אם… אז, אלא אם, כל ואף אחד

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

משפט "אם… אז" הוא כלל: "אם יורד גשם, דנה לוקחת מטרייה".

הכלל מדבר רק על מה שקורה כשיורד גשם. ביום בלי גשם הוא לא אומר כלום — דנה יכולה לקחת מטרייה, ויכולה לא לקחת.

"אם יורד גשם, דנה לוקחת מטרייה"
מזג האווירהמטרייהדנה הפרה את הכלל?
יורד גשםלוקחתלא
יורד גשםלא לוקחתכן — הפרה
לא יורד גשםלוקחתלא
לא יורד גשםלא לוקחתלא

ראינו את דנה עם מטרייה. האם בוודאות ירד גשם?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הכלל לא אוסר לקחת מטרייה ביום יבש. רק צירוף אחד שובר אותו: גשם בלי מטרייה.

ההפוך המסוכן, וההפוך-השלילי שתמיד נכון

אם A אז B\text{אם } A \text{ אז } B

הכלל: "אם גשם, אז מטרייה"

אם B אז A\text{אם } B \text{ אז } A

ההפוך — "אם מטרייה, אז גשם". לא נובע מהכלל

אם לא A אז לא B\text{אם לא } A \text{ אז לא } B

"אם אין גשם, אין מטרייה". גם זה לא נובע

אם לא B אז לא A\text{אם לא } B \text{ אז לא } A

"אם אין מטרייה, אז אין גשם". זה תמיד נובע — אילו ירד גשם, הייתה מטרייה

הכלל: "אם בצד אחד יש מספר זוגי, אז בצד השני אדום". מאחורי קלף אדום — חייב להיות מספר זוגי?

להציג את התשובה והפתרון

לא. זה ההפוך של הכלל, והוא לא נובע ממנו. מאחורי אדום מותר גם 7.

רוב האנשים בוחרים "4 ואדום". זו בדיוק מלכודת ההפוך.

"אלא אם"

"דני הולך לים בשבת, אלא אם יורד גשם." בשבת בלי גשם — דני בים. בשבת עם גשם — הכלל הרגיל לא חל.

לפעמים השאלה אומרת מה כן קורה אז. במבחן יש בדרך כלל שני כללים כאלה, ושואלים מה ייתכן: מה לא סותר אף כלל.

כל, חלק, אף אחד

"אף דג אינו מטפס על עצים. חלק מחיות המחמד הן דגים." האם בוודאות חלק מחיות המחמד אינן מטפסות על עצים?

להציג את התשובה והפתרון

כן. חיות המחמד שהן דגים — ויש כאלה — אינן מטפסות. שימו לב: לא נובע שאף חיית מחמד לא מטפסת; חתול הבית מטפס יפה.

חידות משפחה

שלוש מלכודות.

אם A אז B  ⇒  אם B אז A\text{אם } A \text{ אז } B \;\Rightarrow\; \text{אם } B \text{ אז } A
אם לא B אז לא A\text{אם לא } B \text{ אז לא } A

ההפוך לא נובע מהכלל. ההפוך-השלילי — כן.

השלילה של "אם גשם אז בית":"אם גשם אז לא בית"\text{השלילה של "אם גשם אז בית"}: \text{"אם גשם אז לא בית"}
"יורד גשם ולא נשארים בבית"\text{"יורד גשם ולא נשארים בבית"}

הכלל נשבר רק במקרה אחד — כשיש גשם ואין בית. זו השלילה שלו.

"חלק" = "לא כולם"\text{"חלק" = "לא כולם"}
"חלק" = "לפחות אחד"\text{"חלק" = "לפחות אחד"}

במתמטיקה, "חלק מהדובים ישנים" נשאר נכון גם אם כל הדובים ישנים.

בשאלת "מה ייתכן" — חפשו את האפשרות שלא סותרת אף כלל. בשאלת "מה בוודאות" — חפשו את המשפט שנכון בכל מצב שמתאים לכללים. אלה שתי שאלות שונות מאוד.

תרגילים

תרגיל 1

ידוע: "אם שחר בבית, אז האור בחדר שלו דולק". איזה משפט נכון בוודאות?

  1. אם האור בחדר של שחר כבוי, אז שחר לא בבית
  2. האור בחדר של שחר דולק
  3. אם שחר לא בבית, אז האור בחדר שלו כבוי
  4. אם האור בחדר של שחר דולק, אז שחר בבית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אם האור בחדר של שחר כבוי, אז שחר לא בבית

הפתרון:

בית⇒אור\text{בית} \Rightarrow \text{אור}

הכלל

אין אור⇒אין בית\text{אין אור} \Rightarrow \text{אין בית}

אילו שחר היה בבית, האור היה דולק — ההפוך-השלילי

אור⇏בית\text{אור} \nRightarrow \text{בית}

ייתכן שאחותו השאירה את האור דולק

התשובה היא "אם האור כבוי, שחר לא בבית". "אם האור דולק, שחר בבית" הוא ההפוך — ייתכן שאחותו שכחה לכבות את האור כשיצאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במסעדה של עמוס, כל מנה עיקרית מוגשת עם צ'יפס ולא עם שום תוספת אחרת, אלא אם הלקוח הזמין גם סלט — ואז מגישים לו לחם, ולא מגישים צ'יפס. איזה מהבאים ייתכן?

  1. לקוח שלא הזמין סלט קיבל לחם
  2. לקוח שהזמין סלט קיבל צ'יפס
  3. לקוח שלא הזמין סלט לא קיבל שום תוספת
  4. לקוח קיבל לחם ולא קיבל צ'יפס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לקוח קיבל לחם ולא קיבל צ'יפס

הפתרון:

בלי סלט⇒צ’יפס בלבד\text{בלי סלט} \Rightarrow \text{צ'יפס בלבד}

הכלל הרגיל

עם סלט⇒לחם, בלי צ’יפס\text{עם סלט} \Rightarrow \text{לחם, בלי צ'יפס}

ה"אלא אם"

לחם בלי צ’יפס\text{לחם בלי צ'יפס}

זה בדיוק מה שקורה ללקוח שהזמין סלט

התשובה היא לקוח שקיבל לחם ולא צ'יפס — כך קורה לכל מי שהזמין סלט. שלוש האפשרויות האחרות שוברות את אחד משני הכללים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

"כל הציפורים בכלוב צהובות. חלק מהציפורים בכלוב הן תוכים." לכן בוודאות: יש תוכים צהובים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

תוכי בכלוב\text{תוכי בכלוב}

יש לפחות תוכי אחד בכלוב

בכלוב⇒צהוב\text{בכלוב} \Rightarrow \text{צהוב}

וכל מי שבכלוב — צהוב

נכון. התוכים שבכלוב — ויש כאלה — צהובים. מה שלא נובע: "כל התוכים צהובים". מחוץ לכלוב יכולים להיות תוכים ירוקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לנגה יש שלושה אחים ושתי אחיות. כמה אחיות יש לכל אחד מהאחים של נגה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2+1=32 + 1 = 3

שתי האחיות של נגה — ונגה עצמה

33

בשביל האח, נגה היא אחות

לכל אח יש 3 אחיות. התשובה 2 שוכחת את נגה עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הכלל: "אם אורי מקבל 100 במבחן, אמא קונה לו גלידה". מיינו: מה נובע מהכלל, ומה לא?

  • נובע מהכלל
  • לא נובע
  • אורי לא קיבל 100 — לכן הוא לא קיבל גלידה
  • אורי לא קיבל גלידה — לכן הוא לא קיבל 100
  • אורי קיבל 100 — לכן הוא קיבל גלידה
  • אורי קיבל גלידה — לכן הוא קיבל 100
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורי קיבל 100 — לכן הוא קיבל גלידה — נובע מהכלל · אורי קיבל גלידה — לכן הוא קיבל 100 — לא נובע · אורי לא קיבל 100 — לכן הוא לא קיבל גלידה — לא נובע · אורי לא קיבל גלידה — לכן הוא לא קיבל 100 — נובע מהכלל

הפתרון:

100⇒גלידה100 \Rightarrow \text{גלידה}

הכלל עצמו

אין גלידה⇒אין 100\text{אין גלידה} \Rightarrow \text{אין } 100

ההפוך-השלילי — תמיד נובע

גלידה⇏100\text{גלידה} \nRightarrow 100

אמא יכולה לקנות גלידה גם סתם

נובעים: הכלל עצמו וההפוך-השלילי שלו. ההפוך ("גלידה, לכן 100") והשלילי ("לא 100, לכן אין גלידה") לא נובעים: הכלל לא אוסר גלידה ביום רגיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

על כל כרטיס נוסע כתוב בצד אחד הגיל, ובצד השני איפה ישב במכונית. הכלל: "אם הנוסע בן פחות מ-12, הוא יושב מאחור". על השולחן: גיל 8, גיל 15, מקדימה, מאחור. אילו כרטיסים חייבים להפוך כדי לבדוק את הכלל?

  1. גיל 8 ומקדימה
  2. גיל 8 ומאחור
  3. גיל 8 וגיל 15
  4. רק גיל 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גיל 8 ומקדימה

הפתרון:

גיל 8→ ?\text{גיל } 8 \to\ ?

אם כתוב מאחוריו "מקדימה" — הכלל נשבר

מקדימה→ ?\text{מקדימה} \to\ ?

אם מאחוריו גיל קטן מ-12 — הכלל נשבר

גיל 15, מאחור\text{גיל } 15,\ \text{מאחור}

הם לא יכולים לשבור את הכלל

גיל 8 ומקדימה. "מאחור" הוא המלכודת: גם מבוגר מותר לו לשבת מאחור. הכלל לא אומר דבר על מי שבן 12 ומעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בספרייה: ספר מושאל לשבועיים, אלא אם הוא ספר חדש — ואז הוא מושאל לשבוע אחד בלבד. ייתכן שספר שהושאל לשבועיים הוא ספר חדש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

חדש⇒שבוע\text{חדש} \Rightarrow \text{שבוע}

ה"אלא אם"

שבועיים⇒לא חדש\text{שבועיים} \Rightarrow \text{לא חדש}

ההפוך-השלילי — תמיד נובע

לא נכון. ספר חדש מושאל רק לשבוע. אם הספר הושאל לשבועיים — בוודאות הוא לא חדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשפחה בנים ובנות. לכל בת יש אותו מספר של אחים ושל אחיות. לכל בן יש פי שלושה אחיות מאחים. כמה ילדים במשפחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

b=g−1b = g - 1

לבת: g−1g - 1 אחיות ו-bb אחים

g=3(b−1)g = 3(b - 1)

לבן: b−1b - 1 אחים ו-gg אחיות

g=3(g−2)⇒g=3 b=2\begin{aligned}g &= 3(g - 2) \Rightarrow g \\ &= 3 \\ \ b &= 2\end{aligned}

מציבים

3+2=53 + 2 = 5

בדיקה: לבת 2 אחיות ו-2 אחים ✓. לבן אח אחד ו-3 אחיות ✓

במשפחה 5 ילדים. הטעות: לשכוח שבת לא נספרת כאחות של עצמה, ובן לא נספר כאח של עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו.

בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם שרים במקהלה. כל מי שמנגן בכינור — שר במקהלה. לכן לכל היותר ____ תלמידים מנגנים בכינור, ולפחות ____ תלמידים לא מנגנים בכינור.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם שרים במקהלה. כל מי שמנגן בכינור — שר במקהלה. לכן לכל היותר 18 תלמידים מנגנים בכינור, ולפחות 12 תלמידים לא מנגנים בכינור.

הפתרון:

כינור⊆מקהלה\text{כינור} \subseteq \text{מקהלה}

כל הכנרים בתוך המקהלה

כינור≤18\text{כינור} \leq 18

אי אפשר שיהיו יותר כנרים מזמרים

30−18=1230 - 18 = 12

12 התלמידים שלא במקהלה — בוודאות לא מנגנים

18 ו-12. הפיתוי: לחשוב שכל 18 הזמרים מנגנים. הכלל אומר "כל כנר שר", לא "כל זמר מנגן" — זה ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל משפט את השלילה שלו.

  • אם יורד גשם, נשארים בבית
  • כל הדובים ישנים בחורף
  • חלק מהדגים צבעוניים
  • אף ציפור אינה שוחה
  • אף דג אינו צבעוני
  • יורד גשם ולא נשארים בבית
  • יש דוב שלא ישן בחורף
  • יש ציפור ששוחה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אם יורד גשם, נשארים בבית — יורד גשם ולא נשארים בבית · כל הדובים ישנים בחורף — יש דוב שלא ישן בחורף · חלק מהדגים צבעוניים — אף דג אינו צבעוני · אף ציפור אינה שוחה — יש ציפור ששוחה

הפתרון:

אם A אז B\text{אם } A \text{ אז } B

נשבר רק כש-AA קורה ו-BB לא

כל↔יש אחד שלא\text{כל} \leftrightarrow \text{יש אחד שלא}
חלק↔אף אחד\text{חלק} \leftrightarrow \text{אף אחד}

השלילה של "כל" היא "יש אחד שלא" — לא "אף אחד". והשלילה של כלל "אם… אז" היא מקרה אחד שבו התנאי קורה והתוצאה לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת