תרגול — שקרנים ודוברי אמת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, מהקלה לקשה, וביניהן שלוש שאלות אימון בצורה אחרת. הפעילו שעון: חמש עשרה דקות, בלי מחשבון.

לפני שבונים טבלה, חפשו שני משפטים שסותרים זה את זה. ושימו לב: לפעמים "לא ניתן לדעת" היא באמת התשובה.

תרגילים

תרגיל 1

אחד מארבעה ילדים שבר את חלון המחסן. רז: "זה לא אני". שי: "זו עדן". עדן: "זו מיכל". מיכל: "עדן משקרת". ידוע שבדיוק אחד מהארבעה משקר. מי שבר את החלון?

  1. עדן
  2. שי
  3. מיכל
  4. רז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א עדן

הפתרון:

עדן↔מיכל\text{עדן} \leftrightarrow \text{מיכל}

מיכל אומרת שעדן משקרת: אחת מהשתיים בוודאות משקרת

רז, שי=אמת\text{רז, שי} = \text{אמת}

השקרן היחיד נמצא בזוג, אז רז ושי אומרים אמת

עדן\text{עדן}

שי אומר אמת: עדן שברה. עדן היא גם השקרנית

התשובה היא עדן. מי שבחר במיכל האמין לעדן — אבל אם מיכל שברה, גם שי משקר, ויש שני שקרנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בחדר בריחה יש שלוש קופסאות, ובאחת מהן בלבד מסתתר המפתח. על קופסה א כתוב: "המפתח כאן". על קופסה ב כתוב: "המפתח לא כאן". על קופסה ג כתוב: "המפתח לא בקופסה א". ידוע שרק אחד משלושת השלטים אומר אמת. באיזו קופסה המפתח?

  1. בקופסה ג
  2. בקופסה ב
  3. לא ניתן לדעת
  4. בקופסה א
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בקופסה ב

הפתרון:

א↔ג\text{א} \leftrightarrow \text{ג}

השלטים של א ושל ג הפוכים: בדיוק אחד מהם נכון

ב=שקר\text{ב} = \text{שקר}

השלט הנכון היחיד בזוג, ולכן השלט של ב שקרי

המפתח בקופסה ב\text{המפתח בקופסה ב}

ב כתב "המפתח לא כאן" — וזה שקר

התשובה היא קופסה ב. מי שבחר ב-א האמין לשלט של א — אבל אז גם השלט של ב נכון, ויש שני שלטים נכונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באי האמיתיים והשקרנים, אור אמר: "בן ואני מאותו סוג". בן אמר: "אור שקרן". מה נכון?

  1. אור שקרן ובן אמיתי
  2. אור אמיתי ובן שקרן
  3. שניהם אמיתיים
  4. שניהם שקרנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אור שקרן ובן אמיתי

הפתרון:

אור אמיתי⇒בן אמיתי⇒אור שקרן\text{אור אמיתי} \Rightarrow \text{בן אמיתי} \Rightarrow \text{אור שקרן}

אם אור אמיתי, בן מאותו סוג ואומר אמת — אז אור שקרן. סתירה

אור שקרן⇒בן אמיתי\text{אור שקרן} \Rightarrow \text{בן אמיתי}

אור משקר, אז הם לא מאותו סוג: בן אמיתי

✓\checkmark

בדיקה: בן אמר "אור שקרן" — נכון

התשובה היא אור שקרן ובן אמיתי. "שניהם שקרנים" נראה סימטרי ויפה, אבל אז המשפט של אור ("אנחנו מאותו סוג") נכון — ושקרן לא אומר משפט נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באי האמיתיים והשקרנים פגשנו שלושה תושבים. אלה אמרה: "בדיוק אחד מאיתנו שקרן". גיל אמר: "אלה שקרנית". הדס אמרה: "גיל ואני מאותו סוג". כמה שקרנים יש בין השלושה?

  1. שלושה
  2. אף לא אחד
  3. שניים
  4. אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שניים

הפתרון:

אלה↔גיל\text{אלה} \leftrightarrow \text{גיל}

גיל אומר שאלה שקרנית: בדיוק אחד מהשניים שקרן

הדס אמיתית⇒גיל אמיתי⇒אלה שקרנית\text{הדס אמיתית} \Rightarrow \text{גיל אמיתי} \Rightarrow \text{אלה שקרנית}

אז יש שקרן אחד בדיוק — ומה שאלה אמרה נכון. סתירה

הדס שקרנית\text{הדס שקרנית}

לכן הדס שקרנית, וגיל מסוג אחר ממנה: אמיתי. אז אלה שקרנית

22

אלה והדס שקרניות. בדיקה: "בדיוק אחד" של אלה אכן שקרי ✓

יש שני שקרנים: אלה והדס. מי שענה "אחד" האמין לאלה בלי לבדוק. אם אלה צודקת, גיל שקרן — ואז להדס אין מקום: אמיתית תהיה מסוג אחר מגיל, ושקרנית תהיה מאותו סוג כמוהו, ובשני המקרים המשפט שלה הופך לסתירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מה השלילה של המשפט "לפחות אחד מהשחקנים בקבוצה הבקיע גול"?

  1. אף שחקן בקבוצה לא הבקיע גול
  2. בדיוק שחקן אחד הבקיע גול
  3. לפחות אחד מהשחקנים לא הבקיע גול
  4. כל השחקנים בקבוצה הבקיעו גול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אף שחקן בקבוצה לא הבקיע גול

הפתרון:

לפחות אחד\text{לפחות אחד}

המשפט שקרי רק במקרה אחד

אף אחד\text{אף אחד}

כשאף שחקן לא הבקיע

התשובה היא אף שחקן לא הבקיע. "לפחות אחד לא הבקיע" יכול להיות נכון יחד עם המשפט המקורי (אחד הבקיע ואחד לא) — ושלילה לא יכולה להיות נכונה יחד עם המשפט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ארבעה ילדים רצו במרוץ, ולא היה תיקו. אחרי המרוץ כל אחד אמר משפט אחד. נועם: "הגעתי לפני טל". יעל: "לא הגעתי שלישית". טל: "הגעתי לפני יעל". רון: "לא הגעתי ראשון". ידוע שהמנצח שיקר, ושלושת האחרים אמרו אמת. מי הגיע אחרון?

  1. טל
  2. נועם
  3. יעל
  4. רון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יעל

הפתרון:

נועם, טל, יעל≠1\text{נועם, טל, יעל} \neq 1

המנצח משקר. אם נועם, טל או יעל היו מנצחים, המשפט שלהם היה נכון

רון=1\text{רון} = 1

רק "לא הגעתי ראשון" של רון שקרי כשהוא מנצח

נועם<טל<יעל\text{נועם} < \text{טל} < \text{יעל}

שלושת האחרים אומרים אמת: נועם שני, טל שלישי, יעל רביעית

✓\checkmark

בדיקה: יעל לא שלישית ✓

התשובה היא יעל. מי שענה "רון" עצר באמצע: רון הוא המנצח, לא האחרון. המפתח: המשפט של המנצח חייב להיות שקרי — ורק המשפט של רון נהיה שקרי כשהוא ראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המורה שאלה שלושה תלמידים מי מהם הכין שיעורי בית. יובל: "רק אני הכנתי". שקד: "גם אני הכנתי". אביב: "שקד לא הכינה". ידוע שבדיוק אחד מהשלושה משקר. כמה מהתלמידים הכינו שיעורי בית?

  1. שלושה
  2. שניים
  3. אחד
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אחד

הפתרון:

שקד↔אביב\text{שקד} \leftrightarrow \text{אביב}

שקד ואביב סותרים זה את זה

יובל=אמת\text{יובל} = \text{אמת}

השקרן בזוג, ולכן יובל אומר אמת: רק הוא הכין

11

שקד לא הכינה (היא המשקרת), וגם אביב לא

התשובה היא אחד — רק יובל. מי שענה "שניים" האמין לשקד, ושכח שהמשפט של יובל נכון, ו"רק אני" סוגר את הדלת לכל השאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באי האמיתיים והשקרנים, איזה משפט אף תושב לא יכול לומר?

  1. "אני שקרן"
  2. "אני אמיתי"
  3. "החבר שלי שקרן"
  4. "החבר שלי ואני מאותו סוג"
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א "אני שקרן"

הפתרון:

אמיתי⇒שקר\text{אמיתי} \Rightarrow \text{שקר}

אמיתי שאומר "אני שקרן" — משקר. אסור לו

שקרן⇒אמת\text{שקרן} \Rightarrow \text{אמת}

שקרן שאומר "אני שקרן" — אומר אמת. גם לו אסור

התשובה היא "אני שקרן". "אני אמיתי" דווקא כל תושב יכול לומר: האמיתי בצדק, והשקרן כשקר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אחד משלושה ילדים לקח את הכדור מהחצר. גיא: "מאיה לקחה". מאיה: "לא לקחתי". אור: "מאיה לקחה". ידוע שבדיוק שניים משקרים. מי לקח את הכדור?

  1. מאיה
  2. אור
  3. לא ניתן לדעת
  4. גיא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא ניתן לדעת

הפתרון:

גיא=אור\text{גיא} = \text{אור}

גיא ואור אמרו אותו משפט: שניהם צודקים או ששניהם משקרים

גיא, אור=שקר\text{גיא, אור} = \text{שקר}

יש שני שקרנים, אז אלה הם — ומאיה לא לקחה

גיא או אור\text{גיא או אור}

כל אחד מהשניים יכול להיות הלוקח: שתי ההנחות מתאימות

התשובה היא לא ניתן לדעת. ידוע בוודאות מי משקר (גיא ואור) — אבל לא מי מהם לקח. מי שבחר בגיא או באור ניחש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האריה משקר בימים ראשון, שני ושלישי, ובשאר ימי השבוע הוא אומר אמת. יום אחד אמר האריה: "אתמול שיקרתי". באיזה יום זה ייתכן?

  1. ביום שני או ביום חמישי
  2. רק ביום ראשון
  3. ביום ראשון או ביום רביעי
  4. רק ביום רביעי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ביום ראשון או ביום רביעי

הפתרון:

רביעי\text{רביעי}

יום אמת. אתמול, שלישי, הוא באמת שיקר ✓

ראשון\text{ראשון}

יום שקר. אתמול, שבת, הוא אמר אמת — אז "אתמול שיקרתי" שקר, כמו שצריך ביום ראשון ✓

שני, שלישי  ×\text{שני, שלישי} \;\times

ימי שקר, אבל אתמול באמת שיקר — המשפט נכון. אסור

התשובה היא ראשון או רביעי. רוב הילדים מוצאים את רביעי ושוכחים את ראשון: ביום שקר, המשפט צריך להיות שקרי, ו"אתמול שיקרתי" שקרי כשאתמול היה שבת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

אחד מארבעה ילדים לקח את הגיר. רון: "דנה לקחה". דנה: "לא אני". שירה: "רון לא לקח". אלי: "דנה לקחה". ידוע שבדיוק אחד מהארבעה משקר. הטענה: שירה אומרת אמת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

רון=אלי\text{רון} = \text{אלי}

רון ואלי אומרים אותו דבר. אם אחד מהם משקר, גם השני — ויש רק שקרן אחד

דנה לקחה\text{דנה לקחה}

לכן רון ואלי אומרים אמת, ו"לא אני" של דנה הוא השקר

רון לא לקח  ✓\text{רון לא לקח} \;\checkmark

המשפט של שירה נכון

הטענה נכונה: דנה לקחה, והיא השקרנית היחידה. המלכודת: לחשוב ששני ילדים שאומרים אותו דבר יכולים להיות שקרן ודובר אמת. הם תמיד באותו צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

באי האמיתיים והשקרנים: מיקה אמרה: "יואב שקרן". יואב אמר: "מיקה ואני שנינו שקרנים". השלימו את הטבלה.

התושבהסוג
מיקה____
יואב____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מיקה: אמיתית · יואב: שקרן

הפתרון:

אם יואב אמיתי — הוא שקרן\text{אם יואב אמיתי — הוא שקרן}

אם יואב אמיתי, המשפט שלו נכון — ואז הוא שקרן. סתירה

יואב שקרן\text{יואב שקרן}

לכן יואב שקרן, והמשפט שלו שקרי: לא שניהם שקרנים

מיקה אמיתית\text{מיקה אמיתית}

ובאמת מיקה אמרה "יואב שקרן", משפט נכון ✓

מתחילים מהדובר שמדבר על עצמו. המלכודת: לסמן ששניהם שקרנים. אבל אז המשפט של יואב היה נכון, ושקרן לא אומר משפט נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מיינו: איזה משפט הוא השלילה של "כל הילדים בכיתה הביאו כובע"? (השלילה נכונה בדיוק כשהמשפט שקרי.)

  • השלילה
  • לא השלילה
  • אף ילד לא הביא כובע
  • בדיוק ילד אחד לא הביא כובע
  • יש בכיתה ילד שלא הביא כובע
  • כל הילדים לא הביאו כובע
  • לפחות ילד אחד לא הביא כובע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לפחות ילד אחד לא הביא כובע — השלילה · יש בכיתה ילד שלא הביא כובע — השלילה · אף ילד לא הביא כובע — לא השלילה · כל הילדים לא הביאו כובע — לא השלילה · בדיוק ילד אחד לא הביא כובע — לא השלילה

הפתרון:

השלילה של כולם: לפחות אחד לא\text{השלילה של כולם: לפחות אחד לא}

המשפט שקרי מספיק שילד אחד שכח כובע

אף אחד≠השלילה\text{אף אחד} \neq \text{השלילה}

"אף ילד לא הביא" ו"כל הילדים לא הביאו" הם אותו משפט, חזק מדי

"לפחות ילד אחד לא הביא" ו"יש ילד שלא הביא" אומרים אותו דבר: זו השלילה. המלכודת: "אף אחד". אם רק ילד אחד שכח, גם הוא שקרי וגם המשפט המקורי. ו"בדיוק אחד" חלש מדי: גם שני ילדים בלי כובע שוברים את "כולם".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת