סדרה 2 — שברים ועשרוניים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, מכל נושאי הפרק: חמש עשרה דקות בשעון, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו תשובה סבירה והמשיכו. אחרי עשר השאלות באות שלוש שאלות אימון בצורה אחרת, בלי שעון.

תרגילים

תרגיל 1

איזה מהמספרים הבאים הוא הגדול ביותר?

  1. 1217\frac{12}{17}
  2. 57\frac{5}{7}
  3. 0.70.7
  4. 0.710.71
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 57\frac{5}{7}

הפתרון:

57=0.714…\frac{5}{7} = 0.714\ldots
1217=0.705…\frac{12}{17} = 0.705\ldots
0.714…>0.71>0.705…>0.70.714\ldots > 0.71 > 0.705\ldots > 0.7

התשובה היא 57\frac{5}{7}. 0.710.71 מפתה כי הוא ״נראה״ גדול מ-0.70.7 — אבל 57\frac{5}{7} ממשיך אחרי 0.710.71: 0.7140.714.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באוניברסיטה: 12\frac{1}{2} מהסטודנטים לומדים מתמטיקה, 15\frac{1}{5} לומדים הנדסה, 16\frac{1}{6} לומדים היסטוריה, והשאר לומדים פסיכולוגיה. 2424 סטודנטים לומדים פסיכולוגיה. כמה סטודנטים באוניברסיטה?

  1. 120120
  2. 7272
  3. 180180
  4. 360360
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 180180

הפתרון:

12+15+16=15+6+530=2630\begin{aligned}\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} &= \frac{15 + 6 + 5}{30} \\ &= \frac{26}{30}\end{aligned}

כאן כל השברים מהכול

1−2630=430=215\begin{aligned}1 - \frac{26}{30} &= \frac{4}{30} \\ &= \frac{2}{15}\end{aligned}

פסיכולוגיה

215=24⇒115=12⇒180\begin{aligned}\frac{2}{15} &= 24 \Rightarrow \frac{1}{15} \\ &= 12 \Rightarrow 180\end{aligned}

התשובה היא 180180. 360360 מתייחס לשאר כאילו הוא 115\frac{1}{15}, ו-120120 כאילו הוא 15\frac{1}{5}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

למרפסת צריך 180180 אריחים. 13\frac{1}{3} מהם צבעוניים ועולים 7575 אגורות כל אחד, והשאר לבנים ועולים 4040 אגורות כל אחד. כמה עולים כל האריחים?

  1. 9,3009{,}300 ₪
  2. 7272 ₪
  3. 135135 ₪
  4. 9393 ₪
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 9393 ₪

הפתרון:

60×0.75=4560 \times 0.75 = 45

6060 צבעוניים

120×0.4=48120 \times 0.4 = 48

120120 לבנים

45+48=9345 + 48 = 93

האריחים עולים 9393 ₪. 9,3009{,}300 הוא המחיר באגורות. 135135 ₪ ו-7272 ₪ מחשבים את כל 180180 האריחים באותו מחיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו: 0.4×0.5×0.25×80.4 \times 0.5 \times 0.25 \times 8

  1. 0.40.4
  2. 0.040.04
  3. 4040
  4. 44
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0.40.4

הפתרון:

0.5×8=40.5 \times 8 = 4

מזווגים גורמים נוחים

0.4×0.25=0.10.4 \times 0.25 = 0.1
4×0.1=0.44 \times 0.1 = 0.4

התשובה היא 0.40.4. שלושה מספרים עשרוניים בתרגיל — קל לאבד את הנקודה. הזיווג חוסך את הכפל הארוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

23\frac{2}{3} מתלמידי הכיתה בנות. 34\frac{3}{4} מהבנות ו-12\frac{1}{2} מהבנים יצאו לטיול. איזה חלק מהכיתה יצא לטיול?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 58\frac{5}{8}
  3. 712\frac{7}{12}
  4. 23\frac{2}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 23\frac{2}{3}

הפתרון:

34×23=12\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

הבנות שיצאו, מתוך הכיתה

12×13=16\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

הבנים שיצאו, מתוך הכיתה

12+16=23\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

התשובה היא 23\frac{2}{3}. 58\frac{5}{8} הוא הממוצע של 34\frac{3}{4} ו-12\frac{1}{2} — נכון רק אם יש אותו מספר בנים ובנות. 712\frac{7}{12} מחליף בין הבנים לבנות, ו-12\frac{1}{2} סופר רק את הבנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

aa ו-bb מספרים שלמים חיוביים, ו-a<ba < b. איזה מהביטויים הבאים אינו קטן מ-11?

  1. a+1b+1\frac{a+1}{b+1}
  2. ab\frac{a}{b}
  3. 2aa+b\frac{2a}{a+b}
  4. a+b2a\frac{a+b}{2a}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד a+b2a\frac{a+b}{2a}

הפתרון:

a<b⇒ab<1,a+1b+1<1a < b \Rightarrow \frac{a}{b} < 1, \quad \frac{a+1}{b+1} < 1

מונה קטן ממכנה

2a=a+a<a+b⇒2aa+b<12a = a + a < a + b \Rightarrow \frac{2a}{a+b} < 1
a+b>a+a=2a⇒a+b2a>1a + b > a + a = 2a \Rightarrow \frac{a+b}{2a} > 1

התשובה היא a+b2a\frac{a+b}{2a}. בכל ביטוי משווים מונה למכנה: רק כאן המונה גדול יותר. 2aa+b\frac{2a}{a+b} נראה ״גדול״ בגלל ה-22, אבל הוא ההפוך של התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מחיר עלה ב-10%10\%, ואחר כך המחיר החדש עלה שוב ב-10%10\%. בכמה אחוזים עלה המחיר בסך הכול?

  1. 121%121\%
  2. 21%21\%
  3. 11%11\%
  4. 20%20\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 21%21\%

הפתרון:

100→110100 \to 110

נניח שהמחיר היה 100100

110→121110 \to 121

10%10\% מ-110110 הם 1111

121−100=21121 - 100 = 21

התשובה היא 21%21\%. 20%20\% מחבר את האחוזים, אבל העלייה השנייה מחושבת ממחיר גדול יותר. 121%121\% הוא המחיר החדש, לא העלייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשחק, איתן הכפיל את הנקודות שלו ואז הפסיד 66 נקודות. אחר כך שוב הכפיל ושוב הפסיד 66. עכשיו יש לו 3030 נקודות. כמה נקודות היו לו בהתחלה?

  1. 1212
  2. 2121
  3. 33
  4. 1818
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1212

הפתרון:

(30+6):2=18(30 + 6) : 2 = 18

לפני הסיבוב השני: מחזירים את ההפסד, ומחלקים

(18+6):2=12(18 + 6) : 2 = 12

לפני הסיבוב הראשון

12→18→3012 \to 18 \to 30

בדיקה: 24−624 - 6, 36−636 - 6

התשובה היא 1212. 33 מחסיר את ה-66 בדרך אחורה במקום להוסיף, 1818 עוצר אחרי סיבוב אחד, ו-2121 מחלק לפני שמוסיף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במספר 0.□40.\square 4 חסרה ספרה אחת. כשכופלים אותו ב-55, מקבלים מספר בין 22 ל-33. כמה ספרות שונות יכולות להיות במקום □\square?

  1. 33
  2. 00
  3. 22
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 22

הפתרון:

2<0.□4×5<3⇒0.4<0.□4<0.62 < 0.\square 4 \times 5 < 3 \Rightarrow 0.4 < 0.\square 4 < 0.6

מחלקים ב-55

0.44×5=2.20.54×5=2.7\begin{aligned}0.44 \times 5 &= 2.2 \\ \quad 0.54 \times 5 &= 2.7\end{aligned}

□=4\square = 4 ו-□=5\square = 5 מתאימים

0.34×5=1.70.64×5=3.2\begin{aligned}0.34 \times 5 &= 1.7 \\ \quad 0.64 \times 5 &= 3.2\end{aligned}

הספרות הסמוכות לא מתאימות

התשובה היא 22: הספרות 44 ו-55. מי שבודק רק ״0.50.5 כפול 55 הוא 2.52.5״ מוצא ספרה אחת ומפספס את 0.440.44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDE

ABCDABCD מלבן, ו-EE נקודה כלשהי על הצלע DCDC. איזה חלק מהמלבן הוא המשולש הצבוע ABEABE?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. לא ניתן לדעת — זה תלוי במקום של EE
  3. 13\frac{1}{3}
  4. 14\frac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 12\frac{1}{2}

הפתרון:

SABE=AB×h2S_{ABE} = \frac{AB \times h}{2}

הבסיס ABAB; הגובה מ-EE אל ABAB

h=ADh = AD

לכל נקודה על DCDC הגובה הוא רוחב המלבן

AB×AD2=12SABCD\frac{AB \times AD}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD}

התשובה היא 12\frac{1}{2}, בכל מקום של EE. ״לא ניתן לדעת״ נראה סביר כי EE ״כלשהי״ — אבל הבסיס והגובה לא תלויים בה. 13\frac{1}{3} בא מספירת שלושת החלקים שבציור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בכיתה 3030 תלמידים. חצי מהם בחוג כדורגל, 15\frac{1}{5} בחוג שחמט ו-16\frac{1}{6} בחוג מוזיקה. כל תלמיד בחוג אחד לכל היותר. כמה תלמידים אינם באף חוג?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

12×30=1515×30=616×30=5\begin{aligned}\frac{1}{2} \times 30 &= 15 \\ \quad \frac{1}{5} \times 30 &= 6 \\ \quad \frac{1}{6} \times 30 &= 5\end{aligned}

כאן כל שבר לקוח מכל הכיתה

30−15−6−5=430 - 15 - 6 - 5 = 4

44. כאן אין ״מהשאר״: כל השברים מכל הכיתה, ומותר לחבר אותם — 2630\frac{26}{30}. לפני שמחשבים, בודקים ממה כל שבר לקוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מחיר של 100100 ₪ עלה ב-10%10\%, ואחר כך המחיר החדש עלה שוב ב-10%10\%. באיזו שורה הטעות?

100×1.1=110100 \times 1.1 = 110
110+10=120110 + 10 = 120
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110+10=120110 + 10 = 120 → 110×1.1=121110 \times 1.1 = 121

הפתרון:

100×1.1=110100 \times 1.1 = 110

העלייה הראשונה

110×1.1=121110 \times 1.1 = 121

השנייה מחושבת מ-110110: עוד 1111 ₪

הטעות בשורה השנייה: 10%10\% מ-110110 הם 1111, לא 1010. העלייה הכוללת היא 21%21\%, לא 20%20\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

aa ו-bb מספרים שלמים חיוביים, ו-a<ba < b. מיינו כל ביטוי: גדול מ-11 או קטן מ-11?

  • גדול מ-1
  • קטן מ-1
  • 2ba\frac{2b}{a}
  • a2b\frac{a}{2b}
  • ab\frac{a}{b}
  • a+1b+1\frac{a+1}{b+1}
  • ba\frac{b}{a}
  • b+1a\frac{b+1}{a}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ab\frac{a}{b} — קטן מ-1 · ba\frac{b}{a} — גדול מ-1 · a+1b+1\frac{a+1}{b+1} — קטן מ-1 · 2ba\frac{2b}{a} — גדול מ-1 · a2b\frac{a}{2b} — קטן מ-1 · b+1a\frac{b+1}{a} — גדול מ-1

הפתרון:

ab<1,a2b<ab\frac{a}{b} < 1,\quad \frac{a}{2b} < \frac{a}{b}

המונה קטן מהמכנה

a+1b+1<1\frac{a+1}{b+1} < 1

a+1<b+1a + 1 < b + 1 — עדיין המונה קטן

ba>1,2ba>ba,b+1a>ba\frac{b}{a} > 1,\quad \frac{2b}{a} > \frac{b}{a},\quad \frac{b+1}{a} > \frac{b}{a}

המונה גדול מהמכנה

משווים מונה למכנה, בלי להציב מספרים. המלכודת: a+1b+1\frac{a+1}{b+1} — הוספת 11 לשניהם משנה את השבר, אבל לא מעבירה אותו מעבר ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת