תרגול — אם… אז, אלא אם, כל ואף אחד

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, וביניהן שלוש שאלות אימון בצורה אחרת. הפעילו שעון: חמש עשרה דקות, בלי מחשבון.

לפני כל תשובה שאלו: האם השאלה היא "מה ייתכן" או "מה בוודאות"? ובכל משפט "אם… אז" — היזהרו מההפוך.

תרגילים

תרגיל 1

בבית הספר נקבע: "אם תלמיד קיבל 100 במבחן, הוא מקבל מדבקת כוכב". איזה משפט אומר בדיוק אותו דבר?

  1. תלמיד שלא קיבל 100 לא מקבל מדבקת כוכב
  2. תלמיד שקיבל מדבקת כוכב קיבל 100
  3. רק מי שקיבל 100 מקבל מדבקת כוכב
  4. תלמיד שלא קיבל מדבקת כוכב לא קיבל 100
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד תלמיד שלא קיבל מדבקת כוכב לא קיבל 100

הפתרון:

100⇒כוכב100 \Rightarrow \text{כוכב}

הכלל

אין כוכב⇒אין 100\text{אין כוכב} \Rightarrow \text{אין } 100

ההפוך-השלילי שקול לכלל

כוכב⇏100\text{כוכב} \nRightarrow 100

אולי אפשר לקבל כוכב גם על עזרה לחבר

התשובה היא "מי שלא קיבל מדבקה לא קיבל 100". "רק מי שקיבל 100 מקבל כוכב" נשמע קרוב — אבל הוא ההפוך בתחפושת: "אם כוכב, אז 100".

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בבית של משפחת אורן: "כל החתולים ישנים על הספה" ו"אף מי שישן על הספה לא נכנס למטבח". איזו מסקנה לא נובעת בוודאות?

  1. אף חתול לא נכנס למטבח
  2. אין בבית חתול שנכנס למטבח
  3. מי שנכנס למטבח אינו ישן על הספה
  4. כל מי שישן על הספה הוא חתול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כל מי שישן על הספה הוא חתול

הפתרון:

חתול⇒ספה⇒לא מטבח\text{חתול} \Rightarrow \text{ספה} \Rightarrow \text{לא מטבח}

שרשרת: המסקנות על החתולים נובעות

מטבח⇒לא ספה\text{מטבח} \Rightarrow \text{לא ספה}

ההפוך-השלילי של הכלל השני

ספה⇏חתול\text{ספה} \nRightarrow \text{חתול}

גם הכלב יכול לישון על הספה

התשובה היא "כל מי שישן על הספה הוא חתול" — ההפוך של הכלל הראשון. שלוש האחרות נובעות, ושתיים מהן אומרות בעצם אותו דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לכל קלף יש אות אנגלית בצד אחד ומספר בצד השני. על השולחן רואים: A, K, 3, 8. הכלל: "אם בצד אחד יש A, אז בצד השני מספר אי-זוגי". אילו קלפים חייבים להפוך כדי לבדוק את הכלל, ורק אותם?

  1. רק A
  2. A ו-8
  3. 8 ו-K
  4. A ו-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב A ו-8

הפתרון:

A→ ?A \to\ ?

אם מאחורי A מספר זוגי — הכלל נשבר

8→ ?8 \to\ ?

אם מאחורי 8 מסתתר A — הכלל נשבר

3, K3,\ K

מאחורי 3 מותר הכול; K לא מעניין את הכלל

התשובה היא A ו-8. מי שבחר "A ו-3" בדק את ההפוך — 3 כבר אי-זוגי, ומה שמאחוריו לא יכול לשבור את הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בספרייה העירונית: מי שמחזיר ספר באיחור משלם קנס ולא מקבל שום הודעה, אלא אם זה ספר ילדים — ואז לא משלמים קנס, אבל מקבלים תזכורת בטלפון. מי שמחזיר ספר בזמן לא משלם ולא מקבל הודעה. איזה מהבאים ייתכן?

  1. ספר ילדים הוחזר באיחור, ושולם עליו קנס
  2. ספר מבוגרים הוחזר באיחור, ולא שולם עליו קנס
  3. נשלחה תזכורת, ולא שולם קנס
  4. ספר הוחזר בזמן, ונשלחה עליו תזכורת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נשלחה תזכורת, ולא שולם קנס

הפתרון:

איחור, מבוגרים⇒קנס\text{איחור, מבוגרים} \Rightarrow \text{קנס}

הכלל הרגיל

איחור, ילדים⇒תזכורת, בלי קנס\text{איחור, ילדים} \Rightarrow \text{תזכורת, בלי קנס}

ה"אלא אם"

בזמן⇒כלום\text{בזמן} \Rightarrow \text{כלום}

הכלל השלישי

התשובה היא תזכורת בלי קנס — כך קורה לספר ילדים שהוחזר באיחור. כל אחת מהאחרות שוברת כלל אחד: קנס על ספר ילדים, תזכורת על ספר שהוחזר בזמן, או איחור של ספר מבוגרים בלי קנס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקונדיטוריה מקשטים עוגיות. עוגייה עגולה מקבלת ציפוי שוקולד, אלא אם היא גדולה — ואז היא מקבלת סוכריות צבעוניות. עוגייה מרובעת מקבלת אבקת סוכר, אלא אם יש בה אגוזים או שהיא כבר מצופה בשוקולד — ואז היא מקבלת דובדבן. איזו עוגייה ייתכן שיצאה מהקונדיטוריה?

  1. עוגייה עגולה גדולה עם ציפוי שוקולד
  2. עוגייה מרובעת בלי אגוזים ובלי ציפוי, עם דובדבן
  3. עוגייה מרובעת עם אגוזים ועם אבקת סוכר
  4. עוגייה מרובעת בלי אגוזים, עם דובדבן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד עוגייה מרובעת בלי אגוזים, עם דובדבן

הפתרון:

עגולה גדולה⇒סוכריות\text{עגולה גדולה} \Rightarrow \text{סוכריות}

לא שוקולד

מרובעת: אגוזים או שוקולד⇒דובדבן\text{מרובעת: אגוזים או שוקולד} \Rightarrow \text{דובדבן}

אחרת — אבקת סוכר

בלי אגוזים, מצופה בשוקולד⇒דובדבן\text{בלי אגוזים, מצופה בשוקולד} \Rightarrow \text{דובדבן}

המשפט האחרון לא אמר שאין ציפוי — אז זה ייתכן

התשובה היא המרובעת בלי אגוזים, עם דובדבן — היא יכולה להיות מצופה בשוקולד. העוגייה "בלי אגוזים ובלי ציפוי, עם דובדבן" נראית כמעט אותו דבר, אבל שם נאמר במפורש "בלי ציפוי", ואז היא הייתה מקבלת אבקת סוכר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

"כל השחקנים בנבחרת גבוהים מ-1.70 מ'. חלק מהשחקנים בנבחרת הם שוערים. אף שוער בנבחרת אינו שמאלי." איזה משפט נכון בוודאות?

  1. אף שמאלי אינו גבוה מ-1.70 מ'
  2. כל מי שגבוה מ-1.70 מ' משחק בנבחרת
  3. יש בנבחרת שחקן שמאלי
  4. יש מישהו שגבוה מ-1.70 מ' ואינו שמאלי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יש מישהו שגבוה מ-1.70 מ' ואינו שמאלי

הפתרון:

שוער בנבחרת\text{שוער בנבחרת}

יש לפחות אחד כזה

גבוה, לא שמאלי\text{גבוה},\ \text{לא שמאלי}

הוא בנבחרת — אז גבוה; והוא שוער — אז לא שמאלי

התשובה היא "יש מישהו גבוה שאינו שמאלי" — השוער של הנבחרת. "כל מי שגבוה משחק בנבחרת" הוא ההפוך של הכלל הראשון, ועל שמאליים הנתונים לא אומרים כמעט כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בתערוכה של אמנית: "אף ציור בתערוכה אינו בשחור-לבן" ו"כל ציורי הים בתערוכה גדולים". איזה מהבאים לא ייתכן?

  1. בתערוכה יש ציור קטן
  2. בתערוכה יש ציור ים בשחור-לבן
  3. בתערוכה יש ציור גדול שאינו ציור ים
  4. לאמנית יש ציור ים בשחור-לבן, בבית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בתערוכה יש ציור ים בשחור-לבן

הפתרון:

בתערוכה⇒צבעוני\text{בתערוכה} \Rightarrow \text{צבעוני}

אף ציור בתערוכה אינו בשחור-לבן — גם לא ציור ים

בבית\text{בבית}

הכללים מדברים רק על התערוכה

קטן⇒לא ים\text{קטן} \Rightarrow \text{לא ים}

ציור קטן בתערוכה ייתכן — פשוט אינו ציור ים

התשובה היא ציור ים בשחור-לבן בתערוכה. "ציור קטן" נשמע אסור, אבל הכלל אומר רק שציורי הים גדולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשפחת שושן יש כמה בנות וכמה בנים. לכל בת יש מספר שווה של אחים ושל אחיות. לכל בן יש פי שניים אחיות מאחים. כמה ילדים יש במשפחת שושן?

  1. 9
  2. 8
  3. 7
  4. 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 7

הפתרון:

b=g−1b = g - 1

בת: g−1g - 1 אחיות, bb אחים

g=2(b−1)g = 2(b - 1)

בן: b−1b - 1 אחים, gg אחיות

g=4 b=3\begin{aligned}g &= 4 \\ \ b &= 3\end{aligned}

מציבים: g=2(g−2)g = 2(g - 2)

יש 7 ילדים: 4 בנות ו-3 בנים. מי שענה 6 כתב "b=gb = g" — שכח שבת אינה אחות של עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אלעד מצביע על תמונה ואומר: "אין לי אחים ואין לי אחיות, אבל אביו של האיש שבתמונה הוא בנו של אבי". מי בתמונה?

  1. אבא של אלעד
  2. הבן של אלעד
  3. האחיין של אלעד
  4. אלעד עצמו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הבן של אלעד

הפתרון:

בנו של אבי=אלעד\text{בנו של אבי} = \text{אלעד}

לאלעד אין אחים — הבן היחיד של אביו הוא הוא עצמו

אביו של האיש=אלעד\text{אביו של האיש} = \text{אלעד}

מציבים

האיש=הבן של אלעד\text{האיש} = \text{הבן של אלעד}

מי שאלעד הוא אביו

בתמונה הבן של אלעד. התשובה "אלעד עצמו" היא הטעות הנפוצה: היא עוצרת בשלב הראשון, "בנו של אבי הוא אני", ושוכחת שמדובר באביו של האיש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מה השלילה של המשפט "אם יורד גשם, אנחנו נשארים בבית"? (השלילה נכונה בדיוק כשהמשפט שקרי.)

  1. אם לא יורד גשם, אנחנו לא נשארים בבית
  2. אם יורד גשם, אנחנו לא נשארים בבית
  3. לא יורד גשם, ואנחנו נשארים בבית
  4. יורד גשם, ואנחנו לא נשארים בבית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורד גשם, ואנחנו לא נשארים בבית

הפתרון:

גשם⇒בית\text{גשם} \Rightarrow \text{בית}

הכלל נשבר רק במקרה אחד

גשם, לא בית\text{גשם},\ \text{לא בית}

זה המקרה — והשלילה אומרת שהוא קרה

התשובה היא "יורד גשם, ואנחנו לא נשארים בבית". "אם יורד גשם, לא נשארים בבית" הוא כלל חדש, לא שלילה: ביום בלי גשם, גם הוא וגם המשפט המקורי נכונים יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הכלל: "אם יש לי כרטיס, אני נכנס להופעה". מיינו: מה נובע מהכלל, ומה לא?

  • נובע
  • לא נובע
  • אין מצב שיש לי כרטיס ולא נכנסתי
  • אם אין לי כרטיס — לא נכנסתי
  • אם לא נכנסתי — אין לי כרטיס
  • אם נכנסתי — יש לי כרטיס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אם לא נכנסתי — אין לי כרטיס — נובע · אם נכנסתי — יש לי כרטיס — לא נובע · אם אין לי כרטיס — לא נכנסתי — לא נובע · אין מצב שיש לי כרטיס ולא נכנסתי — נובע

הפתרון:

אם לא נכנסתי — אין לי כרטיס\text{אם לא נכנסתי — אין לי כרטיס}

ההפוך-השלילי: תמיד נובע

אם נכנסתי — לא בהכרח יש לי כרטיס\text{אם נכנסתי — לא בהכרח יש לי כרטיס}

ההפוך: אולי נכנסתי עם הזמנה

נובעים: ההפוך-השלילי, ו"אין מצב שיש כרטיס ולא נכנסתי", שזה בדיוק הכלל. המלכודת: ההפוך ("נכנסתי, אז יש לי כרטיס") והשלילה של שני הצדדים ("אין כרטיס, אז לא נכנסתי") לא נובעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

"כל הפינגווינים הם ציפורים. חלק מהציפורים עפות." הטענה: בוודאות חלק מהפינגווינים עפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

כל פינגווין הוא ציפור\text{כל פינגווין הוא ציפור}

עיגול הפינגווינים בתוך עיגול הציפורים

ציפור שעפה — לא בהכרח פינגווין\text{ציפור שעפה — לא בהכרח פינגווין}

הציפורים שעפות יכולות להיות כולן מחוץ לעיגול הפינגווינים: יונים, נשרים

הטענה לא נכונה. "חלק מהציפורים עפות" לא אומר אילו. המלכודת: לחבר את שני המשפטים כאילו הם מדברים על אותן ציפורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במשפחת לוי לכל בן יש מספר שווה של אחים ושל אחיות. לכל בת יש פי 3 אחים מאחיות. כמה ילדים יש במשפחת לוי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

b−1=gb - 1 = g

לבן: b−1b - 1 אחים ו-gg אחיות

b=3(g−1)b = 3(g - 1)

לבת: bb אחים ו-g−1g - 1 אחיות

g+1=3g−3⇒g=2 b=3\begin{aligned}g + 1 &= 3g - 3 \Rightarrow g \\ &= 2 \\ \ b &= 3\end{aligned}

מציבים

במשפחה 5 ילדים: 2 בנות ו-3 בנים. בדיקה: לבן 2 אחים ו-2 אחיות ✓, לבת 3 אחים ואחות אחת ✓. המלכודת: לספור את הילד עצמו בין האחים שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת