
מספר גדול מ-4
מספר זוגי
מספר קטן מ-7
מספר ראשוני

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר זוגי — הסיכוי בדיוק חצי · מספר גדול מ-4 — הסיכוי לא חצי · מספר ראשוני — הסיכוי בדיוק חצי · מספר קטן מ-7 — הסיכוי לא חצי · מספר אי-זוגי — הסיכוי בדיוק חצי

הפתרון:

2, 4, 6 \quad 2, 3, 5 \quad 1, 3, 5

זוגי, ראשוני, אי-זוגי: שלוש תוצאות כל אחד

5, 6 \to \frac{2}{6}

גדול מ- $4$

1, \ldots, 6 \to 1

קטן מ- $7$ : ודאי

סופרים תוצאות, לא מנחשים מהמילים. "ראשוני" נשמע נדיר, אבל יש בקובייה שלושה ראשוניים: $2$ , $3$ ו- $5$ . ו- $1$ אינו ראשוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מטילים קובייה הוגנת. איזה מאורע ודאי?

מספר זוגי, או 5
מספר שלם בין 1 ל-6
מספר קטן מ-6
מספר גדול מ-0 וקטן מ-6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מספר שלם בין 1 ל-6

הפתרון:

6 \not< 6

"קטן מ- $6$ " נכשל ב- $6$

1, 3

"זוגי, או $5$ " נכשל ב- $1$ וב- $3$

מספר שלם בין $1$ ל- $6$ — זה קורה בכל הטלה. כדי להפריך "ודאי" מספיקה תוצאה אחת שבה זה לא קורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו.

בשק 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים. מוסיפים לשק רק כדורים אדומים, עד שהסיכוי להוציא אדום הוא חצי. מוסיפים ____ כדורים אדומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בשק 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים. מוסיפים לשק רק כדורים אדומים, עד שהסיכוי להוציא אדום הוא חצי. מוסיפים 2 כדורים אדומים.

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{4 + 2}{10 + 2} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שישה אדומים ושישה כחולים

2. סיכוי חצי פירושו אותו מספר אדומים וכחולים. הפיתוי: לענות $1$ , כי " $\frac{5}{10}$ זה חצי" — אבל כשמוסיפים כדור, גם המכנה גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשק א׳ $2$ כדורים אדומים ו- $3$ כחולים. בשק ב׳ $4$ אדומים ו- $6$ כחולים. מאיזה שק הסיכוי להוציא כדור אדום גדול יותר?

לא ניתן לדעת
משק א׳
הסיכוי שווה
משק ב׳ — יש בו יותר אדומים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הסיכוי שווה

הפתרון:

\frac{2}{5}

שק א׳

\frac{4}{10} = \frac{2}{5}

שק ב׳

הסיכוי שווה. בשק ב׳ פי $2$ אדומים, אבל גם פי $2$ כחולים. משווים שברים, לא כמויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מטילים שתי קוביות הוגנות ומחברים. השלימו: בכמה מתוך $36$ התוצאות מתקבל כל סכום?

סכום	מספר התוצאות
2	____
6	____
7	____
11	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2: 1 · 6: 5 · 7: 6 · 11: 2

הפתרון:

1+1

סכום $2$ : דרך אחת

1+5, \ 2+4, \ 3+3, \ 4+2, \ 5+1

סכום $6$

1+6, \ 2+5, \ \ldots, \ 6+1

סכום $7$ : שש דרכים

5+6, \ 6+5

סכום $11$

$5 + 6$ ו- $6 + 5$ הן שתי תוצאות: הקוביות שונות. לכן ל- $11$ שתי דרכים, ול- $2$ (רק $1 + 1$ ) אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מטילים שתי קוביות ומחברים. סדרו את הסכומים מהסיכוי הקטן ביותר לגדול ביותר.

סכום 10
סכום 12
סכום 5
סכום 7
סכום 8

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סכום 12 · סכום 10 · סכום 5 · סכום 8 · סכום 7

הפתרון:

12: 1, \quad 10: 3, \quad 5: 4, \quad 8: 5, \quad 7: 6

מספר הדרכים מתוך $36$

ככל שהסכום קרוב יותר ל- $7$ , יש לו יותר דרכים. $5$ ו- $8$ אינם סימטריים סביב $7$ : ל- $8$ חמש דרכים, ול- $5$ רק ארבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שק של כדורים

שתי קוביות: טבלה של 363636

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

שתי קוביות: טבלה של $36$