השוואה וסידור של שברים ועשרוניים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

במבחן אין זמן להביא כל שבר למכנה משותף.

לפני שמחשבים, מסתכלים על השברים ובוחרים כלי. יש חמישה כלים, ולכל אחד סימן היכר.

11

אותו מכנה — משווים מונים.

22

אותו מונה — המכנה הקטן מנצח: חתיכות גדולות יותר.

33

ליד חצי — משווים בכמה כל שבר עובר את החצי, או כמה חסר לו.

44

ליד שלם — משווים את החתיכה החסרה עד 11.

55

אין סימן היכר — הכפלה בהצלבה.

החתיכה החסרה

מי גדול יותר: 1112\frac{11}{12} או 1213\frac{12}{13}?

להציג את התשובה והפתרון

1213\frac{12}{13}. ל-1112\frac{11}{12} חסרה 112\frac{1}{12}, ול-1213\frac{12}{13} חסרה רק 113\frac{1}{13}. אותו רעיון עובד גם עם 20252026\frac{2025}{2026} ו-20262027\frac{2026}{2027}.

ליד חצי

הכפלה בהצלבה

כשאין סימן היכר — כופלים בהצלבה: כל מונה כפול המכנה של השבר השני.

ab<cd  ⟺  a×d<c×b\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \times d < c \times b

כשהמכנים חיוביים

שבר פשוט מול שבר עשרוני

שבר עשרוני הוא שבר שהמכנה שלו 1010, 100100 או 10001000.

כדי להשוות, מביאים את השבר הפשוט למאיות — או מחלקים.

מקובץ הדוגמאות של המבחן: מי גדול יותר, 525\frac{5}{25} או 0.30.3?

להציג את התשובה והפתרון

0.30.3. מצמצמים קודם: 525=15=20100=0.2\frac{5}{25} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 0.2.

מי גדול יותר: 720\frac{7}{20} או 0.340.34?

להציג את התשובה והפתרון

720\frac{7}{20}. מכפילים מונה ומכנה ב-55: 35100=0.35>0.34\frac{35}{100} = 0.35 > 0.34.

שבר בין שני שברים

בין 13\frac{1}{3} ל-12\frac{1}{2} אין שבר עם מכנה 66: 26\frac{2}{6} ו-36\frac{3}{6} צמודים.

מרחיבים עוד: 412\frac{4}{12} ו-612\frac{6}{12} — ו-512\frac{5}{12} באמצע בדיוק.

קיצור: מחברים מונה למונה ומכנה למכנה. 1+13+2=25\frac{1+1}{3+2} = \frac{2}{5} תמיד נמצא בין השניים — אבל לא בהכרח באמצע.

איזה שבר נמצא בדיוק באמצע בין 37\frac{3}{7} ל-47\frac{4}{7}?

להציג את התשובה והפתרון

12\frac{1}{2}. מרחיבים ל-614\frac{6}{14} ו-814\frac{8}{14}. באמצע: 714=12\frac{7}{14} = \frac{1}{2}.

השוואה עם אותיות

שלוש טעויות שחוזרות בהשוואה.

18>16\frac{1}{8} > \frac{1}{6}
18<16\frac{1}{8} < \frac{1}{6}

מכנה גדול פירושו חתיכות קטנות.

0.25>0.30.25 > 0.3
0.30>0.250.30 > 0.25

משלימים אפסים עד אותו מספר ספרות אחרי הנקודה, ורק אז משווים.

34=3+14+1\frac{3}{4} = \frac{3+1}{4+1}
34<45\frac{3}{4} < \frac{4}{5}

הוספת אותו מספר למונה ולמכנה משנה את השבר. רק כפל או חילוק של שניהם שומרים עליו.

לפני שמחשבים, שאלו: האם כל השברים באותו צד של החצי? אם אחד קטן מחצי והשני גדול ממנו — סיימתם.

תרגילים

תרגיל 1

איזה מהשברים הבאים הוא הגדול ביותר?

  1. 59\frac{5}{9}
  2. 713\frac{7}{13}
  3. 611\frac{6}{11}
  4. 47\frac{4}{7}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 47\frac{4}{7}

הפתרון:

47=12+114\frac{4}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{14}

כל השברים קצת יותר מחצי

59=12+118611=12+122713=12+126\begin{aligned}\frac{5}{9} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{18} \\ \quad \frac{6}{11} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{22} \\ \quad \frac{7}{13} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{26}\end{aligned}

העודף מעל החצי קטן ככל שהמכנה גדל

114>118>122>126\frac{1}{14} > \frac{1}{18} > \frac{1}{22} > \frac{1}{26}

התשובה היא 47\frac{4}{7}. 713\frac{7}{13} מפתה כי המספרים בו הגדולים ביותר — אבל דווקא הוא הקרוב ביותר לחצי, ולכן הקטן מכולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה מהמספרים הבאים הוא הקטן ביותר?

  1. 525\frac{5}{25}
  2. 0.30.3
  3. 14\frac{1}{4}
  4. 0.220.22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 525\frac{5}{25}

הפתרון:

525=15=0.2\begin{aligned}\frac{5}{25} &= \frac{1}{5} \\ &= 0.2\end{aligned}

מצמצמים, ואז מעבירים לעשרוני

14=0.25\frac{1}{4} = 0.25
0.2<0.22<0.25<0.30.2 < 0.22 < 0.25 < 0.3

התשובה היא 525\frac{5}{25}. מי שבוחר 0.220.22 לא צמצם את 525\frac{5}{25} והניח שהמספרים ״הגדולים״ 55 ו-2525 נותנים שבר גדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה מספרים שלמים אפשר לכתוב במקום □\square כך ש-□15\frac{\square}{15} יהיה גדול מ-25\frac{2}{5} וקטן מ-35\frac{3}{5}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

25=61535=915\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{6}{15} \\ \quad \frac{3}{5} &= \frac{9}{15}\end{aligned}

מרחיבים לאותו מכנה, 1515

6<□<96 < \square < 9

המונה חייב להיות בין 66 ל-99, בלי הקצוות

□=7 8\begin{aligned}\square &= 7 \\ \ 8\end{aligned}

שני מספרים

התשובה היא 22: 715\frac{7}{15} ו-815\frac{8}{15}. מי שכולל את 66 ואת 99 מקבל 44, אבל אז השבר שווה לקצה ולא גדול ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

aa ו-bb מספרים שלמים חיוביים, ו-a>ba > b. טענה: אם מוסיפים 11 למונה ולמכנה של ab\frac{a}{b}, השבר קטן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a+1b+1<ab  ⟺  b(a+1)<a(b+1)\frac{a+1}{b+1} < \frac{a}{b} \iff b(a+1) < a(b+1)

הכפלה בהצלבה

ab+b<ab+a  ⟺  b<aab + b < ab + a \iff b < a

מבטלים את abab משני הצדדים

52=2.563=2\begin{aligned}\frac{5}{2} &= 2.5 \\ \quad \frac{6}{3} &= 2\end{aligned}

דוגמה: a=5,b=2a = 5, b = 2

הטענה נכונה. שבר גדול מ-11 מתקרב ל-11 כשמוסיפים לשניהם אותו מספר — כלומר קטן. שבר קטן מ-11 דווקא גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרו את המספרים מהקטן לגדול. בלי מכנה משותף — רק לפי המרחק מהחצי.

  • 12\frac{1}{2}
  • 37\frac{3}{7}
  • 47\frac{4}{7}
  • 511\frac{5}{11}
  • 611\frac{6}{11}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37\frac{3}{7} · 511\frac{5}{11} · 12\frac{1}{2} · 611\frac{6}{11} · 47\frac{4}{7}

הפתרון:

37=12−114511=12−122\begin{aligned}\frac{3}{7} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{14} \\ \quad \frac{5}{11} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{22}\end{aligned}

שניהם מתחת לחצי. ל-511\frac{5}{11} חסר פחות — הוא הגדול מבין השניים

611=12+12247=12+114\begin{aligned}\frac{6}{11} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{22} \\ \quad \frac{4}{7} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{14}\end{aligned}

שניהם מעל החצי. ל-47\frac{4}{7} העודף הגדול

37<511<12<611<47\frac{3}{7} < \frac{5}{11} < \frac{1}{2} < \frac{6}{11} < \frac{4}{7}

הפיתוי הוא לסדר לפי המכנים או לפי המונים. מה שקובע הוא בכמה כל שבר רחוק מהחצי, ומאיזה צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו: איזה מספר גדול מחצי, ואיזה קטן מחצי?

  • גדול מחצי
  • קטן מחצי
  • 1120\frac{11}{20}
  • 1325\frac{13}{25}
  • 613\frac{6}{13}
  • 715\frac{7}{15}
  • 917\frac{9}{17}
  • 0.490.49
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 715\frac{7}{15} — קטן מחצי · 917\frac{9}{17} — גדול מחצי · 1325\frac{13}{25} — גדול מחצי · 0.490.49 — קטן מחצי · 1120\frac{11}{20} — גדול מחצי · 613\frac{6}{13} — קטן מחצי

הפתרון:

7<7.5,6<6.57 < 7.5, \quad 6 < 6.5

המונה קטן מחצי המכנה: 715\frac{7}{15} ו-613\frac{6}{13} קטנים מחצי

9>8.5,13>12.5,11>109 > 8.5, \quad 13 > 12.5, \quad 11 > 10

המונה גדול מחצי המכנה: גדולים מחצי

0.49<0.500.49 < 0.50

לא צריך לחשב אף שבר. משווים את המונה לחצי המכנה — ואת 0.490.49 ל-0.500.50.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

xx מספר חיובי. מי גדול יותר: x5\frac{x}{5} או 5x\frac{5}{x}?

  1. 5x\frac{5}{x}
  2. x5\frac{x}{5}
  3. לא ניתן לדעת
  4. הם תמיד שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא ניתן לדעת

הפתרון:

x=10:105=2>510\begin{aligned}x &= 10: \quad \frac{10}{5} \\ &= 2 > \frac{5}{10}\end{aligned}

כאן x5\frac{x}{5} גדול

x=1:15<51=5\begin{aligned}x &= 1: \quad \frac{1}{5} < \frac{5}{1} \\ &= 5\end{aligned}

וכאן 5x\frac{5}{x} גדול

x=5:55=55\begin{aligned}x &= 5: \quad \frac{5}{5} \\ &= \frac{5}{5}\end{aligned}

ויש גם מקרה של שוויון

התשובה היא לא ניתן לדעת: שתי הצבות נותנות שתי תשובות שונות. כאן ״לא ניתן לדעת״ אינו פיתוי — חסר באמת נתון על xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו המספר השלם הגדול ביותר nn שעבורו n9<57\frac{n}{9} < \frac{5}{7}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

n9<57  ⟺  7n<45\frac{n}{9} < \frac{5}{7} \iff 7n < 45

הכפלה בהצלבה

7×6=42<457×7=49>45\begin{aligned}7 \times 6 &= 42 < 45 \\ \quad 7 \times 7 &= 49 > 45\end{aligned}
n=6n = 6

התשובה היא 66. מי שעונה 77 בדק ש-79\frac{7}{9} ״קרוב״ ל-57\frac{5}{7} — אבל 49>4549 > 45, ולכן 79\frac{7}{9} גדול ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

טענה: בין 25\frac{2}{5} ל-35\frac{3}{5} אין שבר שהמכנה שלו 55, ולכן אין ביניהם אף שבר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

25=41035=610\begin{aligned}\frac{2}{5} &= \frac{4}{10} \\ \quad \frac{3}{5} &= \frac{6}{10}\end{aligned}

מרחיבים פי 22

410<510<610\frac{4}{10} < \frac{5}{10} < \frac{6}{10}

510=12\frac{5}{10} = \frac{1}{2} נמצא ביניהם

הטענה לא נכונה. בין כל שני שברים שונים יש עוד שברים — מרחיבים, והם מופיעים. המכנה 55 פשוט גס מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

רון השווה בין 58\frac{5}{8} ל-711\frac{7}{11} בהכפלה בהצלבה. באיזו שורה הטעות?

5×11=555 \times 11 = 55
7×8=567 \times 8 = 56
55<56⇒58>71155 < 56 \Rightarrow \frac{5}{8} > \frac{7}{11}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55<56⇒58>71155 < 56 \Rightarrow \frac{5}{8} > \frac{7}{11} → 55<56⇒58<71155 < 56 \Rightarrow \frac{5}{8} < \frac{7}{11}

הפתרון:

58<711  ⟺  5×11<7×8\frac{5}{8} < \frac{7}{11} \iff 5 \times 11 < 7 \times 8

המכפלה של המונה הראשון שייכת לשבר הראשון

55<5655 < 56

ולכן השבר הראשון הקטן

החישובים נכונים — הטעות במסקנה. 5555 ״שייך״ ל-58\frac{5}{8}, ו-5656 ל-711\frac{7}{11}. מי שמתבלבל בצד מקבל את ההפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת