חידות חשיבה: מאזניים, גרביים, ריבוע קסם וגפרורים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחלק ה"חשיבה" של המבחן יש חידות שאין להן נוסחה מוכנה. לכל משפחה של חידות יש רעיון אחד שפותח אותה.

מאזניים: לחלק לשלוש קבוצות

יש 9 מטבעות שנראים זהים, ואחד מהם כבד מהאחרים. יש מאזני כפות, בלי משקולות.

כמה שקילות צריך כדי למצוא את המטבע הכבד בוודאות?

11

הכף השמאלית יורדת

22

הכף הימנית יורדת

33

שוויון

לשקילה יש שלוש תוצאות. ולכן מחלקים לשלוש קבוצות.

עכשיו אתם, עם 8 מטבעות. המאזניים משחקים נגדכם: הם תמיד בוחרים את התוצאה הגרועה ביותר בשבילכם.

כמה שקילות צריך בוודאות ל-10 מטבעות (אחד כבד)?

להציג את התשובה והפתרון

3. בשתי שקילות אפשר לטפל רק עד 9 מטבעות. בשלוש — עד 27.

גרביים בחושך: לחשוב על המזל הגרוע ביותר

במגירה 5 גרביים אדומים ו-5 כחולים, והחדר חשוך. כמה גרביים צריך להוציא כדי להיות בטוחים שיש זוג באותו צבע?

"בטוחים" פירושו: גם אם המזל הכי גרוע.

במגירה 4 גרביים שחורים, 6 לבנים ו-5 אפורים. כמה צריך להוציא בחושך כדי להיות בטוחים שיש זוג באותו צבע?

להציג את התשובה והפתרון

4. בגרוע ביותר יוצאת אחת מכל צבע — שלוש — והרביעית כבר משלימה זוג. מספרי הגרביים בכל צבע לא משנים כאן כלום.

ריבוע קסם

בריבוע קסם 3 על 3 כותבים את המספרים 1 עד 9, כל אחד פעם אחת. הסכום בכל שורה, בכל עמודה ובשני האלכסונים — שווה.

סכום כל המספרים הוא 45, ויש שלוש שורות. לכן כל שורה שווה 15.

276951438

גפרורים: ריבועים שמסתתרים

ריבוע 2 על 2 מ-12 גפרורים

כמה ריבועים יש בציור?

להציג את התשובה והפתרון

5. ארבעה ריבועים קטנים — ועוד הריבוע הגדול, שמקיף את כולם.

אילו שני גפרורים צריך להוריד כדי שיישארו בדיוק שני ריבועים, וכל גפרור שנשאר יהיה חלק מריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

שני גפרורים פנימיים שנפגשים במרכז בזווית — אחד שוכב ואחד עומד, למשל השוכב שמשמאל למרכז והעומד שמתחת למרכז. נשארים הריבוע הגדול וריבוע קטן אחד, בפינה הרחוקה. מי שחיפש "שני ריבועים קטנים" שכח שהריבוע הגדול נשאר שלם כל עוד לא נוגעים בהיקף.

שתי טעויות מוכרות.

8→4→2→18 \to 4 \to 2 \to 1
8→3→18 \to 3 \to 1

חלוקה לשתיים מבזבזת את תוצאת ה"שוויון". בשלוש קבוצות, כל שקילה מנצלת את שלוש התוצאות.

שתי אדומות=3\text{שתי אדומות} = 3
שתי אדומות=7\text{שתי אדומות} = 7

שלוש גרביים מבטיחות זוג כלשהו. כשהשאלה על צבע מסוים, כל הצבעים האחרים יכולים לצאת קודם.

ב"כמה צריך כדי להיות בטוחים", בנו את הרשימה הכי ארוכה שעוד לא עומדת בדרישה — והוסיפו אחד. זה כל הסוד.

תרגילים

תרגיל 1

בקופסה 8 כדורי זכוכית שנראים זהים, ואחד מהם כבד מהאחרים. יש מאזני כפות בלי משקולות. מה המספר הקטן ביותר של שקילות שמבטיח למצוא את הכדור הכבד?

  1. 3
  2. 2
  3. 1
  4. 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2

הפתרון:

8=3+3+28 = 3 + 3 + 2

שלוש קבוצות: שלושה מול שלושה, ושניים בצד

3  או  23 \;\text{או}\; 2

אחרי השקילה נשארים 3 חשודים או 2

11

עוד שקילה אחת מספיקה בשני המקרים

התשובה היא 2. מי שענה 3 חילק לחצאים: 4 מול 4, אחר כך 2 מול 2, ואחר כך 1 מול 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשקית סוכריות: 3 כתומות, 7 ירוקות ו-4 סגולות. יונתן מוציא סוכריות בעיניים עצומות. כמה סוכריות עליו להוציא כדי להיות בטוח שיש לו שתיים באותו צבע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

כתום, ירוק, סגול\text{כתום},\ \text{ירוק},\ \text{סגול}

המזל הגרוע ביותר: אחת מכל צבע, ואין זוג

3+1=43 + 1 = 4

הרביעית חייבת להתאים לאחת מהן

צריך 4 סוכריות. המספרים 3, 7 ו-4 הם הסחת דעת — כאן חשוב רק שיש שלושה צבעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

8?9

בריבוע הקסם שבציור יש לכתוב את המספרים 1 עד 9, כל מספר פעם אחת, כך שהסכום בכל שורה, בכל עמודה ובכל אחד משני האלכסונים יהיה שווה. שני מספרים כבר כתובים. איזה מספר צריך לבוא במקום סימן השאלה?

  1. 3
  2. 1
  3. 6
  4. 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 7

הפתרון:

15מרכז=5\begin{aligned}15 \\ \quad \text{מרכז} &= 5\end{aligned}

כל קו שווה 15, ובמרכז תמיד 5

8+5+2=158 + 5 + 2 = 15

האלכסון של ה-8: בפינה שמולו 2

15−9−2=415 - 9 - 2 = 4

השורה התחתונה: בפינה השנייה 4

15−8−4=315 - 8 - 4 = 3

העמודה של 8 ו-4: באמצע 3

15−3−5=715 - 3 - 5 = 7

השורה האמצעית

במקום סימן השאלה 7. מי שענה 3 כתב את המספר של הקצה השני של השורה האמצעית: השורה היא 3, 5, 7, וה-3 עומד מתחת ל-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בציור של 12 הגפרורים (ריבוע 2 על 2) יש בדיוק 4 ריבועים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

44

הריבועים הקטנים

4+1=54 + 1 = 5

ועוד הריבוע הגדול, שההיקף שלו עשוי מ-8 גפרורים

לא נכון — יש 5 ריבועים. הריבוע הגדול לא "רואים" כי הוא בנוי מגפרורים שכבר שייכים לריבועים הקטנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

יש 20 מטבעות שנראים זהים, ואחד מהם כבד מהאחרים. מה המספר הקטן ביותר של שקילות במאזני כפות שמבטיח למצוא את המטבע הכבד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

32=9<203^2 = 9 < 20

בשתי שקילות — עד 9 מטבעות בלבד

33=27≥203^3 = 27 \geq 20

בשלוש — עד 27

20=7+7+620 = 7 + 7 + 6

שקילה ראשונה: 7 מול 7. נשארים 7 או 6 חשודים — ושתי שקילות מספיקות להם

3 שקילות. מי שחילק לחצאים (20→10→5→3→120 \to 10 \to 5 \to 3 \to 1) הגיע ל-4 או 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במגירה 6 גרביים לבנים, 4 שחורים ו-3 אפורים, והחדר חשוך. כמה גרביים צריך להוציא כדי להיות בטוחים שיש לפחות שני גרביים שחורים?

  1. 5
  2. 4
  3. 13
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 11

הפתרון:

6+3=96 + 3 = 9

בגרוע ביותר יוצאים קודם כל הלבנים וכל האפורים

9+2=119 + 2 = 11

ורק אז שני שחורים

11. "4" עונה על שאלה אחרת — זוג באותו צבע כלשהו. כאן הצבע נקבע, ולכן כל הגרביים בצבעים האחרים יכולים לצאת קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אותה מגירה: 6 גרביים לבנים, 4 שחורים ו-3 אפורים, בחושך. כמה גרביים צריך להוציא כדי להיות בטוחים ש…

…ישכמה גרביים?
זוג באותו צבע____
גרב אחד מכל צבע____
שלושה גרביים באותו צבע____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: זוג באותו צבע: 4 · גרב אחד מכל צבע: 11 · שלושה גרביים באותו צבע: 7

הפתרון:

1+1+1+1=41 + 1 + 1 + 1 = 4

זוג: אחד מכל צבע, והרביעי משלים

6+4+1=116 + 4 + 1 = 11

אחד מכל צבע: בגרוע ביותר יוצאים כל הלבנים וכל השחורים קודם

2+2+2+1=72 + 2 + 2 + 1 = 7

שלושה באותו צבע: שניים מכל צבע, והשביעי משלים

בכל שורה בונים את הרשימה הארוכה ביותר שעוד לא עומדת בדרישה, ומוסיפים אחד. ב"אחד מכל צבע" הרשימה הזאת ארוכה מאוד — 10 גרביים בלי אף אפור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

5

בריבוע קסם 3 על 3 של המספרים 1 עד 9 (כל שורה, עמודה ואלכסון — 15), המספר 9 יכול לעמוד באחת הפינות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

9+a+b=15⇒a+b=6\begin{aligned}9 + a + b &= 15 \Rightarrow a + b \\ &= 6\end{aligned}

כל קו שעובר ב-9 צריך עוד שני מספרים שסכומם 6

6=1+5=2+4\begin{aligned}6 &= 1 + 5 \\ &= 2 + 4\end{aligned}

יש רק שני זוגות כאלה, וה-5 תפוס במרכז

33

אבל דרך פינה עוברים שלושה קווים: שורה, עמודה ואלכסון

לא נכון. בפינה ה-9 צריך שלושה זוגות שסכומם 6 — ויש רק שניים. לכן ה-9 תמיד באמצע של צלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

4א׳25ב׳

בריבוע הקסם שבציור כתובים המספרים 1 עד 9, כל אחד פעם אחת, וכל שורה, עמודה ואלכסון שווים 15. השלימו.

במשבצת א׳ כתוב ____, ובמשבצת ב׳ כתוב ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: במשבצת א׳ כתוב 9, ובמשבצת ב׳ כתוב 7.

הפתרון:

15−4−2=915 - 4 - 2 = 9

א׳ — השורה העליונה

15−4−5=615 - 4 - 5 = 6

האלכסון של ה-4: בפינה התחתונה שמולו 6

15−2−6=715 - 2 - 6 = 7

ב׳ — העמודה של ה-2

א׳ = 9, ב׳ = 7. כדאי להתחיל ממה שכבר ידוע: המרכז 5, וקו שבו חסר מספר אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

יש 9 מטבעות, ואחד מהם כבד. נועם תכנן את השקילות. באיזו שורה הטעות?

9=4+4+19 = 4 + 4 + 1
הכף ירדה: 4 חשודים\text{הכף ירדה: } 4 \text{ חשודים}
4=2+2  ⇒  2 חשודים4 = 2 + 2 \;\Rightarrow\; 2 \text{ חשודים}
סך הכול: 2 שקילות\text{סך הכול: } 2 \text{ שקילות}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סך הכול: 2 שקילות\text{סך הכול: } 2 \text{ שקילות} → סך הכול: 3 שקילות\text{סך הכול: } 3 \text{ שקילות}

הפתרון:

4→2→14 \to 2 \to 1

אחרי שתי שקילות נשארים עוד 2 חשודים

2+1=32 + 1 = 3

צריך שקילה שלישית

9=3+3+39 = 3 + 3 + 3

עם שלוש קבוצות שוות: 2 שקילות בלבד

השורה האחרונה. נועם ספר רק את השקילות שתכנן, ושכח את האחרונה: 2 חשודים צריכים עוד שקילה. התוכנית עצמה לא שגויה — היא פשוט לא הקצרה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת