שבר של כמות, שבר מהשארית, וחשיבה מהסוף

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

שאלה שמופיעה בכל מבחן כניסה: כמה אנשים לוקחים חלקים ממשהו, זה אחרי זה. בסוף נשאר מספר ידוע.

בכל שלב שואלים שאלה אחת: השבר הזה — ממה הוא לקוח?

שבר של כמות

38\frac{3}{8} מ-2424: מחלקים ל-88 קבוצות שוות — 33 בכל קבוצה. לוקחים 33 קבוצות: 99.

המכנה אומר לכמה קבוצות לחלק. המונה אומר כמה קבוצות לקחת.

56\frac{5}{6} ממספר הם 4040. מהו המספר?

להציג את התשובה והפתרון

4848. אם חמש שישיות הן 4040, שישית אחת היא 88, ושש שישיות הן 4848. כאן הולכים הפוך: מחלקים במונה וכופלים במכנה.

שבר מהשארית

כשכתוב ״מהשאר״, ״ממה שנשאר״ או ״מאלה שעוד לא…״ — השבר לקוח משלם חדש.

הדרך הבטוחה: אחרי כל שלב, לחשב איזה חלק מהכמות המקורית נשאר.

מ-6060 גולות לוקחים שליש, ואחר כך חצי ממה שנשאר. כמה גולות נשארו?

להציג את התשובה והפתרון

2020. אחרי השליש נשארו 4040. חצי מהן הן 2020 — ונשארו 2020. מי שחישב ״שליש ועוד חצי מ-6060״ קיבל 5050 שנלקחו ו-1010 שנשארו.

עובדים מהסוף להתחלה

כשהשאלה נותנת את הסוף ושואלת על ההתחלה, הולכים אחורה.

הופכים כל פעולה: מה שהוציאו — מחזירים, ״חצי״ נהיה ״כפול 22״. ומבצעים את הפעולות בסדר הפוך.

שבר של שבר

״רבע מחצי״ הוא כפל: 14×12=18\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}.

רבע מחצי של מספר הוא 66. מהו המספר?

להציג את התשובה והפתרון

4848. רבע מחצי הוא שמינית. שמינית מהמספר היא 66, ולכן המספר כולו 8×6=488 \times 6 = 48.

שלוש טעויות שהמסיחים בנויים מהן.

25+23=1615\frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{16}{15}
25+23×35=45\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{5}

סכום שגדול מ-11 פירושו שלקחתם שבר מהכול במקום מהשארית.

(15−10)×2(15 - 10) \times 2
(15+10)×2(15 + 10) \times 2

בדרך אחורה הופכים כל פעולה: מה שהוציאו — מחזירים.

24×3=7224 \times 3 = 72
24×5=12024 \times 5 = 120

2424 הם שליש מהשארית, לא מהשכבה. ״7272״ הוא השארית, לא התשובה.

בסוף כל שאלה כזו, בדקו קדימה עם המספר שקיבלתם. אם הגעתם לחצי תלמיד או לגולה וחצי — משהו השתבש.

תרגילים

תרגיל 1

בכיתה: 13\frac{1}{3} מהתלמידים בחרו כדורגל, 14\frac{1}{4} בחרו כדורסל, 25\frac{2}{5} בחרו שחייה, והשאר בחרו שחמט. איזה חלק מהכיתה בחר שחמט?

  1. 5960\frac{59}{60}
  2. 512\frac{5}{12}
  3. 23\frac{2}{3}
  4. 160\frac{1}{60}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 160\frac{1}{60}

הפתרון:

13+14+25=20+15+2460\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{20 + 15 + 24}{60}

מכנה משותף 6060

=5960= \frac{59}{60}

שלושת החוגים יחד

1−5960=1601 - \frac{59}{60} = \frac{1}{60}

השאר

התשובה היא 160\frac{1}{60}. כאן כל השברים לקוחים מכל הכיתה, ולכן מחברים אותם. 23\frac{2}{3} בא מחיבור מונים ומכנים (412\frac{4}{12}), ו-5960\frac{59}{60} הוא שלושת החוגים — לא השאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ביום ראשון קראה נועה 25\frac{2}{5} מהספר. ביום שני קראה חצי ממה שנשאר. נשארו לה 9090 עמודים. כמה עמודים בספר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

1−25=351 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

אחרי יום ראשון

12×35=310\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

אחרי יום שני נשאר חצי מזה

310=90⇒110=30⇒300\begin{aligned}\frac{3}{10} &= 90 \Rightarrow \frac{1}{10} \\ &= 30 \Rightarrow 300\end{aligned}

בספר 300300 עמודים. מי שחושב שנשאר 1−25−12=1101 - \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10} מקבל 900900 — אבל החצי לקוח מהשארית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

2424 הסוכריות שבשקית

בשקית 2424 סוכריות. יוני לקח 14\frac{1}{4} מהן. מאיה לקחה 13\frac{1}{3} מהסוכריות שנשארו, וטל לקח חצי ממה שנשאר אחרי מאיה. כמה סוכריות נשארו בשקית?

  1. 00
  2. 1212
  3. 66
  4. 55
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 66

הפתרון:

24−6=1824 - 6 = 18

יוני לקח רבע: 66

18−6=1218 - 6 = 12

מאיה לקחה שליש מ-1818: 66

12−6=612 - 6 = 6

טל לקח חצי מ-1212: 66

נשארו 66 סוכריות. 55 מתקבל כשמאיה לוקחת שליש מכל ה-2424, 1212 שוכח את טל, ו-00 לוקח את החצי של טל מכל השקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

טענה: חצי משני שלישים של מספר שווה לשני שלישים מחצי של אותו מספר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

12×23=13\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
23×12=13\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

כפל אפשר לבצע בכל סדר

60→40→20,60→30→2060 \to 40 \to 20, \quad 60 \to 30 \to 20

בדיקה עם 6060

הטענה נכונה. ״שבר של שבר״ הוא כפל, ובכפל הסדר לא משנה. זה מה שמבדיל אותו מ״שבר מהשארית״, שבו הסדר כן משנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

37\frac{3}{7} מהספרים שעל המדף הם ספרי קריאה. יש 1212 ספרי קריאה. כמה ספרים על המדף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

37=12⇒17=12:3=4\begin{aligned}\frac{3}{7} &= 12 \Rightarrow \frac{1}{7} \\ &= 12 : 3 \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במונה

77=7×4=28\begin{aligned}\frac{7}{7} &= 7 \times 4 \\ &= 28\end{aligned}

כופלים במכנה

על המדף 2828 ספרים. מי שעונה 37×12\frac{3}{7} \times 12 לקח שבר מ-1212 — אבל 1212 הוא החלק, לא השלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

דני אכל 14\frac{1}{4} מהעוגה, ורוני אכלה 13\frac{1}{3} ממה שנשאר. מי אכל יותר?

  1. שניהם אכלו אותה כמות
  2. לא ניתן לדעת — לא ידוע כמה גדולה העוגה
  3. רוני
  4. דני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שניהם אכלו אותה כמות

הפתרון:

1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

מה שנשאר אחרי דני

13×34=14\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

החלק של רוני — מכל העוגה

שניהם אכלו רבע עוגה. ״רוני״ הוא הפיתוי של מי שמשווה 13\frac{1}{3} ל-14\frac{1}{4} ושוכח שהשליש לקוח מהשאר. גודל העוגה לא משנה — השאלה היא על חלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במכל היו 120120 ליטר מים. ביום א השתמשו ב-14\frac{1}{4} מהמים, ביום ב ב-13\frac{1}{3} מהשאר, וביום ג בחצי מהשאר. השלימו את הטבלה.

היוםהשתמשו (ליטר)נשאר במכל (ליטר)
יום א________
יום ב________
יום ג________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יום א: 30, 90 · יום ב: 30, 60 · יום ג: 30, 30

הפתרון:

14×120=30120−30=90\begin{aligned}\frac{1}{4} \times 120 &= 30 \\ \quad 120 - 30 &= 90\end{aligned}

יום א

13×90=3090−30=60\begin{aligned}\frac{1}{3} \times 90 &= 30 \\ \quad 90 - 30 &= 60\end{aligned}

יום ב: השליש לקוח מ-9090

12×60=3060−30=30\begin{aligned}\frac{1}{2} \times 60 &= 30 \\ \quad 60 - 30 &= 30\end{aligned}

יום ג: החצי לקוח מ-6060

כל יום השתמשו באותה כמות — 3030 ליטר — למרות שהשברים גדלו. השבר גדל, אבל השלם שלו קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ליעל היו מדבקות. היא נתנה חצי מהן לאחיה, אחר כך 66 מדבקות לחברה, ואחר כך 13\frac{1}{3} ממה שנשאר לבת דודה. נשארו לה 1616. סדרו את שלבי החישוב אחורה, מהסוף להתחלה.

  • 16:2×3=2416 : 2 \times 3 = 24
  • 24+6=3024 + 6 = 30
  • 30×2=6030 \times 2 = 60
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16:2×3=2416 : 2 \times 3 = 24 · 24+6=3024 + 6 = 30 · 30×2=6030 \times 2 = 60

הפתרון:

16=23×□⇒□=24\begin{aligned}16 &= \frac{2}{3} \times \square \Rightarrow \square \\ &= 24\end{aligned}

אחרי השליש נשארו שני שלישים

24+6=3024 + 6 = 30

מחזירים את ה-66

30×2=6030 \times 2 = 60

מבטלים את החצי

60→30→24→1660 \to 30 \to 24 \to 16

בדיקה קדימה

ליעל היו 6060 מדבקות. הפיתוי בשלב הראשון: 16×3=4816 \times 3 = 48 — כאילו 1616 הוא השליש. אבל 1616 הוא מה שנשאר, כלומר שני שלישים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ביום ראשון קרא איתי 13\frac{1}{3} מהספר, וביום שני חצי ממה שנשאר. נשארו לו 4040 עמודים. באיזו שורה הטעות?

1−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
23−12=16\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}
13=40⇒3×40=120\begin{aligned}\frac{1}{3} &= 40 \Rightarrow 3 \times 40 \\ &= 120\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23−12=16\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} → 23−12×23=13\frac{2}{3} - \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

הפתרון:

12×23=13\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

החצי של יום שני — מתוך שני השלישים

23−13=13\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

זה מה שנשאר

13=40⇒120\frac{1}{3} = 40 \Rightarrow 120

בספר 120120 עמודים. השורה השנייה מחסירה חצי מכל הספר. היא הייתה מובילה ל-16=40\frac{1}{6} = 40, כלומר 240240 — המסיח הקלאסי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

טענה: אם לוקחים חצי מכמות, ואחר כך חצי ממה שנשאר, לא נשאר כלום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1−12=121 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

אחרי החצי הראשון

12−12×12=14\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

החצי השני לקוח מהחצי שנשאר

100→50→25100 \to 50 \to 25

דוגמה עם 100100

הטענה לא נכונה: נשאר רבע. ״חצי ועוד חצי = שלם״ נכון רק כששני החצאים לקוחים מאותו שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת