תרגול — ממוצע · עיבוד נתונים, ממוצע וסיכוי · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן, וביניהן שלוש שאלות בצורה אחרת. הפעילו שעון: חמש עשרה דקות, בלי מחשבון.

כמעט כל שאלה נפתחת באותו צעד: ממוצע כפול מספר הנתונים. כתבו אותו לפני כל דבר אחר.

תרגילים

תרגיל 1

הציונים של שחר

בגרף: ארבעת הציונים של שחר, והקו המקווקו הוא הממוצע שלהם. איזה ציון צריך שחר לקבל במבחן החמישי, כדי שהממוצע של כל חמשת המבחנים יהיה $87$ ?

$97$
$89$
$87$
$95$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $95$

הפתרון:

4 \times 85 = 340

הסכום של ארבעה מבחנים

5 \times 87 = 435

הסכום הדרוש

435 - 340 = 95

התשובה היא $95$ . $89$ מוסיף את ההפרש $2$ פעם אחת בלבד, ו- $97$ מוסיף אותו חמש פעמים. כל אחד מארבעת המבחנים חסר $2$ נקודות — $8$ יחד — והמבחן החמישי משלים אותן: $87 + 8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הגיל הממוצע של $6$ ילדים בחוג הוא $11$ . אחד הילדים, בן $16$ , עבר לחוג אחר. מה הגיל הממוצע של הילדים שנשארו?

לא ניתן לדעת בלי הגיל של כל ילד
$11$
$10$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $10$

הפתרון:

6 \times 11 = 66

סכום הגילים

66 - 16 = 50

בלי הילד שעזב

50 : 5 = 10

התשובה היא $10$ . לא צריך את כל הגילים — מספיק הסכום. ילד שגדול מהממוצע עוזב, ולכן הממוצע יורד; $11$ שוכח את זה, ו- $6$ מוריד מהממוצע את כל $5$ השנים שבהן הילד גדול ממנו, במקום לחלק אותן בין $5$ הנשארים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ספרים שנמכרו

בגרף: מספר הספרים שנמכרו בחנות בכל חודש. העמודה של מרץ נמחקה. ידוע שהממוצע החודשי בחמשת החודשים הוא $40$ . כמה ספרים נמכרו במרץ?

$158$
$42$
$40$
$39.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $42$

הפתרון:

5 \times 40 = 200

הסכום של חמשת החודשים

36 + 44 + 30 + 48 = 158

ארבעת החודשים הידועים

200 - 158 = 42

התשובה היא $42$ . $39.5$ הוא הממוצע של ארבעת החודשים הידועים — לא הנתון החסר. $40$ מניח שהחודש החסר שווה לממוצע, ו- $158$ הוא סכום הידועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום של $5$ מספרים זוגיים עוקבים הוא $90$ . מהו הקטן שבהם?

$16$
$12$
$18$
$14$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $14$

הפתרון:

90 : 5 = 18

הממוצע — המספר שבאמצע

14, 16, 18, 20, 22

שני זוגיים מכל צד, בקפיצות של $2$

התשובה היא $14$ . $16$ מתקבל כשקופצים ב- $1$ ( $16, 17, 18, 19, 20$ ) — אבל אלה לא כולם זוגיים. $18$ הוא האמצעי, לא הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הממוצע של $8$ מספרים הוא $15$ . מוסיפים עוד שני מספרים, והממוצע של כל $10$ המספרים עולה ל- $16$ . מה הממוצע של שני המספרים שנוספו?

$40$
$31$
$16$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $20$

הפתרון:

8 \times 15 = 120

הסכום לפני

10 \times 16 = 160

הסכום אחרי

\begin{aligned}160 - 120 &= 40 \\ \quad 40 : 2 &= 20\end{aligned}

שני המספרים החדשים

התשובה היא $20$ . $40$ הוא הסכום של שני המספרים, לא הממוצע שלהם. $16$ מניח שהם שווים לממוצע החדש — אבל אז הממוצע לא היה עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

	מספר תלמידים	ממוצע
בנים	$12$	$78$
בנות	$18$	?
כל הכיתה	$30$	$84$

בטבלה: מספר הבנים ומספר הבנות בכיתה, והממוצע שלהם במבחן. מה הממוצע של הבנות?

$86$
$90$
$84$
$88$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $88$

הפתרון:

30 \times 84 = 2{,}520

סכום הציונים של כל הכיתה

12 \times 78 = 936

של הבנים

\begin{aligned}\frac{2{,}520 - 936}{18} &= \frac{1{,}584}{18} \\ &= 88\end{aligned}

של הבנות

התשובה היא $88$ . $90$ מניח ש- $84$ הוא בדיוק באמצע בין $78$ לממוצע הבנות — כך רק כשיש מספר שווה של בנים ובנות. כאן הבנות רבות יותר, ולכן הממוצע שלהן קרוב יותר ל- $84$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הממוצע של שלושה מספרים $a, b, c$ הוא $10$ . מה הממוצע של המספרים $2a + 1$ , $2b + 1$ , $2c + 1$ ?

$11$
$23$
$21$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $21$

הפתרון:

a + b + c = 30

שלושה מספרים, ממוצע $10$

2 \times 30 + 3 = 63

סכום המספרים החדשים

63 : 3 = 21

התשובה היא $21$ : כל מספר הוכפל ב- $2$ — גם הממוצע; לכל מספר נוסף $1$ — גם לממוצע. $20$ שוכח את ה- $1$ , ו- $23$ מוסיף את ה- $1$ שלוש פעמים לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בגרף: הציונים של תלמידי הקבוצה בבוחן. כמה תלמידים קיבלו ציון גבוה מהממוצע של הקבוצה?

$4$
$5$
$6$
$11$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $5$

הפתרון:

2 + 2 + 6 + 4 + 1 = 15

מספר התלמידים

6 \times 2 + 7 \times 2 + 8 \times 6 + 9 \times 4 + 10 \times 1 = 120

סכום הציונים

120 : 15 = 8

הממוצע

4 + 1 = 5

קיבלו $9$ או $10$

התשובה היא $5$ . $11$ סופר גם את מי שקיבל בדיוק $8$ — הם לא מעל הממוצע. $6$ הוא גובה העמודה של $8$ , ו- $4$ שוכח את מי שקיבל $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הממוצע של ארבעה מספרים הוא $10$ , והגדול שבהם הוא $16$ . מהו הקטן שבהם?

$4$
$24$
$8$
לא ניתן לדעת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא ניתן לדעת

הפתרון:

\begin{aligned}4 \times 10 &= 40 \\ \quad 40 - 16 &= 24\end{aligned}

סכום שלושת האחרים

\begin{aligned}8 + 8 + 8 &= 24 \quad 4 + 4 + 16 \\ &= 24\end{aligned}

שתי אפשרויות — הקטן $8$ , או $4$

התשובה היא לא ניתן לדעת. שלושת המספרים האחרים מסתכמים ב- $24$ , אבל אפשר לחלק את $24$ בדרכים רבות. $4$ מניח סימטריה סביב $10$ , ו- $8$ הוא הממוצע של השלושה — הקטן יכול להיות $8$ , אבל גם פחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הממוצע של $25$ תלמידים במבחן חושב והיה $72$ . אחר כך התברר שציון אחד נרשם בטעות $47$ במקום $97$ . מה הממוצע האמיתי?

$74$
$70$
$122$
$72$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $74$

הפתרון:

97 - 47 = 50

הסכום האמיתי גדול ב- $50$

50 : 25 = 2

התוספת לממוצע

72 + 2 = 74

התשובה היא $74$ . $122$ מוסיף את כל $50$ הנקודות לממוצע — הן מתחלקות בין $25$ תלמידים. $70$ מחסר במקום להוסיף, ו- $72$ מניח שציון אחד לא יכול להזיז ממוצע של $25$ תלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הממוצע של $6$ מספרים הוא $9$ . מוציאים מספר אחד, והממוצע של $5$ הנשארים הוא $8$ . איזה מספר הוצא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

6 \times 9 = 54

הסכום לפני

5 \times 8 = 40

הסכום אחרי

54 - 40 = 14

המספר שהוצא

התשובה היא $14$ . $1$ הוא ההפרש בין שני הממוצעים, לא המספר. עובדים עם סכומים: הממוצע ירד, כי יצא מספר גדול ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

השלימו את הטבלה. בכל שורה: סכום = ממוצע כפול מספר הנתונים.

ממוצע	מספר הנתונים	סכום
$12$	$5$	____
____	$8$	$72$
$7.5$	____	$30$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $12$ : 60 · $7.5$ : 4

הפתרון:

12 \times 5 = 60

72 : 8 = 9

הממוצע: הסכום חלקי מספר הנתונים

30 : 7.5 = 4

מספר הנתונים: הסכום חלקי הממוצע

שלושה גדלים, ומכל שניים מוצאים את השלישי. בשורה השלישית הממוצע אינו מספר שלם — אבל מספר הנתונים תמיד שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בכיתה א׳ $20$ תלמידים והממוצע שלהם $70$ . בכיתה ב׳ $30$ תלמידים והממוצע שלהם $80$ . הממוצע של כל $50$ התלמידים הוא $75$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}20 \times 70 + 30 \times 80 &= 1{,}400 + 2{,}400 \\ &= 3{,}800\end{aligned}

סכום הציונים של כולם

3{,}800 : 50 = 76

המשפט לא נכון: הממוצע הוא $76$ . $75$ הוא "ממוצע הממוצעים" — נכון רק כשהכיתות באותו גודל. הכיתה הגדולה מושכת אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev