שקרנים ודוברי אמת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחידת שקרנים כמה אנשים אומרים משפטים. נתון כמה מהם משקרים — אבל לא מי.

אין כאן ניחוש ואין "תחושת בטן". יש שיטה אחת שתמיד עובדת.

השיטה: מניחים, בודקים, סופרים

11

מניחים אפשרות אחת: "נניח שיואב שבר".

22

בודקים כל משפט לפי ההנחה: נכון או שקרי?

33

סופרים את המשפטים השקריים ומשווים למה שנתון בשאלה.

44

הנחה שלא מתאימה — נפסלת. אם נשארה בדיוק הנחה אחת, היא התשובה.

שלושה ילדים שיחקו בסלון, ואחד מהם שבר אגרטל. ידוע שבדיוק אחד מהשלושה משקר.

נועה אומרת "יואב שבר", ויואב אומר "תמר שברה". האם שניהם יכולים לדבר אמת?

להציג את התשובה והפתרון

לא. רק ילד אחד שבר. לכן לפחות אחד מהשניים משקר.

אותה חידה, אבל עכשיו נתון שבדיוק שניים משקרים. מי שבר?

להציג את התשובה והפתרון

נועה או תמר — לא ניתן לדעת. בטבלה יש שתי שורות עם שני שקרנים: "נועה שברה" ו"תמר שברה". כשנשארות שתי הנחות, התשובה "לא ניתן לדעת" היא הנכונה.

אי האמיתיים והשקרנים

באי רחוק גרים אמיתיים, שתמיד אומרים אמת, ושקרנים, שתמיד משקרים.

כאן לא נתון כמה שקרנים יש. בודקים את כל הצירופים, ומשאירים רק את מה שלא יוצר סתירה.

מישהו באי אומר: "אני שקרן". מה אפשר להסיק?

להציג את התשובה והפתרון

שאין תושב כזה. אמיתי לא יגיד את זה, כי זה שקר. שקרן לא יגיד את זה, כי זה נכון. אף תושב של האי לא יכול לומר "אני שקרן".

השלילה הנכונה

כששקרן אומר משפט, השלילה של המשפט היא האמת.

כאן נופלים רבים: השלילה של "כולם" היא לא "אף אחד".

כולנו הכנו\text{כולנו הכנו}

השלילה: לפחות אחד מאיתנו לא הכין

לפחות אחד הכין\text{לפחות אחד הכין}

השלילה: אף אחד לא הכין

אף אחד לא הכין\text{אף אחד לא הכין}

השלילה: לפחות אחד הכין

גיל משקר ואומר: "כל החברים שלי הגיעו למסיבה".

אף חבר לא הגיע\text{אף חבר לא הגיע}
לפחות חבר אחד לא הגיע\text{לפחות חבר אחד לא הגיע}

המשפט שקרי מספיק שחבר אחד נעדר. ייתכן שכל השאר הגיעו.

לפני שבונים טבלה, חפשו שני משפטים שסותרים זה את זה — שלא יכולים להיות נכונים יחד. אחד מהם בוודאות שקרי. אם יש רק שקרן אחד, כל מי שמחוץ לזוג הזה אומר אמת, ומשם הכול נפתח.

תרגילים

תרגיל 1

שלושה חברים נשאלו מי מהם צפה אתמול במשחק הכדורסל. עומר אמר: "כולנו צפינו". ליאור אמר: "אני לא צפיתי". דנה אמרה: "ליאור צפה". ידוע שבדיוק אחד מהשלושה משקר. מי משקר?

  1. דנה
  2. ליאור
  3. עומר
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ליאור

הפתרון:

ליאור↔דנה\text{ליאור} \leftrightarrow \text{דנה}

ליאור ודנה סותרים זה את זה: אחד מהם משקר

עומר=אמת\text{עומר} = \text{אמת}

יש רק שקרן אחד, ולכן עומר אומר אמת: כולם צפו

ליאור צפה\text{ליאור צפה}

אז ליאור, שאמר "לא צפיתי", משקר

התשובה היא ליאור. מי שבחר בעומר חשב ש"כולנו" הוא הגזמה — אבל אם עומר משקר, גם ליאור או דנה משקרים, ויש שני שקרנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באי האמיתיים והשקרנים פגשנו שלושה תושבים. אביב אמר: "בני שקרן". בני אמר: "גלית שקרנית". גלית אמרה: "אביב ובני שניהם שקרנים". כמה מהשלושה אמיתיים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

אביב אמיתי⇒בני שקרן⇒גלית אמיתית\text{אביב אמיתי} \Rightarrow \text{בני שקרן} \Rightarrow \text{גלית אמיתית}

בודקים את ההנחה שאביב אמיתי

×\times

אבל גלית אומרת שאביב שקרן — סתירה. לכן אביב שקרן

בני אמיתי, גלית שקרנית\text{בני אמיתי},\ \text{גלית שקרנית}

אביב משקר, אז בני אמיתי, ולכן גלית שקרנית. בדיקה: המשפט של גלית שקרי, כי בני אמיתי ✓

רק אחד אמיתי — בני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השלילה של המשפט "כל הילדים בכיתה הביאו כובע לטיול" היא: "אף ילד בכיתה לא הביא כובע לטיול".

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

כולם הביאו\text{כולם הביאו}

המשפט המקורי

לפחות אחד לא הביא\text{לפחות אחד לא הביא}

השלילה הנכונה

לא נכון. אם רק ילד אחד שכח כובע, המשפט "כל הילדים הביאו" כבר שקרי — ובכל זאת כמעט כולם הביאו. השלילה היא "לפחות ילד אחד לא הביא כובע".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ארבעה ילדים, ואחד מהם אכל את העוגה שהייתה על השולחן. אלון: "בר אכל". בר: "גל אכל". גל: "בר משקר". דור: "אני לא אכלתי". ידוע שרק אחד מהארבעה אומר אמת. מי אכל את העוגה?

  1. גל
  2. אלון
  3. דור
  4. בר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג דור

הפתרון:

בר↔גל\text{בר} \leftrightarrow \text{גל}

בר וגל אומרים דברים הפוכים: בדיוק אחד מהם אומר אמת

אלון, דור=שקר\text{אלון, דור} = \text{שקר}

יש רק דובר אמת אחד, והוא בזוג הזה. אז אלון ודור משקרים

דור\text{דור}

דור שיקר כשאמר "לא אכלתי"

התשובה היא דור. מי שבחר בבר האמין לאלון — אבל אלון משקר, כי דובר האמת היחיד הוא בר או גל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אחד משלושה ילדים אכל את העוגה. אורי: "שי אכל". שי: "אני לא אכלתי". מאיה: "אורי אכל". השלימו כמה ילדים משקרים לפי כל הנחה.

ההנחהכמה משקרים?
אורי אכל____
שי אכל____
מאיה אכלה____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורי אכל: 1 · שי אכל: 2 · מאיה אכלה: 2

הפתרון:

אורי:×, ✓, ✓\text{אורי}: \times,\ \checkmark,\ \checkmark

רק המשפט של אורי שקרי — שקרן אחד

שי:✓, ×, ×\text{שי}: \checkmark,\ \times,\ \times

שי ומאיה משקרים — שניים

מאיה:×, ✓, ×\text{מאיה}: \times,\ \checkmark,\ \times

אורי ומאיה משקרים — שניים

אם ידוע שיש שקרן אחד בדיוק, רק ההנחה "אורי אכל" מתאימה. הטעות הנפוצה: לשכוח ש"אני לא אכלתי" של שי נכון כשמישהו אחר אכל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אחד משלושה ילדים שבר חלון. אדם: "בן שבר". בן: "גיא שבר". גיא: "אדם לא שבר". ידוע שבדיוק אחד מהשלושה משקר. מי שבר את החלון?

  1. לא ניתן לדעת
  2. בן
  3. אדם
  4. גיא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא ניתן לדעת

הפתרון:

אדם:3 שקרנים\text{אדם}: 3 \text{ שקרנים}

כל שלושת המשפטים שקריים — נפסל

בן:1 שקרן\text{בן}: 1 \text{ שקרן}

רק בן משקר — מתאים

גיא:1 שקרן\text{גיא}: 1 \text{ שקרן}

רק אדם משקר — גם מתאים

לא ניתן לדעת. שתי הנחות — בן וגיא — נותנות שקרן אחד בדיוק. מי שעצר בהנחה הראשונה שהתאימה ענה "בן", ולא בדק את ההנחה האחרונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באי האמיתיים והשקרנים, רז אומר: "אני וגיא מאותו סוג". ייתכן שגיא שקרן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

רז אמיתי⇒גיא אמיתי\text{רז אמיתי} \Rightarrow \text{גיא אמיתי}

המשפט נכון — שניהם מאותו סוג

רז שקרן⇒גיא אמיתי\text{רז שקרן} \Rightarrow \text{גיא אמיתי}

המשפט שקרי — הם מסוגים שונים, ורז שקרן

לא נכון. בשני המקרים גיא אמיתי. על רז אי אפשר לדעת דבר — אבל על גיא כן. מי שענה "ייתכן" בדק רק את המקרה שרז אמיתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באי האמיתיים והשקרנים פגשנו שלושה תושבים. א׳: "בדיוק אחד מאיתנו שקרן". ב׳: "בדיוק שניים מאיתנו שקרנים". ג׳: "שלושתנו שקרנים". כמה מהשלושה אמיתיים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

ג׳ אמיתי⇒×\text{ג׳ אמיתי} \Rightarrow \times

אמיתי לא יכול לומר "כולנו שקרנים" — לכן ג׳ שקרן

א׳ אמיתי⇒ב׳, ג׳ שקרנים\text{א׳ אמיתי} \Rightarrow \text{ב׳, ג׳ שקרנים}

אבל אז יש שני שקרנים, לא אחד — סתירה. א׳ שקרן

א׳, ג׳ שקרנים⇒ב׳ אמיתי\text{א׳, ג׳ שקרנים} \Rightarrow \text{ב׳ אמיתי}

בדיוק שני שקרנים — ב׳ צודק ✓

רק אחד אמיתי — ב׳. הפיתוי: להאמין לא׳, שמדבר ראשון. ג׳ הוא המפתח: מי שאומר "כולנו שקרנים" הוא בוודאות שקרן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

יואל משקר ואומר: "כל הכדורים בארגז מנופחים". מה נכון בוודאות?

  • נכון בוודאות
  • לא בהכרח
  • אף כדור בארגז אינו מנופח
  • בדיוק כדור אחד בארגז אינו מנופח
  • חלק מהכדורים בארגז אינם מנופחים
  • לא כל הכדורים בארגז מנופחים
  • לפחות כדור אחד בארגז אינו מנופח
  • רוב הכדורים בארגז אינם מנופחים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לפחות כדור אחד בארגז אינו מנופח — נכון בוודאות · אף כדור בארגז אינו מנופח — לא בהכרח · חלק מהכדורים בארגז אינם מנופחים — נכון בוודאות · רוב הכדורים בארגז אינם מנופחים — לא בהכרח · לא כל הכדורים בארגז מנופחים — נכון בוודאות · בדיוק כדור אחד בארגז אינו מנופח — לא בהכרח

הפתרון:

כולם מנופחים\text{כולם מנופחים}

המשפט של יואל — והוא שקרי

לפחות אחד לא מנופח\text{לפחות אחד לא מנופח}

השלילה הנכונה

מספיק כדור אחד לא מנופח כדי שיואל ישקר. "חלק" ו"לא כל" אומרים בדיוק את זה. "אף כדור", "רוב" ו"בדיוק אחד" — ייתכנו, אבל לא בוודאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אחד משלושה ילדים אכל עוגייה. רון: "אני לא אכלתי". שיר: "רון אכל". עדי: "שיר אכלה". רק אחד אומר אמת. מיכל בדקה את שלוש ההנחות. באיזו שורה הטעות?

רון אכל: 1 אומר אמת\text{רון אכל: } 1 \text{ אומר אמת}
שיר אכלה: 2 אומרים אמת\text{שיר אכלה: } 2 \text{ אומרים אמת}
עדי אכלה: 0 אומרים אמת\text{עדי אכלה: } 0 \text{ אומרים אמת}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עדי אכלה: 0 אומרים אמת\text{עדי אכלה: } 0 \text{ אומרים אמת} → עדי אכלה: 1 אומר אמת\text{עדי אכלה: } 1 \text{ אומר אמת}

הפתרון:

עדי אכלה\text{עדי אכלה}

רון אומר "לא אני" — וזה נכון

11

אז יש דובר אמת אחד: רון

השורה השלישית. מיכל שכחה ש"אני לא אכלתי" נכון כשמישהו אחר אכל. אחרי התיקון יש שתי הנחות עם דובר אמת אחד — רון ועדי — ולכן לא ניתן לדעת מי אכל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת