סדרה 1 — שקרנים, שולחן וכללים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, ברמה של החלק "חשיבה" ומעליה. הפעילו שעון: עשרים וחמש דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

אחרי עשר השאלות יש עוד שלוש שאלות אימון בצורה אחרת, בכפתור "עוד סבב". אותן פותרים בלי שעון.

תרגילים

תרגיל 1

מישהו לקח את העוגיות מהצנצנת, ואחד מארבעת הילדים יודע בדיוק מי. אורי: "לא אני לקחתי". בני: "אורי לקח". גלית: "בני לקח". דורית: "לא אני לקחתי". ידוע שהעוגיות נלקחו על ידי אחד מהארבעה, ושרק אחד מהם אומר אמת. מי לקח את העוגיות?

  1. דורית
  2. אורי
  3. בני
  4. גלית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א דורית

הפתרון:

אורי↔בני\text{אורי} \leftrightarrow \text{בני}

אורי ובני אומרים דברים הפוכים: בדיוק אחד מהם צודק

גלית, דורית=שקר\text{גלית, דורית} = \text{שקר}

דובר האמת היחיד נמצא בזוג — אז גלית ודורית משקרות

דורית\text{דורית}

דורית אמרה "לא אני" ושיקרה

התשובה היא דורית. מי שבחר באורי או בבני ניסה לפתור את הזוג — אבל את הזוג אי אפשר להכריע; את התשובה נותנים דווקא השניים שמחוץ לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באי האמיתיים (תמיד אומרים אמת) והשקרנים (תמיד משקרים) פגשנו שלושה תושבים. אביטל: "ברק וגאיה מאותו סוג". ברק: "אביטל שקרנית". גאיה: "אביטל וברק שניהם שקרנים". כמה מהשלושה אמיתיים?

  1. אף אחד
  2. אחד
  3. שניים
  4. שלושה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אחד

הפתרון:

אביטל↔ברק\text{אביטל} \leftrightarrow \text{ברק}

ברק אומר שאביטל שקרנית: בדיוק אחד מהם אמיתי

גאיה שקרנית\text{גאיה שקרנית}

לא ייתכן ששניהם שקרנים — אז המשפט של גאיה שקרי

אביטל אמיתית⇒ברק, גאיה מאותו סוג\text{אביטל אמיתית} \Rightarrow \text{ברק, גאיה מאותו סוג}

אבל ברק אז שקרן וגאיה שקרנית — מאותו סוג ✓

ברק אמיתי⇒אביטל שקרנית⇒ברק≠גאיה\text{ברק אמיתי} \Rightarrow \text{אביטל שקרנית} \Rightarrow \text{ברק} \neq \text{גאיה}

גם כאן: ברק אמיתי, גאיה שקרנית — סוגים שונים, כנדרש ✓

יש אחד אמיתי בדיוק — אמנם אי אפשר לדעת אם זו אביטל או ברק, אבל בשני המקרים רק אחד אמיתי. מי שענה "לא ניתן לדעת" היה צריך לבדוק את השאלה ולא את הזהות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

561234

ארבעה נכדים — אסף, בר, גל ודנה — יושבים עם סבא וסבתא סביב השולחן שבשרטוט. ראש השולחן והכיסאות הקרובים אליו נחשבים סמוכים (למשל, כיסא 1 סמוך לכיסאות 2 ו-6), וכיסאות 2 ו-3, וגם 5 ו-6, סמוכים זה לזה. "מול" פירושו בצד השני של השולחן: 6 מול 2, 5 מול 3, ו-1 מול 4. סבא יושב בראש השולחן, וסבתא יושבת מולו. בר יושבת בכיסא 6. אסף יושב ליד סבא, אבל לא ליד בר. גל לא יושב ליד סבתא. דנה יושבת ליד סבתא. מי יושב בכיסא 5?

  1. אסף
  2. סבתא
  3. גל
  4. דנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גל

הפתרון:

סבא=1⇒אסף=2 סבתא=4\begin{aligned}\text{סבא} &= 1 \Rightarrow \text{אסף} \\ &= 2 \\ \ \text{סבתא} &= 4\end{aligned}

אסף ליד סבא ולא ליד בר (6): כיסא 2

גל=3  או  5  ×\text{גל} = 3 \;\text{או}\; 5 \;\times

לגל ולדנה נשארו כיסאות 3 ו-5, ושניהם ליד סבתא. גל לא יכול — סתירה

סבא=4 סבתא=1 אסף=3\begin{aligned}\text{סבא} &= 4 \\ \ \text{סבתא} &= 1 \\ \ \text{אסף} &= 3\end{aligned}

אסף ליד סבא: 3 או 5; לא ליד בר (6) — אז 3

דנה=2 גל=5\begin{aligned}\text{דנה} &= 2 \\ \ \text{גל} &= 5\end{aligned}

דנה ליד סבתא: 2 (כיסא 6 תפוס). לגל נשאר 5, שאינו ליד 1 ✓

בכיסא 5 יושב גל. מי שבחר בדנה הושיב את סבא בכיסא 1 — שם הכול נראה טוב עד הרמז על גל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שישה ילדים עומדים בתור לקולנוע: שלוש בנות — נועה, מאיה ושירה — ושלושה בנים — דן, רון ותום. אף שתי בנות לא עומדות זו ליד זו. נועה לא עומדת בקצה התור, ודן עומד מיד אחריה. מאיה עומדת לפני שירה. רון לא ראשון. איזה משפט נכון בוודאות?

  1. אם תום ראשון, שירה אחרונה
  2. נועה במקום 2 או 3
  3. דן אף פעם לא אחרון
  4. אם מאיה ראשונה, שירה אחרונה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אם תום ראשון, שירה אחרונה

הפתרון:

תום=1⇒מאיה, נועה, שירה∈{2,…,6}\text{תום} = 1 \Rightarrow \text{מאיה, נועה, שירה} \in \{2, \ldots, 6\}

שלוש בנות בחמישה מקומות, בלי שתיים צמודות: 2, 4, 6

נועה≠6, מאיה<שירה\text{נועה} \ne 6,\ \text{מאיה} < \text{שירה}

נועה לא בקצה, ומאיה לפני שירה

שירה=6\text{שירה} = 6

בשני הסידורים שמתחילים בתום, שירה אחרונה

מאיה, רון, שירה, תום, נועה, דן\text{מאיה, רון, שירה, תום, נועה, דן}

סידור שמפיל את "דן אף פעם לא אחרון" ואת "נועה במקום 2 או 3"

התשובה היא "אם תום ראשון, שירה אחרונה". כשתום ראשון, הבנות תופסות בדיוק את 2, 4 ו-6 — ושירה לא יכולה לעמוד במקום 2 (מאיה לפניה) וגם לא במקום 4: אז במקום 6 הייתה עומדת מאיה — אחרי שירה — או נועה, שלא עומדת בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חיפהאילתצפתרכבתאוטובוסמכונית
מור
ניר
עדי

שלושה חברים — מור, ניר ועדי — הגיעו למחנה מחיפה, מאילת ומצפת (כל אחד מעיר אחרת), וכל אחד הגיע בדרך אחרת: ברכבת, באוטובוס או במכונית. מי שהגיע מאילת לא הגיע ברכבת. ניר הגיע באוטובוס. עדי לא מחיפה. מי שהגיע במכונית גר בצפת. מור לא מצפת. מאיזו עיר הגיע ניר?

  1. חיפה
  2. אילת
  3. צפת
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אילת

הפתרון:

מכונית=צפת≠מור, ניר\text{מכונית} = \text{צפת} \ne \text{מור, ניר}

ניר באוטובוס, ומור לא מצפת — אז הנהג מצפת הוא עדי

מור=רכבת\text{מור} = \text{רכבת}

לו נשארה הרכבת

מור≠אילת\text{מור} \ne \text{אילת}

מי שבא מאילת לא בא ברכבת — אז מור מחיפה

ניר=אילת\text{ניר} = \text{אילת}

נשארה אילת

ניר הגיע מאילת. הרמז "מי שבא מאילת לא בא ברכבת" נראה חסר ערך — אבל הוא זה שמפריד בין מור לניר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המחנכת הודיעה: "רק מי שהביא אישור חתום מההורים יוצא לטיול". איזה משפט אומר בדיוק אותו דבר?

  1. יש תלמיד שהביא אישור ולא יצא לטיול
  2. מי שלא יצא לטיול לא הביא אישור
  3. מי שיצא לטיול הביא אישור חתום
  4. כל מי שהביא אישור חתום יוצא לטיול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מי שיצא לטיול הביא אישור חתום

הפתרון:

רק מי ש-A עושה B\text{רק מי } \text{ש-}A \text{ עושה } B

בלי אישור — אין טיול

B⇒AB \Rightarrow A

לכן: מי שיצא לטיול — הביא אישור

A⇏BA \nRightarrow B

מי שהביא אישור אולי חולה ביום הטיול

התשובה היא "מי שיצא לטיול הביא אישור". המלכודת: "רק" הופך את הכיוון. "כל מי שהביא אישור יוצא" הוא ההפוך — האישור הוא תנאי הכרחי, לא כרטיס כניסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בגן החיות: "אף ציפור בכלוב הגדול אינה יודעת לדבר" ו"יש בכלוב הגדול תוכים". איזה משפט נכון בוודאות?

  1. כל הציפורים בכלוב הגדול הן תוכים
  2. יש תוכי שיודע לדבר
  3. יש תוכים שאינם יודעים לדבר
  4. אף תוכי אינו יודע לדבר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יש תוכים שאינם יודעים לדבר

הפתרון:

תוכי בכלוב\text{תוכי בכלוב}

יש לפחות אחד

בכלוב⇒לא מדבר\text{בכלוב} \Rightarrow \text{לא מדבר}

והוא, כמו כל ציפור בכלוב, לא מדבר

התשובה היא "יש תוכים שאינם יודעים לדבר" — התוכים שבכלוב. "אף תוכי אינו יודע לדבר" מדבר על כל התוכים בעולם; מחוץ לכלוב ייתכן תוכי פטפטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בין 12 מטבעות שנראים זהים יש מטבע אחד קל מהאחרים. מה המספר הקטן ביותר של שקילות במאזני כפות שמבטיח למצוא אותו?

  1. 6
  2. 3
  3. 2
  4. 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3

הפתרון:

12=4+4+412 = 4 + 4 + 4

שלוש קבוצות: הכף שעולה — שם הקל; שוויון — הקל בקבוצה השלישית

4=1+1+24 = 1 + 1 + 2

מ-4 חשודים: אחד מול אחד, ושניים בצד

33

בגרוע ביותר נשארים 2, ועוד שקילה. בשתי שקילות אפשר לטפל רק ב-9

התשובה היא 3. "קל" במקום "כבד" לא משנה את השיטה — רק לאיזו כף מסתכלים. מי שענה 2 שכח ששתי שקילות מספיקות רק עד 9 מטבעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה ילדים צריכים להיות בכיתה כדי שיהיה בוודאות זוג ילדים שנולדו באותו יום בשבוע (למשל, שניהם ביום שלישי)?

  1. 8
  2. 14
  3. 7
  4. 13
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 8

הפתרון:

77

בגרוע ביותר: כל אחד נולד ביום אחר בשבוע

7+1=87 + 1 = 8

הילד השמיני חייב להתאים לאחד מהם

התשובה היא 8. התשובה 13 שייכת לשאלה על חודשים — שם יש 12 אפשרויות. כאן יש 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מ-17 גפרורים בנו מלבן של 3 על 2 ריבועים, כמו בציור. כמה ריבועים, מכל הגדלים, יש בציור?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 8

הפתרון:

66

ריבועים קטנים

22

ריבועים של 2 על 2: שמאלי וימני, והם חופפים באמצע

6+2=86 + 2 = 8

ריבוע של 3 על 3 אין — המלבן נמוך מדי

יש 8 ריבועים. 7 סופר רק ריבוע גדול אחד של 2 על 2 — אבל יש שניים, שחולקים את העמודה האמצעית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בונים מגפרורים רשת של 4 על 4 ריבועים קטנים, כמו בציור. כמה גפרורים צריך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

5×4=205 \times 4 = 20

5 שורות אופקיות, בכל אחת 4 גפרורים

20+20=4020 + 20 = 40

ועוד 5 טורים אנכיים של 4

צריך 40 גפרורים. המלכודת: לספור 4 גפרורים לכל ריבוע, 16×4=6416 \times 4 = 64. אבל ריבועים שכנים חולקים גפרור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

המחנכת הודיעה: "רק מי שהביא אישור יוצא לטיול". הטענה: כל מי שהביא אישור יוצא בוודאות לטיול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

מי שיצא לטיול — הביא אישור\text{מי שיצא לטיול — הביא אישור}

"רק מי ש…" אומר: בלי אישור, אין טיול

מי שהביא אישור — לא בהכרח יצא\text{מי שהביא אישור — לא בהכרח יצא}

ילד עם אישור יכול להיות חולה ביום הטיול

הטענה לא נכונה. "רק" נותן תנאי הכרחי, לא תנאי שמספיק. המלכודת: לקרוא "רק מי שהביא אישור יוצא" כאילו כתוב "כל מי שהביא אישור יוצא".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו: כמה צריך להוציא מהמגירה בחושך כדי להיות בטוחים?

במגירהרוצים בוודאותכמה להוציא?
5 אדומים, 5 כחוליםזוג באותו צבע____
5 אדומים, 5 כחולים2 אדומים____
4 אדומים, 4 כחולים, 4 ירוקיםאחד מכל צבע____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5 אדומים, 5 כחולים: 3 · 5 אדומים, 5 כחולים: 7 · 4 אדומים, 4 כחולים, 4 ירוקים: 9

הפתרון:

1+1+1=31 + 1 + 1 = 3

אחד מכל צבע, והשלישי משלים זוג

5+2=75 + 2 = 7

קודם כל הכחולים, ואז שני אדומים

4+4+1=94 + 4 + 1 = 9

שני צבעים שלמים, ואז הצבע השלישי

בכל שורה בונים את המזל הגרוע ביותר, ומוסיפים אחד. המלכודת: אותה מגירה נותנת 3 או 7, לפי מה שרוצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת