טבלאות היגיון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כשיש כמה אנשים, וכל אחד מקבל דבר אחד מכל סוג — קומה אחת, חיה אחת, תחפושת אחת — משרטטים טבלה.

11

השורות — סוג אחד. העמודות — סוג שני.

22

בכל משבצת: ✓ ("כן") או ✗ ("לא").

33

בכל שורה ובכל עמודה — ✓ אחד בדיוק.

בניין, שלוש משפחות, שלוש חיות

בבניין בן שלוש קומות גרות שלוש משפחות: אלון, ברק וגולן. כל משפחה מגדלת חיה אחת: תוכי, דג או צב.

11

משפחת אלון גרה מעל משפחת גולן.

22

הדג גר בקומה העליונה.

33

משפחת ברק מגדלת צב.

44

התוכי לא בקומה הראשונה.

קודם מחברים חיות לקומות: עליהן יש שני רמזים ישירים.

נמחק את הרמז "משפחת ברק מגדלת צב". האם עדיין ידוע מי גר בקומה העליונה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. החיות עדיין נקבעות (דג 3, תוכי 2, צב 1), אבל המשפחות לא: אלון מעל גולן מתאים לשלושה סידורים, ובקומה 3 יכולים לגור אלון או ברק.

רמז שמסתיר "לא"

הרמזים החזקים ביותר לפעמים לא נראים כמו רמזים.

עם\text{עם}

"עדי ונדב הלכו למסיבה עם האסטרונאוט" — אף אחד מהם אינו האסטרונאוט.

ליד\text{ליד}

"הליצן ישב ליד נדב" — נדב אינו הליצן.

כל משפט שמזכיר שני דברים כשני אנשים שונים — הוא שני ✗.

רמז מיותר, רמז חסר

יש שאלות ששואלות: איזה רמז אפשר למחוק, ועדיין לקבל פתרון אחד? או: איזה רמז צריך להוסיף כדי שיהיה פתרון אחד?

הדרך: מוחקים (או מוסיפים) רמז אחד בכל פעם, ובודקים כמה פתרונות נשארו.

בחידת הבניין — אפשר למחוק את הרמז "התוכי לא בקומה הראשונה"?

להציג את התשובה והפתרון

לא. בלי הרמז, התוכי והצב יכולים להתחלף בין קומות 1 ו-2, ואז גם משפחת ברק זזה. נשארים שני פתרונות.

שתי טעויות בטבלה.

תוכי≠1⇒תוכי=2\text{תוכי} \neq 1 \Rightarrow \text{תוכי} = 2
תוכי=2  או  3\text{תוכי} = 2 \;\text{או}\; 3

"לא בקומה 1" משאיר שתי אפשרויות. רק אחרי שעמודה אחרת נסגרת נשארת אחת.

✓  בשורה\checkmark \;\text{בשורה}
✓  ⇒  ×  בכל השורה ובכל העמודה\checkmark \;\Rightarrow\; \times \;\text{בכל השורה ובכל העמודה}

כששמים ✓, ממלאים מיד ✗ בכל שאר השורה וגם בכל שאר העמודה. מי ששוכח את העמודה מפספס את רוב הפתרון.

בשלוש קבוצות (משפחה, קומה, חיה) — קשרו קודם את שתי הקבוצות שעליהן יש הכי הרבה רמזים ישירים. רמז על "הדג" ועל "קומה 3" מחבר חיה לקומה; רק אחר כך מחברים משפחות.

תרגילים

תרגיל 1

מכשפהשוטרדרקון
שקד
תומר
ליאת

שלושה ילדים — שקד, תומר וליאת — התחפשו בפורים למכשפה, לשוטר ולדרקון, כל אחד לתחפושת אחרת. שקד וליאת הצטלמו יחד עם הדרקון. השוטר נתן לשקד סוכרייה. למה התחפשה ליאת?

  1. מכשפה
  2. דרקון
  3. לא ניתן לדעת
  4. שוטר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שוטר

הפתרון:

שקד, ליאת≠דרקון\text{שקד},\ \text{ליאת} \neq \text{דרקון}

הן הצטלמו עם הדרקון — הוא מישהו אחר

תומר=דרקון\text{תומר} = \text{דרקון}

בעמודת הדרקון נשאר רק תומר

שקד≠שוטר\text{שקד} \neq \text{שוטר}

השוטר נתן לשקד — שני אנשים שונים

שקד=מכשפה ליאת=שוטר\begin{aligned}\text{שקד} &= \text{מכשפה} \\ \ \text{ליאת} &= \text{שוטר}\end{aligned}

מה שנשאר

ליאת התחפשה לשוטר. מי שענה "לא ניתן לדעת" חיפש רמז מפורש כמו "ליאת לא מכשפה" — אבל כל רמז "עם" או "נתן ל..." הוא ✗ מוסתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ארבעה חברים — אורן, בלה, גדי ודליה — גרים באותו בניין בן ארבע קומות, כל אחד בקומה אחרת. אורן גר מעל בלה. גדי גר קומה אחת בדיוק מתחת לדליה. בלה לא גרה בקומה 1, ודליה לא גרה בקומה 4. באיזו קומה גר גדי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

בלה≠1, אורן>בלה\text{בלה} \ne 1,\ \text{אורן} > \text{בלה}

בלה בקומה 2 או 3, ואורן מעליה

גדי דליה=(1,2)  או  (2,3)\begin{aligned}\text{גדי} \\ \ \text{דליה} &= (1,2) \;\text{או}\; (2,3)\end{aligned}

שתי קומות צמודות, ודליה לא ב-4

(2,3)⇒בלה=1  או  4  ×(2, 3) \Rightarrow \text{בלה} = 1 \;\text{או}\; 4 \;\times

בלה לא ב-1, ובקומה 4 אין מקום לאורן מעליה

גדי=1 דליה=2 בלה=3 אורן=4\begin{aligned}\text{גדי} &= 1 \\ \ \text{דליה} &= 2 \\ \ \text{בלה} &= 3 \\ \ \text{אורן} &= 4\end{aligned}

הסידור היחיד

גדי גר בקומה 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גיטרהכינורתופים
טל
שני
רון

שלוש חברות — טל, שני ורון — מנגנות בגיטרה, בכינור ובתופים, כל אחת בכלי אחר. נתונים ארבעה רמזים: (1) טל לא מנגנת בתופים. (2) שני לא מנגנת בגיטרה. (3) רון לא מנגנת בכינור. (4) המתופפת אינה שני. איזה רמז אפשר למחוק, ועדיין לדעת בדיוק מי מנגנת במה?

  1. רמז 2
  2. רמז 3
  3. רמז 1
  4. רמז 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב רמז 3

הפתרון:

שני≠גיטרה, תופים⇒כינור\text{שני} \neq \text{גיטרה},\ \text{תופים} \Rightarrow \text{כינור}

רמזים 2 ו-4 קובעים את שני

טל≠תופים⇒גיטרה\text{טל} \neq \text{תופים} \Rightarrow \text{גיטרה}

רמז 1 קובע את טל, ולרון נשארו התופים

רון≠כינור\text{רון} \neq \text{כינור}

רמז 3 לא הוסיף כלום: הכינור כבר של שני

התשובה היא רמז 3. בלי רמז 1, טל ורון יכולות להתחלף בין גיטרה לתופים; בלי רמז 2 או רמז 4, שני יכולה לקבל כלי אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בחידת הבניין שבשיעור (אלון מעל גולן, הדג בקומה 3, ברק מגדלת צב, התוכי לא בקומה 1): אם מוחקים את הרמז "ברק מגדלת צב", עדיין ידוע בוודאות איזו חיה גרה בקומה 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

דג=3\text{דג} = 3

הרמז על הדג לא נמחק

תוכי=2\text{תוכי} = 2

התוכי לא ב-1, וקומה 3 תפוסה

נכון. בקומה 2 גר התוכי בכל מקרה — הרמזים על החיות לא תלויים ברמז שנמחק. מה שכן אבד: איזו משפחה גרה שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לכל אחד משלושה ילדים חיה אחרת: כלב, חתול או דג. נועם אלרגי לחתולים. מי שמגדל את הדג גר ליד שירה. איתי לא מגדל כלב. שירה קנתה אוכל לחתול של חבר שלה. השלימו.

הילדהחיה
נועם____
שירה____
איתי____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נועם: דג · שירה: כלב · איתי: חתול

הפתרון:

נועם≠חתול, שירה≠דג, חתול\text{נועם} \neq \text{חתול},\ \text{שירה} \neq \text{דג},\ \text{חתול}

שירה גרה ליד בעל הדג, וקנתה אוכל לחתול של חבר

שירה=כלב\text{שירה} = \text{כלב}

רק הכלב נשאר לשירה

איתי≠כלב⇒איתי=חתול נועם=דג\begin{aligned}\text{איתי} \neq \text{כלב} \Rightarrow \text{איתי} &= \text{חתול} \\ \ \text{נועם} &= \text{דג}\end{aligned}

שני רמזים הם ✗ מוסתרים: "גר ליד" ו"החתול של חבר שלה" — שני אנשים שונים. בלי הרמז האחרון נשארים שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פסנתרחלילגיטרה
מאיה
רון
טליה

מאיה, רון וטליה מנגנים בפסנתר, בחליל ובגיטרה — כל אחד בכלי אחר. מאיה הלכה לחזרה יחד עם מי שמנגן בפסנתר. מי שמנגן בחליל השאיל לרון תווים. טליה לא מנגנת בגיטרה. מאיה ומי שמנגן בחליל גרים באותו רחוב. במה מנגנת טליה?

  1. חליל
  2. פסנתר
  3. גיטרה
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חליל

הפתרון:

מאיה≠פסנתר, חליל\text{מאיה} \neq \text{פסנתר},\ \text{חליל}

שני רמזים "עם" — כל אחד ✗

מאיה=גיטרה\text{מאיה} = \text{גיטרה}

נשאר לה כלי אחד

רון≠חליל⇒רון=פסנתר טליה=חליל\begin{aligned}\text{רון} \neq \text{חליל} \Rightarrow \text{רון} &= \text{פסנתר} \\ \ \text{טליה} &= \text{חליל}\end{aligned}

טליה מנגנת בחליל. מי שענה "לא ניתן לדעת" חיפש משפט ישיר על טליה — אבל את מאיה ואת רון קובעים רמזים מוסתרים, ולטליה נשאר מה שנשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ארבע משפחות — כהן, לוי, מזרחי ופרץ — גרות בבניין בן ארבע קומות, כל משפחה בקומה אחרת. משפחת כהן גרה מעל משפחת לוי (לא בהכרח מיד מעליה). משפחת מזרחי גרה בקומה זוגית. משפחת לוי לא גרה בקומה 1, ומשפחת כהן לא גרה בקומה 4. באיזו קומה גרה משפחת כהן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

לוי≠1, כהן>לוי⇒כהן≥3\text{לוי} \neq 1,\ \text{כהן} > \text{לוי} \Rightarrow \text{כהן} \geq 3

לוי לפחות בקומה 2

כהן≠4⇒כהן=3 לוי=2\begin{aligned}\text{כהן} \neq 4 \Rightarrow \text{כהן} &= 3 \\ \ \text{לוי} &= 2\end{aligned}
מזרחי=4 פרץ=1\begin{aligned}\text{מזרחי} &= 4 \\ \ \text{פרץ} &= 1\end{aligned}

הקומה הזוגית שנשארה

משפחת כהן בקומה 3. "מעל" לא אומר "מיד מעל" — אבל כאן שתי הקומות נקבעות בכל זאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אדוםכחולירוק
אלה
בועז
גיא

לאלה, לבועז ולגיא יש אופניים: אדומים, כחולים וירוקים — לכל אחד צבע אחר. ידוע: אלה לא רוכבת על האדומים, וגיא לא רוכב על הירוקים. איזה רמז צריך להוסיף כדי לדעת בדיוק של מי כל אופניים?

  1. אלה לא רוכבת על האופניים הירוקים
  2. בועז לא רוכב על האופניים האדומים
  3. גיא לא רוכב על האופניים הכחולים
  4. האופניים הירוקים אינם של בועז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אלה לא רוכבת על האופניים הירוקים

הפתרון:

33

שני הרמזים משאירים שלושה פתרונות

אלה≠ירוק אדום⇒אלה=כחול\begin{aligned}\text{אלה} \neq \text{ירוק} \\ \ \text{אדום} \Rightarrow \text{אלה} &= \text{כחול}\end{aligned}

עם הרמז השני

גיא≠ירוק⇒גיא=אדום בועז=ירוק\begin{aligned}\text{גיא} \neq \text{ירוק} \Rightarrow \text{גיא} &= \text{אדום} \\ \ \text{בועז} &= \text{ירוק}\end{aligned}

פתרון אחד

רק "אלה לא רוכבת על הירוקים" משאיר פתרון אחד. כל אחד מהרמזים האחרים משאיר שני פתרונות — בדקו כל אפשרות עד הסוף, ולא רק אם היא "נשמעת חזקה".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אלה, בועז וגיא רוכבים על אופניים אדומים, כחולים וירוקים — לכל אחד צבע אחר. אלה לא רוכבת על האדומים, וגיא לא רוכב על הירוקים. לפי שני הרמזים האלה בלבד: בוודאות אחד הבנים — בועז או גיא — רוכב על האדומים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

אלה≠אדום\text{אלה} \neq \text{אדום}

אז האדומים של בועז או של גיא

33

בכל אחד משלושת הפתרונות — בן על האדומים

נכון. לא ידוע מי מהבנים — אבל ידוע שזה אחד מהם. "בוודאות" לא דורש פתרון אחד; הוא דורש שהמשפט יהיה נכון בכל הפתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

יעל, מיכל ושרון: טייסת, רופאה וציירת — כל אחת במקצוע אחר. יעל והרופאה נפגשו בחתונה. מיכל מעולם לא טסה במטוס. שרון והטייסת אחיות. הציירת ציירה את מיכל. התאימו כל אחת למקצוע שלה.

  • יעל
  • מיכל
  • שרון
  • טייסת
  • ציירת
  • רופאה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: יעל — טייסת · מיכל — רופאה · שרון — ציירת

הפתרון:

טייסת≠מיכל, שרון\text{טייסת} \neq \text{מיכל},\ \text{שרון}

מיכל לא טסה, ושרון אחות של הטייסת

יעל=טייסת\text{יעל} = \text{טייסת}

בעמודת הטייסת נשארה יעל

מיכל≠ציירת⇒מיכל=רופאה שרון=ציירת\begin{aligned}\text{מיכל} \neq \text{ציירת} \Rightarrow \text{מיכל} &= \text{רופאה} \\ \ \text{שרון} &= \text{ציירת}\end{aligned}

שלושה מתוך ארבעת הרמזים הם ✗ מוסתרים: "נפגשו עם", "אחיות של", "ציירה את". כל אחד מהם מדבר על שתי נשים שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת