זוויות המשולש · גיאומטריה — ריבוע, מלבן ומשולש · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

שלושה כללים פותרים כמעט כל שאלת זוויות במשולש: הסכום, שווה השוקיים והזווית החיצונית. לפעמים הם מסתתרים בתוך מלבן או ריבוע.

\alpha + \beta + \gamma = 180°

סכום הזוויות במשולש

\alpha = \beta

במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות

60°,\ 60°,\ 60°

משולש שווה צלעות

\delta = \alpha + \beta

זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הרחוקות ממנה

האם במשולש יכולות להיות שתי זוויות קהות?

להציג את התשובה והפתרון

לא. שתי זוויות קהות הן יחד יותר מ- $180°$ , ולא נשאר מקום לשלישית. גם שתי ישרות אי אפשר: הן כבר $180°$ .

משולש שווה שוקיים

המלכודת: איזו זווית נתונה?

40° \rightarrow 40°,\ 70°,\ 70°

40°,\ 40°,\ 100°

«זווית בסיס $40°$ »: גם הזווית השנייה בבסיס $40°$ , והראש $100°$ .

40° \Rightarrow 70°

לא כתוב איזו זווית נתונה? יש שתי אפשרויות — והמבחן אוהב לשאול בדיוק על זה.

זוויות ביחס

פעילות אינטראקטיבית

יחס 2:3:4

הזוויות של משולש הן ביחס $2:3:4$ . מהי הזווית הגדולה?

$40°$

$80°$

$90°$

$45°$

מה מחשבים קודם?

את מספר החלקים: $2 + 3 + 4$

מחלקים 180 ב-4

להציג את התשובה והפתרון

4 הוא רק החלק של הזווית הגדולה, לא מספר החלקים כולו.

מחלקים 180 ב-3, כי יש שלוש זוויות

להציג את התשובה והפתרון

יש שלוש זוויות, אבל הן לא שוות — יש תשעה חלקים.

2 + 3 + 4 = 9

תשעה חלקים שווים.

כמה מעלות בחלק אחד?

$20°$

להציג את התשובה והפתרון

זה $180 : 4$ .

$60°$

להציג את התשובה והפתרון

זה $180 : 3$ .

180 : 9 = 20

ומה הזווית הגדולה?

ארבעה חלקים: $80°$

שלושה חלקים: $60°$

להציג את התשובה והפתרון

זו הזווית האמצעית.

$90°$ , כי היא הגדולה

להציג את התשובה והפתרון

לא כל משולש הוא ישר זווית.

4 \times 20 = 80

הזוויות: $40°$ , $60°$ , $80°$ — והסכום $180°$ .

להציג את התשובה והפתרון

$80°$ . $40°$ היא הזווית הקטנה, $45°$ מחלק ב-4 במקום ב-9, ו- $90°$ מניח משולש ישר זווית.

לעשות את הפעילות ב-elev

הזווית החיצונית

מלבן שנחתך באלכסון

כל פינה של מלבן היא $90°$ . האלכסון מחלק פינה לשתי זוויות, ויחד הן $90°$ .

שני האלכסונים של מלבן נחתכים בנקודה $O$ . למה המשולש $AOB$ שווה שוקיים?

להציג את התשובה והפתרון

האלכסונים של מלבן שווים, וחוצים זה את זה. לכן $OA = OB$ — כל אחד חצי אלכסון. אם $\angle OAB = 30°$ , גם $\angle OBA = 30°$ , ו- $\angle AOB = 120°$ .

תרגילים

תרגיל 1

במשולש שווה השוקיים שבשרטוט, זווית הראש היא $40°$ . מה גודל הזווית המסומנת ב-?

$40°$
$70°$
$140°$
$50°$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $70°$

הפתרון:

180 - 40 = 140

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס

140 : 2 = 70

הן שוות

התשובה: $70°$ . $140°$ שוכח לחלק ב-2, ו- $40°$ מעתיק את זווית הראש לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הזוויות של משולש הן ביחס $1:3:5$ . כמה מעלות יש בזווית הקטנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

1 + 3 + 5 = 9

תשעה חלקים

180 : 9 = 20

חלק אחד — הזווית הקטנה

20°,\ 60°,\ 100°

בדיקה: הסכום $180°$

התשובה: $20°$ . מי שמחלק 180 ב-3 (מספר הזוויות) מקבל 60 — זו הזווית האמצעית, במקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש שווה שוקיים שבו יש זווית של $100°$ , כל אחת משתי הזוויות האחרות היא $40°$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

100 + 100 > 180

$100°$ לא יכולה להיות זווית בסיס — יש שתיים כאלה

(180 - 100) : 2 = 40

לכן $100°$ היא הראש

הטענה נכונה. זווית קהה במשולש שווה שוקיים היא תמיד זווית הראש, ולכן אין כאן שתי אפשרויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט, המשך הצלע $AB$ יוצר ליד $B$ זווית חיצונית של $120°$ , ו- $\angle A = 50°$ . מה גודל $\angle C$ ?

$130°$
$50°$
$70°$
$60°$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $70°$

הפתרון:

\angle A + \angle C = 120

הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הרחוקות

\begin{aligned}\angle C &= 120 - 50 \\ &= 70\end{aligned}

התשובה: $70°$ . $60°$ היא $\angle B$ — הזווית הצמודה לחיצונית. $130°$ מחבר במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

יש משולש שבו זווית אחת שווה לסכום שתי האחרות, והוא לא ישר זווית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\gamma = \alpha + \beta

\gamma + \gamma = 180

הסכום של שלוש הזוויות

\gamma = 90

לא נכון. זווית ששווה לסכום שתי האחרות היא חצי מ- $180°$ — כלומר ישרה. תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אילו שלשות של זוויות יכולות להיות הזוויות של משולש?

יכול להיות משולש
לא יכול להיות

$100°,\ 50°,\ 40°$
$120°,\ 30°,\ 30°$
$45°,\ 45°,\ 45°$
$50°,\ 60°,\ 70°$
$60°,\ 60°,\ 70°$
$90°,\ 89°,\ 1°$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $50°,\ 60°,\ 70°$ — יכול להיות משולש · $100°,\ 50°,\ 40°$ — לא יכול להיות · $120°,\ 30°,\ 30°$ — יכול להיות משולש · $60°,\ 60°,\ 70°$ — לא יכול להיות · $90°,\ 89°,\ 1°$ — יכול להיות משולש · $45°,\ 45°,\ 45°$ — לא יכול להיות

הפתרון:

50 + 60 + 70 = 180

אפשרי

100 + 50 + 40 = 190

לא אפשרי: יותר מ- $180°$

45 + 45 + 45 = 135

לא אפשרי: פחות מ- $180°$

בודקים רק את הסכום: $180°$ בדיוק. 190 ו-135 לא מתאימים — גם כשהזוויות נראות «סבירות».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש שווה שוקיים, הזווית החיצונית ליד קודקוד הראש היא $100°$ . כמה מעלות בכל זווית בסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

180 - 100 = 80

זווית הראש

(180 - 80) : 2 = 50

$50°$ . ובקיצור: הזווית החיצונית שווה לסכום שתי זוויות הבסיס, ולכן $100 : 2 = 50$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ : $\angle A = 70°$ , ו- $AB = BC$ . מה גודל $\angle B$ ?

לא ניתן לדעת
$70°$
$55°$
$40°$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $40°$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= BC \Rightarrow \angle C \\ &= \angle A \\ &= 70\end{aligned}

הזוויות שמול הצלעות השוות

180 - 70 - 70 = 40

התשובה: $40°$ . המלכודת היא 55: היא מניחה ש- $A$ היא זווית הראש. הצלעות השוות נפגשות ב- $B$ — לכן $B$ הוא הראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו.

בריבוע שרטטו את שני האלכסונים. הזווית בין שני האלכסונים היא ____ מעלות, והזווית בין אלכסון לצלע היא ____ מעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בריבוע שרטטו את שני האלכסונים. הזווית בין שני האלכסונים היא 90 מעלות, והזווית בין אלכסון לצלע היא 45 מעלות.

הפתרון:

90 : 2 = 45

האלכסון חוצה את זווית הפינה: שני משולשים שווי שוקיים

180 - 45 - 45 = 90

במשולש שבין שני חצאי אלכסונים

בריבוע האלכסונים ניצבים זה לזה. במלבן שאינו ריבוע — לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט, הזווית החיצונית ליד $C$ היא $130°$ , ו- $\angle A$ גדולה מ- $\angle B$ ב- $10°$ . כמה מעלות ב- $\angle A$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

\angle A + \angle B = 130

הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הרחוקות

(130 + 10) : 2 = 70

הגדולה מבין השתיים

$70°$ , ו- $\angle B = 60°$ . המלכודת: 65 הוא חצי מ-130, והוא שוכח את ההפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משולש שווה שוקיים

זוויות ביחס

הזווית החיצונית

מלבן שנחתך באלכסון

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev