ממוצע · עיבוד נתונים, ממוצע וסיכוי · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

ממוצע הוא מה שהיה לכל אחד, אילו חילקו את הכול שווה בשווה.

מחברים את כל הנתונים, ומחלקים במספר הנתונים.

בשבוע ירד גשם בארבעה ימים מתוך שבעה: $6$ , $10$ , $4$ ו- $15$ מ״מ. מה הממוצע היומי של הגשם באותו שבוע?

להציג את התשובה והפתרון

$5$ מ״מ. הסכום הוא $35$ , ומחלקים ב- $7$ ימים — גם הימים שבהם לא ירד גשם הם נתונים, עם הערך $0$ .

בשאלות של המבחן כמעט אף פעם לא נותנים את כל הנתונים. נותנים ממוצע, ומבקשים משהו אחר. לכן הצעד הראשון הוא בכיוון ההפוך:

\text{סכום} = \text{ממוצע} \times \text{מספר הנתונים}

השורה שפותחת כמעט כל שאלת ממוצע

פעילות אינטראקטיבית

ארבעה מבחנים של מאיה

הציונים של מאיה: $84, 90, 78, 88$ . מה הממוצע?

מיישרים: מה שבולט מעל $85$ ממלא בדיוק את מה שחסר מתחתיו. כל העמודות בגובה $85$ .

המלבן: הגובה שלו $85$ , הרוחב $4$ מבחנים — והשטח שלו הוא הסכום, $4 \times 85 = 340$ .

המורה גילתה טעות בבדיקה: המבחן השלישי מקבל עוד $12$ נקודות. הסכום גדל ב- $12$ , ל- $352$ .

$12$ הנקודות מתחלקות בין $4$ מבחנים: הממוצע עולה רק ב- $3$ , ל- $88$ .

שינוי של נתון אחד ב- $12$ משנה את הממוצע ב- $12$ חלקי מספר הנתונים.

לעשות את הפעילות ב-elev

נתון חסר: כמה צריך כדי להגיע לממוצע?

הממוצע של $3, 7, x, 10$ הוא $6$ . מהו $x$ ? הזיזו את העמודה הכתומה.

עכשיו אורי: ממוצע $85$ בארבעה מבחנים. כמה הוא צריך במבחן החמישי, כדי שהממוצע יהיה $87$ ?

למה $89$ — כלומר $87 + 2$ — לא מספיק?

להציג את התשובה והפתרון

כי ההפרש $2$ חסר בכל אחד מארבעת המבחנים — יחד $8$ . המבחן החמישי צריך להביא $87$ , ועוד $8$ : $95$ .

מוסיפים נתון, מוציאים נתון

נתון גדול מהממוצע מושך את הממוצע למעלה. נתון קטן ממנו מושך למטה.

נתון ששווה לממוצע לא משנה אותו. הזיזו את העמודות וראו איך הקו זז.

הגיל הממוצע של $5$ ילדים הוא $12$ . ילד בן $16$ עוזב את הקבוצה. מה הגיל הממוצע של הנשארים?

להציג את התשובה והפתרון

$11$ . עובדים עם סכומים, לא עם ממוצעים: $5 \times 12 = 60$ . בלי הילד שעזב: $60 - 16 = 44$ . ארבעה נשארו: $44 : 4 = 11$ .

ממוצע של שתי קבוצות

כשמאחדים שתי קבוצות, הממוצע המשותף אינו הממוצע של שני הממוצעים — אלא אם הקבוצות באותו גודל.

הקבוצה הגדולה "מושכת" אליה את הממוצע, כמו ילד כבד בנדנדה.

שלוש טעויות של ממוצע.

\frac{80 + 90}{2} = 85

\frac{30 \times 80 + 20 \times 90}{50} = 84

ממוצע של ממוצעים נכון רק כשהקבוצות באותו גודל.

\frac{6 + 10 + 4 + 15}{4}

\frac{35}{7}

יום בלי גשם הוא נתון שערכו $0$ — הוא נספר.

87 + 2 = 89

5 \times 87 - 4 \times 85 = 95

הפרש בממוצע כופלים במספר הנתונים.

מספרים עוקבים: הממוצע שלהם הוא המספר שבאמצע. הממוצע של $7$ מספרים עוקבים הוא $20$ ? אז הם $17, 18, \ldots, 23$ — שלושה מכל צד של $20$ .

תרגילים

תרגיל 1

בגרף: כמות הגשם (במ״מ) שירדה בכל יום בשבוע אחד בחורף. מה הממוצע היומי של הגשם בחמשת הימים?

$12$ מ״מ
$60$ מ״מ
$8$ מ״מ
$15$ מ״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $12$ מ״מ

הפתרון:

30 + 0 + 6 + 16 + 8 = 60

סכום הגשם

60 : 5 = 12

חמישה ימים — גם יום שני, שבו ירד $0$

התשובה היא $12$ מ״מ. ביום שני אין עמודה, אבל יש נתון: $0$ . מי שמחלק ב- $4$ מקבל $15$ . $8$ הוא הערך האמצעי אחרי מיון — לא הממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הממוצע של $7$ מספרים שלמים עוקבים הוא $20$ . מהו הגדול שבהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23

הפתרון:

17, 18, 19, \mathbf{20}, 21, 22, 23

הממוצע הוא המספר האמצעי, ושלושה מכל צד

התשובה היא $23$ . במספרים עוקבים הממוצע הוא בדיוק האמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

	מספר תלמידים	ממוצע
כיתה א	$30$	$80$
כיתה ב	$20$	$90$

בכיתה של $30$ תלמידים הממוצע במבחן היה $80$ , ובכיתה של $20$ תלמידים הממוצע היה $90$ . מה הממוצע של כל $50$ התלמידים?

$86$
לא ניתן לדעת בלי כל הציונים
$84$
$85$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $84$

הפתרון:

30 \times 80 = 2{,}400

סכום הציונים בכיתה הראשונה

20 \times 90 = 1{,}800

בכיתה השנייה

\frac{4{,}200}{50} = 84

התשובה היא $84$ . $85$ הוא הממוצע של שני הממוצעים — נכון רק לכיתות שוות. $86$ מחליף בין הגדלים. ואין צורך בכל ציון: מספיק הסכום של כל כיתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אם מוסיפים לרשימה של מספרים מספר ששווה לממוצע שלהם, הממוצע לא משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

n \times a + a = (n + 1) \times a

אם הממוצע $a$ , הסכום $n \times a$ ; מוסיפים $a$

\frac{(n + 1) \times a}{n + 1} = a

המשפט נכון. המספר החדש לא בולט מעל הקו ולא חסר מתחתיו — אין לו מה "לתת" או "לקחת".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

השלימו.

בחמישה ימים מכרה החנות 12, 0, 8, 15 ו-5 גלידות. הממוצע היומי הוא ____ גלידות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בחמישה ימים מכרה החנות 12, 0, 8, 15 ו-5 גלידות. הממוצע היומי הוא 8 גלידות.

הפתרון:

12 + 0 + 8 + 15 + 5 = 40

הסכום

40 : 5 = 8

חמישה ימים — גם היום של $0$

8. יום שבו לא נמכרה אף גלידה הוא נתון שערכו $0$ . מי שמחלק ב- $4$ מקבל $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הממוצע של חמישה מספרים הוא $12$ . ארבעה מהם הם $10$ , $15$ , $9$ ו- $8$ . מהו המספר החמישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

5 \times 12 = 60

הסכום שחייב להיות

10 + 15 + 9 + 8 = 42

מה שכבר ידוע

60 - 42 = 18

18. לא מנחשים: הממוצע נותן את הסכום, והחסר הוא ההפרש. בדיקה: $\frac{60}{5} = 12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הממוצע של רוני בשלושה מבחנים הוא $80$ . ציון במבחן הוא לכל היותר $100$ . איזה מהמספרים יכול להיות הציון הנמוך ביותר שלו?

$35$
$45$
$85$
$30$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $45$

הפתרון:

3 \times 80 = 240

סכום שלושת הציונים

240 - 100 - 100 = 40

הנמוך ביותר האפשרי: שני האחרים $100$

45 + 100 + 95 = 240

$45$ אפשרי

45. הציון הנמוך ביותר הוא לפחות $40$ , ולכל היותר $80$ — הנמוך לא יכול להיות מעל הממוצע. $85$ גבוה מ- $80$ , ו- $30$ , $35$ דורשים ציון מעל $100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ממוצע הציונים בכיתה הוא $80$ . מצטרף תלמיד חדש עם הציון שבכרטיס. מיינו.

הממוצע עולה
הממוצע לא עולה

ציון 62
ציון 80
ציון 81
ציון 95

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ציון 95 — הממוצע עולה · ציון 80 — הממוצע לא עולה · ציון 62 — הממוצע לא עולה · ציון 81 — הממוצע עולה

הפתרון:

95 > 80, \quad 81 > 80

מעל הממוצע — מושך למעלה

80 = 80

בדיוק הממוצע — לא משנה

62 < 80

מתחת — מושך למטה

רק ציון גדול מהממוצע מעלה אותו — גם $81$ , אפילו ב- $1$ בלבד. ציון ששווה לממוצע לא מזיז אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגיל הממוצע של $4$ ילדים הוא $10$ . ילד בן $14$ מצטרף אליהם. יעל חישבה את הגיל הממוצע החדש. באיזו שורה הטעות?

4 \times 10 = 40

40 + 14 = 54

54 : 4 = 13.5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $54 : 4 = 13.5$ → $54 : 5 = 10.8$

הפתרון:

54 : 5 = 10.8

עכשיו יש חמישה ילדים

השורה השלישית. הסכום נכון, אבל מספר הנתונים גדל ל- $5$ . וגם בלי לחשב: ילד אחד בן $14$ לא יכול להקפיץ ממוצע של $10$ ל- $13.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשתי כיתות היה אותו מבחן. השלימו את הטבלה.

	מספר תלמידים	ממוצע	סכום הציונים
כיתה א׳	10	90	____
כיתה ב׳	30	70	____
יחד	____	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כיתה א׳: 900 · כיתה ב׳: 2100 · יחד: 40, 75, 3000

הפתרון:

\begin{aligned}10 \times 90 &= 900 \\ \quad 30 \times 70 &= 2{,}100\end{aligned}

הסכום של כל כיתה

900 + 2{,}100 = 3{,}000

יחד

3{,}000 : 40 = 75

הממוצע המשותף הוא 75, לא $80$ . בכיתה ב׳ פי $3$ תלמידים, והיא מושכת את הממוצע אל ה- $70$ שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נתון חסר: כמה צריך כדי להגיע לממוצע?

מוסיפים נתון, מוציאים נתון

ממוצע של שתי קבוצות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev